二維熱傳導方程的緊ADI法

王潔

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

二維熱傳導方程的緊ADI法

王潔

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

對二維熱傳導方程進行緊交替方向有限差分，該方法在空間方向上具有四階精度，在時間方向上具有二階精度.證明了當rx，ry≥1/6時該有限差分解收斂于連續(xù)解.數(shù)值例子驗證了該有限差分法具有高階精度.

二維熱傳導方程；緊ADI法；高階精度；收斂性

1 引言

熱傳導方程在物理學、生物學中有很重要的作用,已受到廣泛關注．工程技術中許多重要問題如微波的熱處理、自燃、地下水的傳輸、擴散物質濃度、電纜的傳輸?shù)葐栴}都可用熱傳導方程來描述.

通常用有限差分法求解依賴于時間的熱傳導方程，如顯格式、隱格式及C-R格式.對于高維熱傳導方程可采用加權差分格式、交替方向顯格式、交替方向隱格式（ADI）及局部一維（LOD）法.對于二維熱傳導方程數(shù)值解法出現(xiàn)了許多研究成果,但它們主要進行的是解的存在性與穩(wěn)定性分析［1］-［4］，很少有收斂性方面的工作.

廖文遠等人［5］提出了一種緊交替方向隱式有限差分方法，即在時間方向上用Crank-Nicolson方法近似，在空間方向上用Padé方法逼近．這種方法具有緊的性質，并且在時間方向上具有二階精度，在空間方向上具有四階精度．優(yōu)點是將一個二維問題降為兩個一維問題，這將大大降低求解難度．本文利用緊ADI方法對二維熱傳導方程進行有限差分，并把它寫成矩陣的形式,證明了當rx，ry≥1/6時有限差分解收斂于連續(xù)解，并給出數(shù)值例子驗證。

2 緊ADI有限差分格式

考慮如下二維熱傳導方程：

其中Ω=（0，1）×（0，1），u（x，y，t）表示溫度，f（x，y，t）為源項，φ和ψ是已知函數(shù)，且具有充分的光滑性，a為導溫系數(shù)或熱擴散系數(shù).

將Ω分別在x和y方向上進行分割，步長分別為hx和hy．將（0，T]進行分割，步長為τ．記My=1/hx，My=

1/hy，Mt=T/τ．離散點記作．為方便起見，我們用數(shù)對（i，j）表示離散點（xi，yj），記：

定義標準的中心差商算子：

在時間方向上用Crank-Nicolson格式，在空間方向上用Padé逼近，我們有如下有限差分逼近［5］：

此處，ui，j，n表示在點（xi，yj，tn）處的u逼近．因為（5）左邊部分分別只含有三點中心差分算子，所以它將兩維問題（4）降低為兩個一維問題，故得到一個ADI算法．即第一步是沿x方向利用Thomas算法逐行求解三對角方程，得到vi，j，n-1，然后沿y方向逐列求解三對角方程得到解ui，j，n，由于每步只需求解一組三對角方程，且兩個方向交替變換，故通稱這類格式為交替方向隱格式.

定義如下的列向量：

我們也定義如下（Mx-1）階的對稱三對角矩陣：

和（My-1）階對稱三對角矩陣：

則（5）式可以寫成如下矩陣形式：

這里對每個n和j，U0=UM，n=0，Gj，n和Ri，n是與邊界函數(shù)相關的兩個向量。

為了將（10）寫成更緊湊的形式，定義如下向量：

向量Un和有相同的分量，向量Un是先排x方向，后排y方向，而向量是先排y方向，后排x方向,它們的唯一的區(qū)別是分量的次序.

記M=（Mx-1）（My-1），引入以下M階塊矩陣：

于是，（10）可寫成

3 收斂性

定理2.1.設Un為方程（1）的精確解，Wn為方程（13）的數(shù)值解.當rx，ry≥1/6時，Wn收斂于Un，n=0，1，…，Mt．

這就證明了定理結論．

4 數(shù)值例子

下面通過具體數(shù)值例子來分析前面格式的收斂性.在0≤x，y≤1內(nèi)考察精確解為u（x，y，t）=e-2π2tsin （πx）sin（πy）的初邊值問題，初始條件由精確解給出.表1給出了當r=1/2時，在（1/2，1/2）點處精確解和緊ADI方法數(shù)值解的比較，由此看出，緊ADI方法得到的數(shù)值解誤差很小，數(shù)值解收斂于精確解，收斂階數(shù)是4階.比［4］中方法得到的誤差要小.

表1 r=1/2時的緊ADI法最大誤差和收斂階Tab.1 Maximum error and convergence rate for compact ADI method when r=1/2

［1］葉其孝，李正元.反應擴散引論［M］.北京：科學出版社，1994.

［2］戴嘉尊，邱建賢.微分方程數(shù)值解法［M］.南京：東南大學出版社，2002.

［3］張文生.科學計算中的偏微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］葛永斌.高維熱傳導方程的高精度交替方向隱格式［J］.上海理工大學學報,2007,29（1）：56-58.

［5］Wenyuan Liao,Jianping Zhu,and Abdul Q.M.Khaliq.An Efficient High-Order Algorithm for Solving System of Reaction-Diffusion Equations［J］.Numerc Methods Partial Differential Eq,2002,18：340-354.

［6］Yuan-Ming Wang，Jie Wang．A higher-order compact ADI method with monotone iterative procedure for systems of reaction-diffusion equations［J］．Computers and Mathematics with Applications，2011，62：2434-2451．

［7］A.Berman，R.Plemmons，Nonnegative Matrix in the Mathematical Science，Academic Press，New York，1979．

Compact ADI Method for Solving Heat Equation with Two Dimensions

WANG Jie

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

A high order algorithm is discussed in the paper. This algorithm has the accuracy of four-order in space and two-order in time.The finite difference scheme can be solved by ADI method.The convergence of finite difference solution to the continuous solution is proved when it is between 1/6 and 5/6.A numerical example is shown the high accuracy of the finite difference in the last section.

heat equation with two dimensions;compact ADI method;high order accuracy;convergence

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.03.003

2014-04-17

臺州學院青年項目（2013QN09）

王 潔（1982- ），女，浙江仙居人，講師，碩士，主要從事計算數(shù)學研究。