基于快速雙冪次趨近律的新型滑?？刂?/h1>
2014-02-06 11:16:41黃志華
嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報 2014年11期
黃志華
(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)
0 引言
傳統(tǒng)的滑模控制方法抖振嚴(yán)重，但是現(xiàn)階段解決此抖振嚴(yán)重的主要手段一般來說有：高階滑模控制[1～2]和非奇異終端滑?？刂芠3～4]．高階滑?？刂齐m然去除抖振效果顯著，但往往不適用于一階系統(tǒng);非奇異終端滑模控制盡管能夠有效去除系統(tǒng)控制量的抖振，而且能夠在有限時間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)收斂于平衡點，但如果考慮趨近滑動模態(tài)的能力，即便快速終端滑?？刂圃诳拷瑒幽B(tài)的空間位置時，其趨近速度相對于指數(shù)趨近率也非常慢，所以非奇異終端滑模的無抖振是以控制性能的降低為代價的．滑模控制系統(tǒng)具有其優(yōu)越魯棒性的前提條件是系統(tǒng)狀態(tài)運動在滑動模態(tài)上， 而在趨近階段滑?？刂葡到y(tǒng)仍對參數(shù)不確定性和外擾敏感，因此如何最小化趨近階段并在此過程中去除抖振仍是現(xiàn)今研究的熱點之一．
高教授等人提出采用等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律等實用的滑模趨近律來消除系統(tǒng)抖振并保證滑動模態(tài)的實現(xiàn)[5]， 通過選取適當(dāng)參數(shù)保證系統(tǒng)在趨近運動階段的運動特性， 保證了滑動模態(tài)的實現(xiàn)．然而，等速趨近律趨近速度很慢， 而且趨近速度單一;指數(shù)趨近律是在等速趨近律基礎(chǔ)上增加一指數(shù)項， 雖然趨近速度快，但在接近滑動模態(tài)時系統(tǒng)抖振較大; 冪次趨近律采用冪次項技術(shù)使得系統(tǒng)接近滑動模態(tài)時趨近速度放緩，有利于削弱抖振，不足之處是在狀態(tài)遠離滑動模態(tài)的趨近階段存在速度過小，運動時間過長的問題．文獻[6]利用傳統(tǒng)冪次趨近律與指數(shù)趨近律的線性組合提出一種快速冪次趨近律，解決了傳統(tǒng)冪次趨近律存在的問題．李鵬等[7]對此趨近律進行了細致分析并得出其具有二階滑模特性． 文獻[8]提出了一種雙冪次趨近律用以實現(xiàn)機器人控制中狀態(tài)快速收斂問題，但沒有解決受擾時控制作用抖振問題，而且對該趨近律的特性缺乏定性分析．
1 快速雙冪次趨近律及其特性分析
基于以上分析， 快速雙冪次趨近律如下：
(1)
其中，α>1，0<β<1，k1>0，k2>0，k3>0．當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑動模態(tài)(|σ|>1)時， 式(1)中第1項和第3項起主導(dǎo)作用;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動模態(tài)(|σ|<1)時， 第2項和第3項起主導(dǎo)作用，兩項結(jié)合可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在趨近滑動模態(tài)過程中的運動品質(zhì)．
1．1 雙冪次趨近律的二階滑模特性分析
證明根據(jù)滑?？蛇_性，結(jié)合式(1)及條件
α>1，0<β<1，k1>0，k2>0，k3>0，有
(2)
因此滑動模態(tài)可在有限時間內(nèi)到達平衡零點．下面假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)σ(0)>1， 分2個階段進行有限時間的計算．
1)σ(0)→σ=1． 此時， 因為α>1，0<β<1，所以式(1)中第1項和第3項起主導(dǎo)作用， 遠大于第2項的作用，從而可以忽略第2項的影響． 由式(1)可得
(3)
上式是n=α?xí)r的伯努利方程，對式(3)兩邊積分，
可得
(4)
由此可計算得到σ(0)→σ=1所需時間為
(5)
2)σ=1→σ=0． 同樣， 因為α>1，0<β<1，所以式(1)中第2項和第3項起主導(dǎo)作用， 遠大于第1項的作用，從而可以忽略第1項的影響． 由式(1)可得
(6)
對式(6)兩邊積分，
可得
(7)
注1 顯然由式(9)和(10)可知: 收斂時間t是系統(tǒng)初始狀態(tài)的連續(xù)函數(shù); 因為在求取收斂時間時忽略了次要因素，所以實際收斂時間小于式(6)和(7)．
1．2 雙冪次趨近律的干擾穩(wěn)態(tài)界分析
1)V正定；
3)存在實數(shù)k>0，α>0和一鄰域N?D使得
根據(jù)引理1， 考慮系統(tǒng)(1)存在不確定性外擾時狀態(tài)的收斂特性， 可得如下定理．
定理1 考慮存在不確定性的系統(tǒng)
(9)
(10)
證明選取Lyapunov函數(shù)
V=0．5σ2,
(11)
式(11)兩端對時間求導(dǎo)數(shù)并將式(8)代入， 得
-k1|σ|α+1-k2|σ|β+1+|σ||d(t)|.
(12)
式(12)經(jīng)過變形可得
-k1|σ|α+1-|σ|[k2|σ|β-|d(t)|].
(13)
如果滿足k2|σ|β-δ≥0，則
(14)
由引理1可知， 系統(tǒng)關(guān)于平衡零點有限時間收斂， 因此區(qū)域
(15)
能夠保證有限時間的收斂性．
式(9)亦可變形為
(16)
如果滿足k1|σ|α-δ≥0，則
(17)
由引理1可知，系統(tǒng)關(guān)于平衡零點有限時間收斂性，因此區(qū)域
(18)
同樣能夠保證有限時間的收斂性．綜合式(15)和(18)可得σ在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)域
(19)
將上式代入式(11)，可得
|σ|≤k1|σ|αsgn(σ)+k2|σ|βsgn(σ)+|d(t)|≤k1|σ|α+k2|σ|β+|d(t)|≤
(20)
綜上， 定理2得證．
2 仿真算例及分析析
考慮非線性單輸入單輸出系統(tǒng)
(21)
其中d(t)為系統(tǒng)存在的不確定性，假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)σ(0)=6．當(dāng)d(t)=0時， 分別利用指數(shù)趨近律、冪次趨近律、快速冪次趨近律和本文提出的快速雙冪次趨近律設(shè)計控制律 并進行仿真， 以檢驗本文算法的有效性;當(dāng)d(t)=0．5sin(2t)+0．3cost時， 檢驗本文提出的雙冪次趨近律的穩(wěn)態(tài)界是否正確．
2．1 各趨近律仿真對比
當(dāng)系統(tǒng)不存在不確定性， 即d(t)=0時，分別利用各趨近律設(shè)計的控制律如下:
1) 指數(shù)趨近律:u1=kzσ-εsgn(σ)；
2) 冪次趨近律:u2=km|σ|αzsgn(σ)；
3) 快速冪次趨近律:u3=ks1|σ|-ks2|σ|αssgn(σ)；
4) 快速雙冪次趨近律:u4=k1|σ|αsgn(σ)-k2|σ|βsgn(σ)-k3σ.
由圖1和圖2可見：指數(shù)趨近律盡管收斂速度較快，但含有常數(shù)項，使得系統(tǒng)狀態(tài)在接近滑動模態(tài)階段出現(xiàn)較嚴(yán)重的抖振;冪次趨近律盡管消除了抖振，但在遠離滑動模態(tài)階段收斂速度過小，導(dǎo)致收斂時間過長;快速冪次趨近律和快速雙冪次趨近律在消除抖振的同時，趨近速度明顯高于指數(shù)趨近律和冪次趨近律．相比于快速冪次趨近律， 快速雙冪次趨近律具有更好的運動品質(zhì):系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑動模態(tài)時，雙冪次趨近律的速度高于其他趨近律;系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動模態(tài)時，快速雙冪次趨近律速度則低于其他趨近律，實現(xiàn)了與滑動模態(tài)的光滑過渡，有利于削弱系統(tǒng)抖振;初始誤差越大，快速雙冪次趨近律(即圖中的新型冪次趨近律)的速度優(yōu)勢越明顯．
2．2雙冪次趨近律穩(wěn)態(tài)誤差界仿真
3 結(jié)論
本文提出了一種快速雙冪次趨近律設(shè)計方案， 旨在解決傳統(tǒng)趨近律收斂速度過慢、收斂時間過長， 或者抖振嚴(yán)重等缺陷． 理論分析表明: 所提出的趨近律不僅可以有效地去除抖振， 而且無論在遠離還是接近滑動模態(tài)時均具有很快的趨近速度; 在有限的收斂時間后具有二階滑模特性，即 ;當(dāng)存在有界外擾時， 和分別收斂于平衡零點的有界鄰域內(nèi)．
[1] FFIDMAN L， LEVANT A． Higher order sliding modes as the natural phenomena of control theory[C]． Proc of the Workshop Variable Structure and Lyapunov Technique． Benevento， 1994: 302-309．
[2] LEVANT A． Higher order sliding modes， differentiation and output-feedback control[J]． Int J of Control， 2003， 76(9/10): 924-941．
[3] FENG Y， YU X H， MAN Z H． Non-singular adaptive terminal sliding mode control of rigid manipulators[J]． Automatica， 2002， 38(12): 2159-2167．
[4] Y MIN WANG， Y FENG， X YU． Higher-order nonsingular terminal sliding mode control of uncertain multivariable systems[C]． The 33rd Annual Conf of the IEEE Industrial Electronics Society． Taibei， 2007: 710-714．
[5] GAO W B． Theory and design method for variable sliding mode control[M]． Beijing: Science Press， 1996: 241-254．
[6] YU S， YU X， SHIRINZADEN B， et al． Continuous finite-time control for robotic manipulators with terminal sliding mode[J]． Automatica， 2005， 41(11): 1957-1964．
[7] LI P． Research and application of traditional and higher-order sliding mode control[D]． Changsha: College of Mechanic Engineering and Automation， NationalUniversity of Defense Technology， 2011．
[8] MEI H， WANG Y． Fast convergent sliding mode variable structure control of robot[J]． Information and Control， 2009， 38(5): 552-557．
[9] MARKS G M， SHTESSEL Y B， GRATT H． Effects of high order sliding mode guidance and observers on hit-to- kill Interceptions[C]． AIAA Guidance， Navigation， and Control Conf and Exhibit． San Francisco， 2005: AIAA-2005-5967．
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黃志華
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傳統(tǒng)的滑模控制方法抖振嚴(yán)重，但是現(xiàn)階段解決此抖振嚴(yán)重的主要手段一般來說有：高階滑模控制[1～2]和非奇異終端滑?？刂芠3～4]．高階滑?？刂齐m然去除抖振效果顯著，但往往不適用于一階系統(tǒng);非奇異終端滑模控制盡管能夠有效去除系統(tǒng)控制量的抖振，而且能夠在有限時間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)收斂于平衡點，但如果考慮趨近滑動模態(tài)的能力，即便快速終端滑?？刂圃诳拷瑒幽B(tài)的空間位置時，其趨近速度相對于指數(shù)趨近率也非常慢，所以非奇異終端滑模的無抖振是以控制性能的降低為代價的．滑模控制系統(tǒng)具有其優(yōu)越魯棒性的前提條件是系統(tǒng)狀態(tài)運動在滑動模態(tài)上， 而在趨近階段滑?？刂葡到y(tǒng)仍對參數(shù)不確定性和外擾敏感，因此如何最小化趨近階段并在此過程中去除抖振仍是現(xiàn)今研究的熱點之一．
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1 快速雙冪次趨近律及其特性分析
基于以上分析， 快速雙冪次趨近律如下：
(1)
其中，α>1，0<β<1，k1>0，k2>0，k3>0．當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑動模態(tài)(|σ|>1)時， 式(1)中第1項和第3項起主導(dǎo)作用;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動模態(tài)(|σ|<1)時， 第2項和第3項起主導(dǎo)作用，兩項結(jié)合可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在趨近滑動模態(tài)過程中的運動品質(zhì)．
1．1 雙冪次趨近律的二階滑模特性分析
證明根據(jù)滑?？蛇_性，結(jié)合式(1)及條件
α>1，0<β<1，k1>0，k2>0，k3>0，有
(2)
因此滑動模態(tài)可在有限時間內(nèi)到達平衡零點．下面假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)σ(0)>1， 分2個階段進行有限時間的計算．
1)σ(0)→σ=1． 此時， 因為α>1，0<β<1，所以式(1)中第1項和第3項起主導(dǎo)作用， 遠大于第2項的作用，從而可以忽略第2項的影響． 由式(1)可得
(3)
上式是n=α?xí)r的伯努利方程，對式(3)兩邊積分，
可得
(4)
由此可計算得到σ(0)→σ=1所需時間為
(5)
2)σ=1→σ=0． 同樣， 因為α>1，0<β<1，所以式(1)中第2項和第3項起主導(dǎo)作用， 遠大于第1項的作用，從而可以忽略第1項的影響． 由式(1)可得
(6)
對式(6)兩邊積分，
可得
(7)
注1 顯然由式(9)和(10)可知: 收斂時間t是系統(tǒng)初始狀態(tài)的連續(xù)函數(shù); 因為在求取收斂時間時忽略了次要因素，所以實際收斂時間小于式(6)和(7)．
1．2 雙冪次趨近律的干擾穩(wěn)態(tài)界分析
1)V正定；
3)存在實數(shù)k>0，α>0和一鄰域N?D使得
根據(jù)引理1， 考慮系統(tǒng)(1)存在不確定性外擾時狀態(tài)的收斂特性， 可得如下定理．
定理1 考慮存在不確定性的系統(tǒng)
(9)
(10)
證明選取Lyapunov函數(shù)
V=0．5σ2,
(11)
式(11)兩端對時間求導(dǎo)數(shù)并將式(8)代入， 得
-k1|σ|α+1-k2|σ|β+1+|σ||d(t)|.
(12)
式(12)經(jīng)過變形可得
-k1|σ|α+1-|σ|[k2|σ|β-|d(t)|].
(13)
如果滿足k2|σ|β-δ≥0，則
(14)
由引理1可知， 系統(tǒng)關(guān)于平衡零點有限時間收斂， 因此區(qū)域
(15)
能夠保證有限時間的收斂性．
式(9)亦可變形為
(16)
如果滿足k1|σ|α-δ≥0，則
(17)
由引理1可知，系統(tǒng)關(guān)于平衡零點有限時間收斂性，因此區(qū)域
(18)
同樣能夠保證有限時間的收斂性．綜合式(15)和(18)可得σ在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)域
(19)
將上式代入式(11)，可得
|σ|≤k1|σ|αsgn(σ)+k2|σ|βsgn(σ)+|d(t)|≤k1|σ|α+k2|σ|β+|d(t)|≤
(20)
綜上， 定理2得證．
2 仿真算例及分析析
考慮非線性單輸入單輸出系統(tǒng)
(21)
其中d(t)為系統(tǒng)存在的不確定性，假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)σ(0)=6．當(dāng)d(t)=0時， 分別利用指數(shù)趨近律、冪次趨近律、快速冪次趨近律和本文提出的快速雙冪次趨近律設(shè)計控制律 并進行仿真， 以檢驗本文算法的有效性;當(dāng)d(t)=0．5sin(2t)+0．3cost時， 檢驗本文提出的雙冪次趨近律的穩(wěn)態(tài)界是否正確．
2．1 各趨近律仿真對比
當(dāng)系統(tǒng)不存在不確定性， 即d(t)=0時，分別利用各趨近律設(shè)計的控制律如下:
1) 指數(shù)趨近律:u1=kzσ-εsgn(σ)；
2) 冪次趨近律:u2=km|σ|αzsgn(σ)；
3) 快速冪次趨近律:u3=ks1|σ|-ks2|σ|αssgn(σ)；
4) 快速雙冪次趨近律:u4=k1|σ|αsgn(σ)-k2|σ|βsgn(σ)-k3σ.
由圖1和圖2可見：指數(shù)趨近律盡管收斂速度較快，但含有常數(shù)項，使得系統(tǒng)狀態(tài)在接近滑動模態(tài)階段出現(xiàn)較嚴(yán)重的抖振;冪次趨近律盡管消除了抖振，但在遠離滑動模態(tài)階段收斂速度過小，導(dǎo)致收斂時間過長;快速冪次趨近律和快速雙冪次趨近律在消除抖振的同時，趨近速度明顯高于指數(shù)趨近律和冪次趨近律．相比于快速冪次趨近律， 快速雙冪次趨近律具有更好的運動品質(zhì):系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑動模態(tài)時，雙冪次趨近律的速度高于其他趨近律;系統(tǒng)狀態(tài)接近滑動模態(tài)時，快速雙冪次趨近律速度則低于其他趨近律，實現(xiàn)了與滑動模態(tài)的光滑過渡，有利于削弱系統(tǒng)抖振;初始誤差越大，快速雙冪次趨近律(即圖中的新型冪次趨近律)的速度優(yōu)勢越明顯．
2．2雙冪次趨近律穩(wěn)態(tài)誤差界仿真
3 結(jié)論
本文提出了一種快速雙冪次趨近律設(shè)計方案， 旨在解決傳統(tǒng)趨近律收斂速度過慢、收斂時間過長， 或者抖振嚴(yán)重等缺陷． 理論分析表明: 所提出的趨近律不僅可以有效地去除抖振， 而且無論在遠離還是接近滑動模態(tài)時均具有很快的趨近速度; 在有限的收斂時間后具有二階滑模特性，即 ;當(dāng)存在有界外擾時， 和分別收斂于平衡零點的有界鄰域內(nèi)．
[1] FFIDMAN L， LEVANT A． Higher order sliding modes as the natural phenomena of control theory[C]． Proc of the Workshop Variable Structure and Lyapunov Technique． Benevento， 1994: 302-309．
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[3] FENG Y， YU X H， MAN Z H． Non-singular adaptive terminal sliding mode control of rigid manipulators[J]． Automatica， 2002， 38(12): 2159-2167．
[4] Y MIN WANG， Y FENG， X YU． Higher-order nonsingular terminal sliding mode control of uncertain multivariable systems[C]． The 33rd Annual Conf of the IEEE Industrial Electronics Society． Taibei， 2007: 710-714．
[5] GAO W B． Theory and design method for variable sliding mode control[M]． Beijing: Science Press， 1996: 241-254．
[6] YU S， YU X， SHIRINZADEN B， et al． Continuous finite-time control for robotic manipulators with terminal sliding mode[J]． Automatica， 2005， 41(11): 1957-1964．
[7] LI P． Research and application of traditional and higher-order sliding mode control[D]． Changsha: College of Mechanic Engineering and Automation， NationalUniversity of Defense Technology， 2011．
[8] MEI H， WANG Y． Fast convergent sliding mode variable structure control of robot[J]． Information and Control， 2009， 38(5): 552-557．
[9] MARKS G M， SHTESSEL Y B， GRATT H． Effects of high order sliding mode guidance and observers on hit-to- kill Interceptions[C]． AIAA Guidance， Navigation， and Control Conf and Exhibit． San Francisco， 2005: AIAA-2005-5967．
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