體上四階特殊線性群同態(tài)的一個性質(zhì)

鐘 梅

(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)

0 引言

設(shè)F，K表示體，In是體上n階的單位陣，ChF表示體F的特征，Eij表示除第i行第j列的元素為1，其它元素均為0的矩陣，SLn(F)、GLn(F)分別表示F上的n階特殊線性群、一般線性群.且記

Jij=In-2Eii-2Ejj，1≤j

Tij(x)=In+Eij(x)，1≤i，j≤n，i≠j，x∈F；

Sij=In-Eii-Ejj+Eij-Eji，1≤i

ipA=PAP-1，?A∈SLn(F)，P∈GLn(F)．

線性群同態(tài)一直以來受到一些學(xué)者的關(guān)注，是矩陣代數(shù)研究的重要課題.文獻(xiàn)[1]于1990年在一定條件下確定了域上二階特殊線性群的同態(tài)形式.文獻(xiàn)[2]于1995年研究了特征相同的兩個域F和K的的單同態(tài)σ:SLn(F)→SLn(K)和σ:GLn(F)→GLn(K).文獻(xiàn)[4]研究了域上二維特殊線性群的同態(tài).文獻(xiàn)[5～6]研究了特征等于2時體上三階四階特殊線性群的同態(tài)形式.文獻(xiàn)[7]研究了特殊線性群到同階射影一般線性群的非平凡同態(tài)，得到了有關(guān)基礎(chǔ)域的特征的一個結(jié)論.文獻(xiàn)[8]研究了體上三階特殊線性群的非平凡同態(tài)，得到了有關(guān)基礎(chǔ)體的特征的一個性質(zhì).本文在此基礎(chǔ)上，得到了體上四階殊線性群的非平凡群同態(tài)的一個類似的性質(zhì).

1 主要結(jié)論及其證明

引理1．1 設(shè)F，K為體，φ∶SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同態(tài)，若ChF≠2，ChK=2，且?P∈GL4(K)，使ip(J12)=T12(1)，則?P1∈GL4(K)，使

ip1φ(J12)=T12(1)，

證明由已知?P∈GL4(K)，使ipφ(J12)=T12(1)．經(jīng)計算有

若VUV-1=T12(1)，則令P1=(I2⊕V)P，可推出，存在a1，a2，b1∈K，使

由S12與J12交換且平方為J12，知有

再由[S12，J13]=J12，有

ip1φ(J12)=T12(1)，

引理得證.

引理1．2 設(shè)F，K為體，φ：SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同態(tài)，若ChF≠2，ChK=2，且?P∈GL4(K)，使

其中a，b，a1，b1∈K.

證明略

定理1．3設(shè)F，K為體，|F|>2，n≥3，φ：SL4(F)→SL4(K)是非平凡群同態(tài)，則ChF≠2?ChK≠2.

證明下面用反證法證.

假設(shè)ChK=2，由對合的性質(zhì)，?P∈GL4(K)，使

(1)若ipφ(J12)=T12(1)，由引理1．1，則?P1∈GL4(K)，使

ip1φ(J12)=T12(1)，

又Ay為對合，有y1=1，Y2=I2，于是

Ip1φ(T12(y))=ip1φ(Ay)·ip1φ(J13)=

類似可得到c=0，與φ非平凡矛盾.

qy=0或qy=1.

特別有

類似又得到ip1φT12(y)=I4，與φ非平凡矛盾.

由于T12(1)與J12交換，則ip2T12(1)為下述形狀：

綜上，ChK≠2．

[1] CHEN Y． Homomorphisms of two dimensional linear groups [J]．Comm Alg，1990，18(7):2383-2396.

[2] ZHA J G．Determziation of Homomorphisms between linear groups of the same degree over division rings [J]．J．Lond Math．Soc．，1995，53(2):479-488．

[3] 劉國華，胡建華．域上二維特殊線性群的同態(tài) [J]．上海理工大學(xué)學(xué)報．2010，32(2)：115-120．

[4] 鐘梅． 體上三階特殊線性群的同態(tài) [J]．嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)，2006，24(3)：9-11．

[5] 鐘梅． 體上四階特殊線性群的同態(tài) [J]．嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)，2007，25(6)：8-12．

[6] 生玉秋，閆闖．線性群同態(tài)的一個結(jié)論 [J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報，2008，24(3):50-53．

[7] 鐘梅． 體上三階特殊線性群的同態(tài)的一個結(jié)論 [J]．嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報，2012，30(2)：15-16．

[8] 華羅賡，萬哲先．典型群 [M]．上海：上海科技出版社，1963．