解題后反思，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

王輝

摘 要：解題后反思，命題的意圖是什么？考核的概念、知識(shí)和能力是什么？驗(yàn)證結(jié)論是否正確，求解論證過(guò)程是否嚴(yán)密有據(jù)？不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對(duì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行不斷地思考并做出新的判斷，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：解題；反思；數(shù)學(xué)思維

在平時(shí)的教學(xué)中，為了提高學(xué)生的解題能力，除了做好審題、解題方法、解題步驟等工作之外，解題后的反思也是一個(gè)不可缺少的環(huán)節(jié)。由于學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)水平的限制，表現(xiàn)出對(duì)知識(shí)不求甚解，不善于解題后對(duì)題目進(jìn)行反思，也不善于糾正和找出自己的錯(cuò)誤，缺乏解題后對(duì)解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，掌握知識(shí)的系統(tǒng)性較弱，結(jié)構(gòu)性較差。解完一道題后，必須認(rèn)真地進(jìn)行探索：命題的意圖是什么？考核的概念、知識(shí)點(diǎn)是什么？驗(yàn)證結(jié)論是否正確合理？求解論證過(guò)程是否嚴(yán)密有據(jù)？本題有無(wú)其他解法？解本類問(wèn)題的通法是什么？通過(guò)解題后的一系列反思，讓學(xué)生的思維繼續(xù)飛翔，提高學(xué)生的解題能力。

一、積極反思，查漏補(bǔ)缺確保解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不清，概念不清，忽視條件或計(jì)算出錯(cuò)，難免出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。所以解題后，必須對(duì)解題的過(guò)程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

例1.（2006 北京）已知f（x）=（3a-1）x+4a（x<1）logax（x≥1）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是 。

A.（0，1） B.（0，■） C.[■，■） D.[■，1）

錯(cuò)解：由題意，3a-1<00

反思：本題考查的是分段函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生大多只考慮兩段都減，而未考慮到f（x）是（-∞，+∞）上的減函數(shù)，忽視當(dāng)x=1時(shí)，（3a-1）x+4a>logax，即7a-1≥0？圯a≥■，故■≤a<■，正確答案應(yīng)為C。

二、積極反思，系統(tǒng)小結(jié)，重視知識(shí)的遷移和應(yīng)用

解題后，要不斷地探究問(wèn)題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性，能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探索？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系？通過(guò)不斷地拓展，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解。

例2.（2014 新課標(biāo)II）已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，

f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的取值范圍是 。

■

解：由題意畫出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖知f（x-1）>0的解為-2

反思：本題考查的是抽象函數(shù)的問(wèn)題，解題時(shí)可以由所給條件畫出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像解決問(wèn)題。可以改變某些條件，深化對(duì)這一類型題的理解。如，

（1）若將題中“f（x-1）>0”改為“■>0”，其余條件不變，則答案為： 。

（2）若將題中“f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減”改為“當(dāng)x>0時(shí)，xf′（x）-f（x）>0”；“f（x-1）>0”改為“■>0”，其余條件不變，則答案為：

。

三、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系、縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑很多，但最終能殊途同歸。解題后進(jìn)一步反思，探求一題多解，多題一解，開(kāi)拓思路，掌握規(guī)律，有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。

例3.（2014 陜西）設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則 ■的最小值為 。

解：ma+nb≤■+■=■，則■≥■，即■的最小值為■。

反思：本題考查的是不等式問(wèn)題，除可用均值不等式求解外，還可應(yīng)用柯西不等式或引入?yún)?shù)求解。具體解法如下：

（1）（柯西不等式）（a2+b2）（m2+n2）≥（ma+nb）2，則■≥■，即■的最小值為■。

（2）（參數(shù)法）設(shè)a=■cos？茲b=■sin？茲，代入ma+nb=5，并利用輔助角公式化簡(jiǎn)得：■sin（？茲+？漬），故■≥■，即■的最小值為■。

四、積極反思，整合知識(shí)，探究規(guī)律，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

解題不能就題論題，要尋找問(wèn)題間的本質(zhì)聯(lián)系，能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)，將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，對(duì)每一個(gè)問(wèn)題都要尋根問(wèn)底，能否得到一般性的結(jié)果，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問(wèn)題的興趣。

例4.（2013 浙江）已知α∈R，sinα+2cosα=■，則tan2α

。

A.■ B.■ C.-■ D.-■

解：因?yàn)椋簊inα+2cosα=■

∴（sinα+2cosα）2=■

∴4sinαcos2α+3cos2α=■

∴■=■

即3tan2α-8tanα-3=0，解得：tanα=3或tanα=■。

將tanα=3或tanα=■代入二倍角公式，得：tan2α=-■，故選C。

反思：由本題啟發(fā)我們，對(duì)于已知α∈R，asinα+bcosα=c，求tanα的問(wèn)題，可將已知條件兩邊平方后，將弦化為切來(lái)完成。也可以先求出sinα和cosα的值后，再求tanα。如由本題條件及選項(xiàng)的唯一性，記sinα=■，cosα=■符合要求，從而得到tanα=3，代入二倍角公式得到答案C。

總之，解題后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析、歸納類比、抽象概括。對(duì)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行不斷的思考總結(jié)，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)好數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論.陜西師范出版社，2004.

？誗編輯 馬燕萍