概念教學中幾何直觀的運用策略

嚴向紅

數學課程標準明確指出，在數學教學中應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想。這其中的幾何直觀一直是數學教育關注的熱點，相對于幾何圖形本身來說，在內容上、意義上和方法上更有研究意義。

一、加強操作感知，發(fā)揮支撐作用

概念的引入過程是學生學習概念的準備過程，根據小學生的年齡特征和思維水平，在概念的引入過程中通過安排學生動手操作、觀察比較可以促進學生對數學概念的主動認知，以直觀的圖形以及相關的表象支撐對抽象的數學概念的理解。

例如四年級下冊“倍數和因數”的教學中，利用學生對長方形和正方形的已有直觀認識，先安排學生用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，在學生動手操作的基礎上，提出：“每排擺了幾個，可以擺幾排，怎樣用乘法算式把自己的擺法表示出來？”在此基礎上結合其中具體的乘法算式介紹倍數和因數的含義。這樣的教學避免了倍數和因數的抽象定義，讓學生在操作中激活已有的圖形拼擺經驗，從小正方形每排擺的個數和擺的排數的直觀感知中洞悉倍數和因數的相互依存關系。因為直觀的圖形操作感知好比一個重要的支點，支撐著學生的抽象思維。

二、注重數形結合，發(fā)揮橋梁作用

華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！痹谛W生建構抽象的數學概念時，注重數形結合，用形象直觀的圖形來支撐對抽象的數的理解，不僅有助于學生正確理解概念的意義，而且能夠借助數的精確性進一步發(fā)展學生的幾何直觀能力。

例如三年級下冊的“認識小數”是在學生初步認識分數的基礎上進行教學的，重點是理解一位小數的意義，也就是一位小數表示十分之幾，十分之幾可以寫成一位小數。雖然學生在生活中已經積累了大量的小數方面的經驗，但對小數本質的理解卻不是一個簡單的過程。教學中，通過發(fā)揮圖形的橋梁作用，可以使學生借助形象思維溝通小數與分數的聯(lián)系。

（1）圖1中的陰影部分用分數表示是（ ），用小數表示是（ ）。

（2）圖2中的陰影部分用小數表示是（ ），用分數表示是（ ）。

（3）自己任意寫一個小數，再在圖3中畫出陰影部分表示，想一想它用分數表示是（ ）。

■

圖1 圖2 圖3

在此基礎上引導學生進行交流，觀察比較寫出的分數有什么共同的特征，寫出的小數有什么共同的特征，得出零點幾表示十分之幾，十分之幾都可以寫成零點幾。這里讓學生通過圖形的直觀從分數到小數，從小數到分數，在小數和分數的互化中自由地穿梭。學生收獲的不僅是一位小數的本質含義，更有對一位小數的直觀性認識，整體性的把握。

三、借助想象生成，發(fā)揮延伸作用

想象是一種特殊的思維。知覺一般只反映事物外部的和表面的聯(lián)系，而想象是人腦對已有的感知材料經過加工改造后進一步深化的認識。有一些數學概念僅僅依靠感知是無法形成完整的表象的，這時可以讓學生在感知的基礎上引發(fā)想象，在表象直觀中進行動態(tài)延伸，從而把握概念的本質特征。

例如四年級上冊的“射線、直線和角”一課，在學生認識線段的特征的基礎上進一步學習射線、直線。從線段的有限長到射線的無限長是學生認知上一個坎，“無限長”是射線這一概念的重要特征，同時也是學生理解的難點。教學中，教師先出示一支激光筆，把光射在墻上，讓學生觀察激光筆和墻之間的光線，接著引導學生想象如果墻離得更遠一些，這束光線會發(fā)生什么變化；如果再遠一些會怎樣；如果沒有墻的遮擋，這束光線會射向哪里呢？通過想象讓學生體會無限，接著在電腦上出示一條線段，再借助電腦的動態(tài)演示，將線段的一個端點擦除，慢慢延長，然后引導學生想象這樣繼續(xù)不斷地延長，讓學生在想象中體會射線“無限長”的特征，形成射線的表象。

四、運用圖形變式，發(fā)揮修正作用

數學概念的教學中，學生常常因為感性經驗和片面性的消極影響而對概念的理解有偏差。圖形變式就是在教學中運用圖形改變呈現(xiàn)的方式和材料的形式，盡可能從不同角度展現(xiàn)多種不同的形式。變式對學生理解概念及概念之間的關系等具有重要的作用，它有助于學生把握概念的本質屬性，排除無關因素的干擾，減少生活經驗的負面影響。

例如四年級下冊的“三角形的高”，因為高的概念比較抽象，教材先借助生活中的人字梁引出三角形的高，讓學生依托生活中形成的高的表象來建構三角形的高，但這時學生形成的對高的認識與三角形的高的本質是不同的，為了及時修正學生對三角形的高的認識，及時打破學生頭腦中剛剛形成的片面的表象，就要運用圖形變式，改變三角形擺放的位置，使得呈現(xiàn)出來的高有的是豎著的，有的是橫著的，也有的是斜著的，再引導學生觀察這些高的共同特征，學生就會發(fā)現(xiàn)它們都是從三角形的一個頂點向它的對邊所畫的垂直線段，這時三角形高的本質屬性就正確地呈示出來了。

（責編 金 鈴）endprint

數學課程標準明確指出，在數學教學中應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想。這其中的幾何直觀一直是數學教育關注的熱點，相對于幾何圖形本身來說，在內容上、意義上和方法上更有研究意義。

一、加強操作感知，發(fā)揮支撐作用

概念的引入過程是學生學習概念的準備過程，根據小學生的年齡特征和思維水平，在概念的引入過程中通過安排學生動手操作、觀察比較可以促進學生對數學概念的主動認知，以直觀的圖形以及相關的表象支撐對抽象的數學概念的理解。

例如四年級下冊“倍數和因數”的教學中，利用學生對長方形和正方形的已有直觀認識，先安排學生用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，在學生動手操作的基礎上，提出：“每排擺了幾個，可以擺幾排，怎樣用乘法算式把自己的擺法表示出來？”在此基礎上結合其中具體的乘法算式介紹倍數和因數的含義。這樣的教學避免了倍數和因數的抽象定義，讓學生在操作中激活已有的圖形拼擺經驗，從小正方形每排擺的個數和擺的排數的直觀感知中洞悉倍數和因數的相互依存關系。因為直觀的圖形操作感知好比一個重要的支點，支撐著學生的抽象思維。

二、注重數形結合，發(fā)揮橋梁作用

華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！痹谛W生建構抽象的數學概念時，注重數形結合，用形象直觀的圖形來支撐對抽象的數的理解，不僅有助于學生正確理解概念的意義，而且能夠借助數的精確性進一步發(fā)展學生的幾何直觀能力。

例如三年級下冊的“認識小數”是在學生初步認識分數的基礎上進行教學的，重點是理解一位小數的意義，也就是一位小數表示十分之幾，十分之幾可以寫成一位小數。雖然學生在生活中已經積累了大量的小數方面的經驗，但對小數本質的理解卻不是一個簡單的過程。教學中，通過發(fā)揮圖形的橋梁作用，可以使學生借助形象思維溝通小數與分數的聯(lián)系。

（1）圖1中的陰影部分用分數表示是（ ），用小數表示是（ ）。

（2）圖2中的陰影部分用小數表示是（ ），用分數表示是（ ）。

（3）自己任意寫一個小數，再在圖3中畫出陰影部分表示，想一想它用分數表示是（ ）。

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圖1 圖2 圖3

在此基礎上引導學生進行交流，觀察比較寫出的分數有什么共同的特征，寫出的小數有什么共同的特征，得出零點幾表示十分之幾，十分之幾都可以寫成零點幾。這里讓學生通過圖形的直觀從分數到小數，從小數到分數，在小數和分數的互化中自由地穿梭。學生收獲的不僅是一位小數的本質含義，更有對一位小數的直觀性認識，整體性的把握。

三、借助想象生成，發(fā)揮延伸作用

想象是一種特殊的思維。知覺一般只反映事物外部的和表面的聯(lián)系，而想象是人腦對已有的感知材料經過加工改造后進一步深化的認識。有一些數學概念僅僅依靠感知是無法形成完整的表象的，這時可以讓學生在感知的基礎上引發(fā)想象，在表象直觀中進行動態(tài)延伸，從而把握概念的本質特征。

例如四年級上冊的“射線、直線和角”一課，在學生認識線段的特征的基礎上進一步學習射線、直線。從線段的有限長到射線的無限長是學生認知上一個坎，“無限長”是射線這一概念的重要特征，同時也是學生理解的難點。教學中，教師先出示一支激光筆，把光射在墻上，讓學生觀察激光筆和墻之間的光線，接著引導學生想象如果墻離得更遠一些，這束光線會發(fā)生什么變化；如果再遠一些會怎樣；如果沒有墻的遮擋，這束光線會射向哪里呢？通過想象讓學生體會無限，接著在電腦上出示一條線段，再借助電腦的動態(tài)演示，將線段的一個端點擦除，慢慢延長，然后引導學生想象這樣繼續(xù)不斷地延長，讓學生在想象中體會射線“無限長”的特征，形成射線的表象。

四、運用圖形變式，發(fā)揮修正作用

數學概念的教學中，學生常常因為感性經驗和片面性的消極影響而對概念的理解有偏差。圖形變式就是在教學中運用圖形改變呈現(xiàn)的方式和材料的形式，盡可能從不同角度展現(xiàn)多種不同的形式。變式對學生理解概念及概念之間的關系等具有重要的作用，它有助于學生把握概念的本質屬性，排除無關因素的干擾，減少生活經驗的負面影響。

例如四年級下冊的“三角形的高”，因為高的概念比較抽象，教材先借助生活中的人字梁引出三角形的高，讓學生依托生活中形成的高的表象來建構三角形的高，但這時學生形成的對高的認識與三角形的高的本質是不同的，為了及時修正學生對三角形的高的認識，及時打破學生頭腦中剛剛形成的片面的表象，就要運用圖形變式，改變三角形擺放的位置，使得呈現(xiàn)出來的高有的是豎著的，有的是橫著的，也有的是斜著的，再引導學生觀察這些高的共同特征，學生就會發(fā)現(xiàn)它們都是從三角形的一個頂點向它的對邊所畫的垂直線段，這時三角形高的本質屬性就正確地呈示出來了。

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數學課程標準明確指出，在數學教學中應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想。這其中的幾何直觀一直是數學教育關注的熱點，相對于幾何圖形本身來說，在內容上、意義上和方法上更有研究意義。

一、加強操作感知，發(fā)揮支撐作用

概念的引入過程是學生學習概念的準備過程，根據小學生的年齡特征和思維水平，在概念的引入過程中通過安排學生動手操作、觀察比較可以促進學生對數學概念的主動認知，以直觀的圖形以及相關的表象支撐對抽象的數學概念的理解。

例如四年級下冊“倍數和因數”的教學中，利用學生對長方形和正方形的已有直觀認識，先安排學生用12個同樣大的正方形拼成一個長方形，在學生動手操作的基礎上，提出：“每排擺了幾個，可以擺幾排，怎樣用乘法算式把自己的擺法表示出來？”在此基礎上結合其中具體的乘法算式介紹倍數和因數的含義。這樣的教學避免了倍數和因數的抽象定義，讓學生在操作中激活已有的圖形拼擺經驗，從小正方形每排擺的個數和擺的排數的直觀感知中洞悉倍數和因數的相互依存關系。因為直觀的圖形操作感知好比一個重要的支點，支撐著學生的抽象思維。

二、注重數形結合，發(fā)揮橋梁作用

華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！痹谛W生建構抽象的數學概念時，注重數形結合，用形象直觀的圖形來支撐對抽象的數的理解，不僅有助于學生正確理解概念的意義，而且能夠借助數的精確性進一步發(fā)展學生的幾何直觀能力。

例如三年級下冊的“認識小數”是在學生初步認識分數的基礎上進行教學的，重點是理解一位小數的意義，也就是一位小數表示十分之幾，十分之幾可以寫成一位小數。雖然學生在生活中已經積累了大量的小數方面的經驗，但對小數本質的理解卻不是一個簡單的過程。教學中，通過發(fā)揮圖形的橋梁作用，可以使學生借助形象思維溝通小數與分數的聯(lián)系。

（1）圖1中的陰影部分用分數表示是（ ），用小數表示是（ ）。

（2）圖2中的陰影部分用小數表示是（ ），用分數表示是（ ）。

（3）自己任意寫一個小數，再在圖3中畫出陰影部分表示，想一想它用分數表示是（ ）。

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圖1 圖2 圖3

在此基礎上引導學生進行交流，觀察比較寫出的分數有什么共同的特征，寫出的小數有什么共同的特征，得出零點幾表示十分之幾，十分之幾都可以寫成零點幾。這里讓學生通過圖形的直觀從分數到小數，從小數到分數，在小數和分數的互化中自由地穿梭。學生收獲的不僅是一位小數的本質含義，更有對一位小數的直觀性認識，整體性的把握。

三、借助想象生成，發(fā)揮延伸作用

想象是一種特殊的思維。知覺一般只反映事物外部的和表面的聯(lián)系，而想象是人腦對已有的感知材料經過加工改造后進一步深化的認識。有一些數學概念僅僅依靠感知是無法形成完整的表象的，這時可以讓學生在感知的基礎上引發(fā)想象，在表象直觀中進行動態(tài)延伸，從而把握概念的本質特征。

例如四年級上冊的“射線、直線和角”一課，在學生認識線段的特征的基礎上進一步學習射線、直線。從線段的有限長到射線的無限長是學生認知上一個坎，“無限長”是射線這一概念的重要特征，同時也是學生理解的難點。教學中，教師先出示一支激光筆，把光射在墻上，讓學生觀察激光筆和墻之間的光線，接著引導學生想象如果墻離得更遠一些，這束光線會發(fā)生什么變化；如果再遠一些會怎樣；如果沒有墻的遮擋，這束光線會射向哪里呢？通過想象讓學生體會無限，接著在電腦上出示一條線段，再借助電腦的動態(tài)演示，將線段的一個端點擦除，慢慢延長，然后引導學生想象這樣繼續(xù)不斷地延長，讓學生在想象中體會射線“無限長”的特征，形成射線的表象。

四、運用圖形變式，發(fā)揮修正作用

數學概念的教學中，學生常常因為感性經驗和片面性的消極影響而對概念的理解有偏差。圖形變式就是在教學中運用圖形改變呈現(xiàn)的方式和材料的形式，盡可能從不同角度展現(xiàn)多種不同的形式。變式對學生理解概念及概念之間的關系等具有重要的作用，它有助于學生把握概念的本質屬性，排除無關因素的干擾，減少生活經驗的負面影響。

例如四年級下冊的“三角形的高”，因為高的概念比較抽象，教材先借助生活中的人字梁引出三角形的高，讓學生依托生活中形成的高的表象來建構三角形的高，但這時學生形成的對高的認識與三角形的高的本質是不同的，為了及時修正學生對三角形的高的認識，及時打破學生頭腦中剛剛形成的片面的表象，就要運用圖形變式，改變三角形擺放的位置，使得呈現(xiàn)出來的高有的是豎著的，有的是橫著的，也有的是斜著的，再引導學生觀察這些高的共同特征，學生就會發(fā)現(xiàn)它們都是從三角形的一個頂點向它的對邊所畫的垂直線段，這時三角形高的本質屬性就正確地呈示出來了。

（責編 金 鈴）endprint