城市環(huán)境下大氣流動CFD縮尺模擬方法

潘無忌, 汪 新, 趙冰春

(廣東工業(yè)大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院, 廣州 510006)

0 引 言

城市規(guī)劃氣候適應(yīng)性設(shè)計需在城市形態(tài)的規(guī)劃設(shè)計過程中綜合考慮建筑密度、建筑高度等一系列技術(shù)指標(biāo)對城市微氣候(如風(fēng)速、風(fēng)向、溫度、濕度等)的影響，對定量分析工具的時間、空間分辨率要求較高，故計算流體力學(xué)(Computational Fluid Dynamics，CFD)模擬技術(shù)被認為是最適合的分析工具之一[1-2]。然而，大多數(shù)城市微氣候CFD模擬均是基于足尺模型，計算開銷大且對計算硬件條件依賴性強。對于區(qū)域稍大的城市微氣候問題，即使采用雷諾平均湍流模擬，網(wǎng)格數(shù)也在千萬級以上[3-4]。例如，文獻[5]所報道的對整個東京城區(qū)風(fēng)速場和溫度場的模擬，網(wǎng)格更是多達50億。顯然，這是目前一般小型計算機的內(nèi)存和存儲條件所難以滿足的。因此，尋找和探索減少計算開銷的方法就成為城市微氣候CFD數(shù)值模擬迫切需要解決的問題之一。

根據(jù)相似理論的基本原理，只要維持足尺現(xiàn)象與計算模型之間的單值條件相似，并保證同名相似準則相等，則可以對計算模型進行尺度的縮小與放大、參數(shù)的提高和降低、介質(zhì)性能的改變等操作而不改變其相似性[6]。因此，一些學(xué)者開始探索CFD縮尺模擬方法提高計算效益[7-12]。文獻[7]采用了幾何縮尺模型進行數(shù)值模擬，但依然采用實際流動介質(zhì)，縮尺模擬結(jié)果不能達到與實際現(xiàn)象的完全相似。為了保證縮尺模擬的相似性，通常是根據(jù)實際流動的動力-熱力過程確定關(guān)鍵相似準則，并以此指導(dǎo)設(shè)計實際縮尺或放尺模擬方案。例如，文獻[8]基于弗勞德準則對道路隧道通風(fēng)問題進行了縮尺模擬，結(jié)果顯示縮尺模擬與足尺模擬之間有良好的相似性；文獻[9]則根據(jù)阿基米德數(shù)相等的原則對室內(nèi)熱環(huán)境進行相似模擬，也證實了方法的可行性。但研究也顯示[13]：在一些特定情況下，由于某些相似準則不易匹配會導(dǎo)致計算結(jié)果產(chǎn)生不同程度的失真。

綜合文獻分析可以發(fā)現(xiàn)：目前CFD相似模擬技術(shù)主要是通過移植物理相似試驗原理發(fā)展起來的，即在幾何縮尺的同時保留物理模型不變，通過控制關(guān)鍵相似準則達到相似要求。此類方法沒有充分考慮計算機仿真的特殊性，它們還是在一種不完全相似的條件下進行的模擬，局限性沒有得到解決。

本文從大氣流動控制方程組出發(fā)，通過方程推導(dǎo)法推導(dǎo)出對應(yīng)的相似準則，并通過構(gòu)造滿足相似準則的虛擬流動介質(zhì)用于城市微氣候CFD縮尺模擬計算，從而保證相似性得到嚴格的滿足。這種縮尺模擬方法從本質(zhì)上維持了縮尺模型和足尺模型的相似性，可以在保證較高精度的同時大幅減少計算開銷。

1 CFD縮尺模擬方法

根據(jù)相似第三定理[14]：如兩個現(xiàn)象的單值條件相似，且由單值量組成的同名相似準則數(shù)值相同，則這兩個現(xiàn)象相似。基于該相似定理，以下所構(gòu)筑CFD縮尺模擬方法首先推導(dǎo)了相似流動的相似準則及邊界條件，然后通過構(gòu)造完全滿足相似準則的虛擬流動介質(zhì)用于縮尺模型數(shù)值計算，以保證縮尺數(shù)值計算與原型流動之間的相似性。

1.1 相似流動的相似準則

假設(shè)大氣為不可壓縮的恒定流，在不考慮輻射傳熱引起的浮力影響情況下，大氣流動可由以下控制方程組所描述[15]。

質(zhì)量守恒方程：

(1)

動量守恒方程(簡稱N-S方程)：

(2)

能量守恒方程：

(3)

式中：下標(biāo)i和j表示方向，xi是笛卡爾坐標(biāo)，m；ui是速度分量，m/s；t為時間，s；ρ為空氣密度，kg/m3；p是流體微元體上的壓力，Pa；ν為運動粘滯系數(shù)，m2/s；gi為重力加速度，m/s2；β為體積膨脹率，1/K；T和Tref分別為瞬時溫度和浮力參考溫度，ΔT為兩者的差值，K；Cv為定壓比熱容，J/(kg·K)；kd為導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)。

將原型(P)與模型(P′)的各物理量的相似比用CP表示，則有

(4)

式中，l為特征長度，m；u為速度，m/s；其余各物理量概念與前文一致。

將式(4)代入控制方程(1)、(2)和(3)，得

(5)

(6)

(7)

使式(6)、(7)中每一項的相似比組合量彼此相等，則

(8)

將相似變換式(4)代入式(8)，可得：

(9)

(10)

(11)

(12)

由此可以看出：在浮力影響下的相似大氣流動中，必須在模型和原型之間嚴格維持雷諾數(shù)Re、理查德森數(shù)Ri、普朗特數(shù)Pr以及愛克特數(shù)Ec等相似準則彼此相等。

1.2 相似流動邊界條件

根據(jù)相似理論，縮尺模型和足尺模型滿足相似性需要保證邊界條件相似，包括流動邊界條件和熱力邊界條件。

在不考慮輻射換熱的穩(wěn)態(tài)模擬中，足尺模型和縮尺模型之間流動邊界條件相似需要在對應(yīng)位置上平均風(fēng)速等于給定的速度比、湍流強度保持相等，以及湍流積分尺度等于給定縮尺比；而熱力邊界條件相似只需流體溫度及壁面溫度維持不變即可。

1.3 虛擬流動介質(zhì)構(gòu)筑方法

由式(9～12)可知，大氣流動的相似準則有4個：雷諾數(shù)Re、理查德森數(shù)Ri、普朗特數(shù)Pr、愛克特數(shù)Ec；變量有10個：密度ρ、速度u、特征長度l、運動黏滯系數(shù)ν、溫度差ΔT、重力加速度gi、體積膨脹率β、導(dǎo)熱系數(shù)kd、比熱容Cv、溫度T。

在本文的模擬中，指定溫度差ΔT、重力加速度gi、體積膨脹率β、溫度T的相似比為1、速度u的相似比為2、特征長度l的相似比為4，根據(jù)同名相似準則相等的原則，即可根據(jù)式(8)確定密度ρ、運動黏滯系數(shù)ν、導(dǎo)熱系數(shù)kd、比熱容Cv等4個變量的相似比，將各相似比代入式(4)可得到嚴格滿足相似條件的虛擬流動介質(zhì)的物性參數(shù)。

2 數(shù)值模擬與分析

2.1 計算模型與邊界條件

計算模型如圖1所示，模型中的建筑物布置兩行兩列，足尺模型的建筑物長L和寬B取20 m，高H取40 m，建筑物間距W取20 m。取縮尺比為1∶4，對應(yīng)的縮尺模型中L=B=5 m ,H=10 m，W=5 m。在計算模型0.05H～0.95H的高度之間每隔0.1H作一平面，在每個平面上取14個采樣點，計算模型及采樣點平面位置如圖1所示。

圖1 計算模型和采樣點位置平面示意圖Fig.1 Plane diagram of the calculation model and the locations of the sampling points

如圖2所示，模擬計算域以建筑高度H為參照，入流邊界設(shè)置在建筑群迎風(fēng)面前5H處，出流邊界設(shè)置在背風(fēng)面后20H處，側(cè)流邊界設(shè)置在距離建筑最近墻面3H處，計算域頂部邊界離地5H。計算域采用非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格劃分，足尺模型與縮尺模型網(wǎng)格劃分對比如表1所示。由表1可知，縮尺模型網(wǎng)格數(shù)量約為足尺模型網(wǎng)格數(shù)量的0.5倍。

表1 足尺模型與縮尺模型網(wǎng)格劃分對比Table 1 Parameters of discretization

圖2 計算域示意圖Fig.2 Diagram of the computational domain

足尺模型對應(yīng)的物性參數(shù)[16]如表2所示。根據(jù)虛擬流動介質(zhì)構(gòu)筑方法，由足尺模型的物性參數(shù)推導(dǎo)出縮尺模型的物性參數(shù)如表2所示。

表2 足尺模型與縮尺模型對應(yīng)的物性參數(shù)Table 2 Parameters of physical property

湍流模擬采用商業(yè)軟件Fluent中的SSTk-ω模型，近壁區(qū)采用標(biāo)準壁面函數(shù)，引入Boussinesq密度假設(shè)，足尺模型和縮尺模型的入流邊界設(shè)置為Dirichlet邊界條件、入流溫度30 ℃，對應(yīng)的平均風(fēng)速剖面、湍流剖面設(shè)置如表3所示，出流邊界設(shè)置為自由出流邊界條件、零梯度溫度壁面，側(cè)向邊界及頂部邊界設(shè)置為對稱邊界條件、熱對稱邊界，固壁邊界設(shè)置為無滑移光滑壁面、固壁恒溫36 ℃。

解的收斂控制標(biāo)準設(shè)為：各求解變量的殘差不大于10-4，在求解域內(nèi)整體不平衡率低于5%。

2.2 計算結(jié)果與分析

2.2.1 流動形態(tài)分析

足尺模型和縮尺模型在離地0.5H平面的大氣流動形態(tài)可由圖3看出：沿流動方向，在建筑物之間氣流因巷道效應(yīng)加速；前排建筑物背面產(chǎn)生回流腔區(qū)，腔區(qū)范圍受后排建筑物限制；后排建筑物背面亦產(chǎn)生回流腔區(qū)，腔區(qū)尺度相對較大；腔區(qū)內(nèi)流速較其他區(qū)域變慢。足尺模型和縮尺模型的平面流動形態(tài)具有良好的相似性。

(a) Full-scale model

(b) Scaled model

足尺模擬和縮尺模擬中A排建筑中心立面處的風(fēng)速矢量圖如圖4所示。從圖4(a)中可以看出：在足尺模型中，氣流在前排建筑屋面前端產(chǎn)生分離，在繞流后，一部分氣流下陷到建筑物之間形成上下兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的旋渦結(jié)構(gòu)；氣流在前排建筑物屋面前端分離產(chǎn)生回流腔區(qū)，繞流后的氣流附著到后排建筑物屋面，并在第二排建筑背面形成一個回流腔區(qū)。通過比較圖4(b)給出的縮尺模擬結(jié)果可以看出：兩者之間的豎向流動形態(tài)在特征上也維持了較好的相似性。

(a) Full-scale model

(b) Scaled model

2.2.2 模擬精度分析

為了對本文模擬方法的精度進行說明，選取位于建筑物背風(fēng)面低風(fēng)速區(qū)的采樣點5和順風(fēng)道高風(fēng)速區(qū)的采樣點12在不同高度處的風(fēng)壓和溫度以及冠層內(nèi)流動形態(tài)較復(fù)雜的0.75H高度處不同采樣點的風(fēng)壓和溫度情況進行分析。其他采樣點因相似性更好，限于篇幅不在此一一展示。

(a) Cp～z/h

(b) T～z/h

(a) Comparison of Cp

(b) Comparison of T

圖7柱狀圖比較了足尺模擬和縮尺模擬各采樣點在0.75H高度處的風(fēng)壓系數(shù)和空氣溫度。從圖中可以看出：縮尺模型上各采樣點的風(fēng)壓系數(shù)和溫度與足尺模型的吻合較好，縮尺模型與足尺模擬之間有很好的相似性。

(a) Cp

(b) T

2.2.3 計算效率分析

由表1可知，縮尺模型網(wǎng)格數(shù)量約為足尺模型網(wǎng)格數(shù)量的0.5倍。在相同的計算機配置及Fluent 15.0軟件設(shè)置下，本次足尺模擬的計算時長約為100 min，縮尺模擬的計算時長約為60 min，僅為足尺模擬的0.6倍。可見，采用本文構(gòu)筑的縮尺模擬方法能夠在保證較高模擬精度的基礎(chǔ)上，有效減少計算開銷。

3 結(jié) 論

本文從城市環(huán)境下大氣流動控制方程組出發(fā)，用方程推導(dǎo)法得出了相似流動所需滿足的相似準則及邊界條件，以此構(gòu)筑出基于虛擬流動介質(zhì)的CFD縮尺模擬方法。通過算例比較分析，證明所建立的CFD縮尺模擬方法可以完整地再現(xiàn)足尺流動的形態(tài)特征，其模擬精度與足尺模擬之間的相對誤差小于5%，從而驗證了本文所建立的基于虛擬流動介質(zhì)的CFD縮尺模擬方法可以保證縮尺模擬的相似要求，并可達到有效減少計算開銷的目的。另外，值得注意的是，本文僅就大氣為不可壓縮的恒定流且不考慮輻射傳熱引起的浮力影響情況下的縮尺模擬方法進行討論，后續(xù)仍需結(jié)合城市微氣候的動力-熱力過程，對湍流、輻射、濕熱交換過程的相似本質(zhì)進行深入研究，以構(gòu)筑城市微氣候現(xiàn)象的完備的相似準則，為發(fā)展CFD縮尺模擬方法奠定堅實的理論基礎(chǔ)。