“中點四邊形”——基于研究性學(xué)習(xí)視角下的再設(shè)計

王曉峰

一、背景介紹

“中點四邊形”是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的經(jīng)典課例，但傳統(tǒng)教學(xué)更多關(guān)注的是學(xué)生的“學(xué)”，其目標(biāo)定位是對現(xiàn)成問題的分析和解決. 而中點四邊形是如何產(chǎn)生的？又是如何變化和發(fā)展的？又該如何通過“中點四邊形”這個知識載體，讓學(xué)生體會和了解研究幾何圖形一般的方法和策略？這些內(nèi)隱在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更為重要的方法和經(jīng)驗，在傳統(tǒng)教學(xué)中并不能得以足夠地體現(xiàn).

出于上述思考，筆者在近期徐州市教育學(xué)會組織的一次活動中，特地選擇了以“中點四邊形”為上課課題. 活動結(jié)束后，筆者又對本課重新進(jìn)行了整理與設(shè)計.

二、教學(xué)設(shè)計

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）鞏固三角形中位線和特殊四邊形的性質(zhì)、判定方法，發(fā)展合情推理、演繹推理的能力；（2）在經(jīng)歷想象、畫圖、觀察、實驗、猜測、驗證、歸納的探索過程中，體會和了解研究幾何圖形的一般方法，感悟聯(lián)想、分類、類比、歸納等數(shù)學(xué)思想；（3）培養(yǎng)學(xué)生樂于實踐、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

2.教學(xué)過程

通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道了順次連結(jié)三角形的各邊中點所得到的三角形叫作“中點三角形”. 那么，“中點三角形”具有哪些特點呢？請結(jié)合圖1中的△DEF說一說你對它的了解.

思考1：對于“中點三角形”，你是否還有其他的想法？請說一說.

學(xué)生可能引發(fā)的思考1：如圖2、圖3，再分別取DE，EF，F(xiàn)D的中點，連結(jié)后可得新的中點三角形；再分別取……，這些中點三角形在周長、面積、形狀等方面與原△ABC又有怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生可能引發(fā)的思考2：如圖4、圖5，當(dāng)點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的三等分點、四等分點、……時，△DEF在周長、面積、形狀等方面與原△ABC又有怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生可能引發(fā)的思考3：中點四邊形.

今天，我們選取“中點四邊形”這個問題進(jìn)行研究，并通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解幾何圖形的一般研究方法. 呈現(xiàn)課題——“中點四邊形”.

設(shè)計意圖：在進(jìn)行“三角形的中位線”的教學(xué)時，筆者有意避開了與四邊形有關(guān)的中位線問題. 另外，還專門補(bǔ)充研究了“中點三角形”. 這樣，就為本課的學(xué)習(xí)做好了鋪墊.

學(xué)生通過聯(lián)想產(chǎn)生出了若干種不同的思考，然后再在這幾種思考中選取本節(jié)課的研究主題——“中點四邊形”. 這樣的設(shè)計突出了問題的自然生成，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識和能力.

活動探究：在數(shù)學(xué)研究中，為明確研究的對象，避免產(chǎn)生歧義，應(yīng)首先給出這個對象的定義. 與中點三角形相類似，我們可將順次連結(jié)四邊形的各邊中點所得到的四邊形叫作“中點四邊形”.

【探究一】 提到一個幾何圖形，我們馬上就會想到它的形狀. 那么，你能否結(jié)合圖6，想象出任意四邊形的中點四邊形會是怎樣的四邊形？

在想象困難的時候，我們可以怎么辦？（畫圖） 請你結(jié)合圖6，畫出任意四邊形ABCD的中點四邊形EFGH，并觀察它的形狀（圖7）.

問題1：如圖6，任意四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是怎樣的四邊形？為什么？

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形.

回顧： （1）中點四邊形與原四邊形是怎樣建立聯(lián)系的？（利用三角形的中位線，通過“對角線”建立相互之間的聯(lián)系）（2）在研究這個問題的過程中，我們經(jīng)歷了怎樣的探索過程？（想象→畫圖→觀察→猜測→驗證→歸納）

設(shè)計意圖：探究一的設(shè)計因讀者都比較熟悉，這里就不再解釋. 需要指出的是，該環(huán)節(jié)的問題設(shè)計顯性化的是知識的獲取、數(shù)學(xué)本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，但在研究問題的過程中還蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想以及幾何圖形的一般研究方法，這種知識背后隱性化的東西，相比數(shù)學(xué)知識來講其實更為重要. 因此，在探究一完成后有必要對知識和方法及時進(jìn)行總結(jié).

【探究二】 思考2：通過上面的研究，我們知道了任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形，那么對于“中點四邊形”，你是否還有其他的想法？請說一說.

學(xué)生可能引發(fā)的思考1：由“中點三角形”、“中點四邊形”，聯(lián)想到“中點多邊形”，研究中點多邊形和原多邊形的周長與周長、面積與和面積之間是否存在規(guī)律性的聯(lián)系.

學(xué)生可能引發(fā)的思考2：當(dāng)原四邊形成為一種特殊形狀的四邊形時，它的中點四邊形是否也會成為一種特殊形狀的平行四邊形？

學(xué)生可能引發(fā)的思考3：當(dāng)中點四邊形成為一種特殊形狀的四邊形時，原四邊形會是怎樣的四邊形？

預(yù)設(shè)1：思考2→思考3.

我們已經(jīng)知道，對于任意一個四邊形，它的中點四邊形必然是一個平行四邊形. 按照從一般到特殊的幾何問題的研究方法，我們可以繼續(xù)考慮四邊形的特殊性，從而引發(fā)我們進(jìn)一步的思考——當(dāng)原四邊形成為一種特殊形狀的四邊形時，它的中點四邊形是否也會成為一種特殊形狀的平行四邊形？

問題2：如圖7，當(dāng)原四邊形ABCD分別是平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形時，中點四邊形EFGH會是怎樣的四邊形？請將你的發(fā)現(xiàn)填入下表：

經(jīng)過上面的探索，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)原四邊形是矩形和等腰梯形時，它們的中點四邊形都是菱形. 而“反過來想”（逆向思維）也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題時常采用的一種思維方式，那么，依據(jù)這種方式，針對這個發(fā)現(xiàn)，是否引發(fā)了你新的思考？請說一說. （是否只有矩形和等腰梯形的中點四邊形才能是菱形？是否只有菱形的中點四邊形才能是矩形？）

請你繼續(xù)探索上面這兩個問題，并將你的發(fā)現(xiàn)填入下表：

預(yù)設(shè)2：思考3→思考2.

經(jīng)過上面的探索，我們知道，對于任意一個四邊形，它的中點四邊形必然是一個平行四邊形. 按照從一般到特殊的幾何問題的研究方法，我們可以繼續(xù)考慮平行四邊形的特殊性，從而引發(fā)我們進(jìn)一步的思考——當(dāng)中點四邊形成為一種特殊形狀的四邊形時，原四邊形會是怎樣的四邊形？

問題2：如圖7，當(dāng)中點四邊形EFGH分別是菱形、矩形時，原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？請將你的發(fā)現(xiàn)填入下表：

經(jīng)過探索，我們發(fā)現(xiàn)了中點四邊形為矩形和菱形時，原四邊形必須滿足的條件，請你根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，再將下面的表格填寫完整：

總結(jié)上述對“中點四邊形”的研究過程，我們可以知道：任意一個四邊形的中點四邊形必然是平行四邊形，并且當(dāng)原四邊形的兩條對角線構(gòu)成相等或互相垂直的關(guān)系時，它的中點四邊形就會成為菱形或矩形. 也就是說，決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵不在于原四邊形的形狀，而是原四邊形的兩條對角線之間所具有的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這個發(fā)現(xiàn)也告訴了我們一個生活中的道理——不要被事物的表面現(xiàn)象所迷惑，而要透過現(xiàn)象看本質(zhì)！

設(shè)計意圖：由于不同的學(xué)生所關(guān)注的對象不同，從而造成引發(fā)的思考不同. 思考2、思考3都是學(xué)生有可能想到的，它們遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四邊形”，思考3中的“一般”則是“中點四邊形是平行四邊形”. 思考2、思考3的產(chǎn)生，并沒有先后之分. 筆者在實際教學(xué)中，就有學(xué)生先提出了思考3，并且通過問題1的解決，直接找到了原四邊形必須滿足的條件，水到渠成地解決了思考2，這顯然要比傳統(tǒng)教學(xué)中教師人為地讓學(xué)生先解決思考2，再解決思考3要更利于學(xué)生對問題的認(rèn)識. 因此，進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時，教師要關(guān)注問題的自然生成，不能強(qiáng)迫學(xué)生按照自己的方式去思考問題，要給于學(xué)生充分表達(dá)自己觀點、思路的機(jī)會，讓每一位學(xué)生都能主動地、富有個性地學(xué)習(xí).

【探究三】 相比較三角形，四邊形除四條邊外，還存在另外兩條線段——對角線. 受到中點四邊形是由順次連結(jié)四邊形各邊中點所產(chǎn)生的啟發(fā)，我們可以進(jìn)一步將四邊形的兩條對角線的中點也納入我們研究的范圍，請你繼續(xù)思考：

問題3：如圖8，已知在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點.

（1）請指出以其中的4個中點為頂點的平行四邊形；（圖9、圖10、圖11）

（2）如圖10，

①請說明四邊形EPGQ是平行四邊形的理由；

②對于平行四邊形EPGQ，你能提出怎樣的問題？（當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ分別是矩形、菱形？你能否設(shè)計出這樣的四邊形？）

③對于平行四邊形EPGQ，你還有怎樣的想法？（四邊形EPGQ一定存在嗎？當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ不存在？）

（3）如圖11，針對四邊形QFPH，說說你的認(rèn)識.

設(shè)計意圖：探究三的設(shè)計是基于以下兩個方面的考慮：一是滲透問題研究的理性思考方法. 對于幾何圖形的研究，我們要教會學(xué)生一般的研究方法，其中就有先研究構(gòu)成圖形的基本元素——邊與角，再研究由邊與角生成的新的元素，如三角形的“四線”（三條邊的中線、三個內(nèi)角的平分線、三條邊的高線、三條邊的垂直平分線）以及四邊形的對角線等等. 因此，按照這樣的方法，研究完“中點四邊形”后，就應(yīng)該研究“若再取兩條對角線的中點，又會產(chǎn)生怎樣的問題了？”二是雖然從知識掌握的角度來講，“中點四邊形”的性質(zhì)已被學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握，但教師還需要進(jìn)一步創(chuàng)造盡可能多的落實“四基”、提高“兩能”的機(jī)會，因此設(shè)計了探究三.

3.回顧總結(jié)

回顧本次學(xué)習(xí)的過程，請你談一談對“中點四邊形”的認(rèn)識，并總結(jié)幾何圖形一般的研究方法.

設(shè)計意圖：通過回顧，歸納本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出兩個方面：一是知識總結(jié)；二是方法和經(jīng)驗總結(jié)，尤其是方法和經(jīng)驗. 知識只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，從培養(yǎng)人的角度來說，方法和經(jīng)驗更為重要. 當(dāng)然，限于課堂時間有限，筆者對這個環(huán)節(jié)進(jìn)行了簡化，但考慮到該環(huán)節(jié)也十分重要，因此設(shè)計成“數(shù)學(xué)日記”的形式，讓學(xué)生在課后進(jìn)行細(xì)致的回顧、思考和總結(jié).

4.揭示聯(lián)系

本節(jié)課我們接觸到了幾種與“三角形中位線”有關(guān)的圖形，它們之間又有一定的聯(lián)系嗎？來看——在“幾何畫板”中分別按圖12～圖17的順序拖動四邊形的頂點P，動態(tài)地產(chǎn)生出了幾個圖形，其中圖12、圖13、圖15就是我們這節(jié)課已經(jīng)研究過的與“三角形中位線”有關(guān)的圖形. 不僅如此，我們又有了新的發(fā)現(xiàn)，在拖動點P的過程中，還產(chǎn)生了另外三種新的圖形，如圖14、16、17，請你依據(jù)本次學(xué)習(xí)中獲得的研究問題的方法和經(jīng)驗，課后繼續(xù)研究這三個圖形.

設(shè)計意圖：讓圖形“動”起來，是研究圖形、獲得發(fā)現(xiàn)的一種重要方法. 通過在幾何畫板中對點的拖動，不僅產(chǎn)生了學(xué)生熟悉的圖形，而且還產(chǎn)成了新的圖形，這樣不僅能夠讓學(xué)生直觀地感受到這些圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能夠自然地引發(fā)學(xué)生對新的圖形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如圖18、19、20，中點多邊形和原多邊形的周長與周長、面積與面積之間是否存在規(guī)律性的聯(lián)系？提出你的猜想，并嘗試用“幾何畫板”軟件進(jìn)行探索，再將你探索的結(jié)果用合適的形式表達(dá)出來.

（2）數(shù)學(xué)日記：

今天我們研究的是“中點四邊形”，經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我有如下的總結(jié)：

①我的收獲有：

數(shù)學(xué)知識方面：

數(shù)學(xué)思想方面：

數(shù)學(xué)問題的研究方法方面：

②我在學(xué)習(xí)中還存在的疑惑：

③對于“中點四邊形”，我還有以下的想法：

三、一些思考

研究性學(xué)習(xí)是由某個問題所引發(fā)的某個猜想或某個發(fā)現(xiàn)，通過在深度、廣度上的研究，全面地認(rèn)識這個猜想或這個發(fā)現(xiàn). 而且，在研究的過程中，往往會生成新的問題、獲得新的發(fā)現(xiàn)，從而帶來新的思考，從而形成“思考→發(fā)現(xiàn)→研究→解決→新思考→新發(fā)現(xiàn)→再研究→再解決”這樣一條研究之路.

研究性學(xué)習(xí)是以大腦思考為主的“想數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，也是最樸素、最常見、最主要的數(shù)學(xué)研究的方式. 而且，因為要進(jìn)行一項研究，就必須具有一定的知識儲備和研究能力，因此，研究性學(xué)習(xí)不僅有利于學(xué)生對基本知識和基本技能的進(jìn)一步的理解與掌握，提高分析和解決問題的能力，還能夠讓學(xué)生在研究問題的過程中，突出培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，親身體驗知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得更為廣泛的數(shù)學(xué)活動、學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗. 筆者以為，研究性學(xué)習(xí)或許更能體現(xiàn)教育的本質(zhì)——為了人的發(fā)展.

問題2：如圖7，當(dāng)中點四邊形EFGH分別是菱形、矩形時，原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？請將你的發(fā)現(xiàn)填入下表：

經(jīng)過探索，我們發(fā)現(xiàn)了中點四邊形為矩形和菱形時，原四邊形必須滿足的條件，請你根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，再將下面的表格填寫完整：

總結(jié)上述對“中點四邊形”的研究過程，我們可以知道：任意一個四邊形的中點四邊形必然是平行四邊形，并且當(dāng)原四邊形的兩條對角線構(gòu)成相等或互相垂直的關(guān)系時，它的中點四邊形就會成為菱形或矩形. 也就是說，決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵不在于原四邊形的形狀，而是原四邊形的兩條對角線之間所具有的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這個發(fā)現(xiàn)也告訴了我們一個生活中的道理——不要被事物的表面現(xiàn)象所迷惑，而要透過現(xiàn)象看本質(zhì)！

設(shè)計意圖：由于不同的學(xué)生所關(guān)注的對象不同，從而造成引發(fā)的思考不同. 思考2、思考3都是學(xué)生有可能想到的，它們遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四邊形”，思考3中的“一般”則是“中點四邊形是平行四邊形”. 思考2、思考3的產(chǎn)生，并沒有先后之分. 筆者在實際教學(xué)中，就有學(xué)生先提出了思考3，并且通過問題1的解決，直接找到了原四邊形必須滿足的條件，水到渠成地解決了思考2，這顯然要比傳統(tǒng)教學(xué)中教師人為地讓學(xué)生先解決思考2，再解決思考3要更利于學(xué)生對問題的認(rèn)識. 因此，進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時，教師要關(guān)注問題的自然生成，不能強(qiáng)迫學(xué)生按照自己的方式去思考問題，要給于學(xué)生充分表達(dá)自己觀點、思路的機(jī)會，讓每一位學(xué)生都能主動地、富有個性地學(xué)習(xí).

【探究三】 相比較三角形，四邊形除四條邊外，還存在另外兩條線段——對角線. 受到中點四邊形是由順次連結(jié)四邊形各邊中點所產(chǎn)生的啟發(fā)，我們可以進(jìn)一步將四邊形的兩條對角線的中點也納入我們研究的范圍，請你繼續(xù)思考：

問題3：如圖8，已知在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點.

（1）請指出以其中的4個中點為頂點的平行四邊形；（圖9、圖10、圖11）

（2）如圖10，

①請說明四邊形EPGQ是平行四邊形的理由；

②對于平行四邊形EPGQ，你能提出怎樣的問題？（當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ分別是矩形、菱形？你能否設(shè)計出這樣的四邊形？）

③對于平行四邊形EPGQ，你還有怎樣的想法？（四邊形EPGQ一定存在嗎？當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ不存在？）

（3）如圖11，針對四邊形QFPH，說說你的認(rèn)識.

設(shè)計意圖：探究三的設(shè)計是基于以下兩個方面的考慮：一是滲透問題研究的理性思考方法. 對于幾何圖形的研究，我們要教會學(xué)生一般的研究方法，其中就有先研究構(gòu)成圖形的基本元素——邊與角，再研究由邊與角生成的新的元素，如三角形的“四線”（三條邊的中線、三個內(nèi)角的平分線、三條邊的高線、三條邊的垂直平分線）以及四邊形的對角線等等. 因此，按照這樣的方法，研究完“中點四邊形”后，就應(yīng)該研究“若再取兩條對角線的中點，又會產(chǎn)生怎樣的問題了？”二是雖然從知識掌握的角度來講，“中點四邊形”的性質(zhì)已被學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握，但教師還需要進(jìn)一步創(chuàng)造盡可能多的落實“四基”、提高“兩能”的機(jī)會，因此設(shè)計了探究三.

3.回顧總結(jié)

回顧本次學(xué)習(xí)的過程，請你談一談對“中點四邊形”的認(rèn)識，并總結(jié)幾何圖形一般的研究方法.

設(shè)計意圖：通過回顧，歸納本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出兩個方面：一是知識總結(jié)；二是方法和經(jīng)驗總結(jié)，尤其是方法和經(jīng)驗. 知識只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，從培養(yǎng)人的角度來說，方法和經(jīng)驗更為重要. 當(dāng)然，限于課堂時間有限，筆者對這個環(huán)節(jié)進(jìn)行了簡化，但考慮到該環(huán)節(jié)也十分重要，因此設(shè)計成“數(shù)學(xué)日記”的形式，讓學(xué)生在課后進(jìn)行細(xì)致的回顧、思考和總結(jié).

4.揭示聯(lián)系

本節(jié)課我們接觸到了幾種與“三角形中位線”有關(guān)的圖形，它們之間又有一定的聯(lián)系嗎？來看——在“幾何畫板”中分別按圖12～圖17的順序拖動四邊形的頂點P，動態(tài)地產(chǎn)生出了幾個圖形，其中圖12、圖13、圖15就是我們這節(jié)課已經(jīng)研究過的與“三角形中位線”有關(guān)的圖形. 不僅如此，我們又有了新的發(fā)現(xiàn)，在拖動點P的過程中，還產(chǎn)生了另外三種新的圖形，如圖14、16、17，請你依據(jù)本次學(xué)習(xí)中獲得的研究問題的方法和經(jīng)驗，課后繼續(xù)研究這三個圖形.

設(shè)計意圖：讓圖形“動”起來，是研究圖形、獲得發(fā)現(xiàn)的一種重要方法. 通過在幾何畫板中對點的拖動，不僅產(chǎn)生了學(xué)生熟悉的圖形，而且還產(chǎn)成了新的圖形，這樣不僅能夠讓學(xué)生直觀地感受到這些圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能夠自然地引發(fā)學(xué)生對新的圖形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如圖18、19、20，中點多邊形和原多邊形的周長與周長、面積與面積之間是否存在規(guī)律性的聯(lián)系？提出你的猜想，并嘗試用“幾何畫板”軟件進(jìn)行探索，再將你探索的結(jié)果用合適的形式表達(dá)出來.

（2）數(shù)學(xué)日記：

今天我們研究的是“中點四邊形”，經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我有如下的總結(jié)：

①我的收獲有：

數(shù)學(xué)知識方面：

數(shù)學(xué)思想方面：

數(shù)學(xué)問題的研究方法方面：

②我在學(xué)習(xí)中還存在的疑惑：

③對于“中點四邊形”，我還有以下的想法：

三、一些思考

研究性學(xué)習(xí)是由某個問題所引發(fā)的某個猜想或某個發(fā)現(xiàn)，通過在深度、廣度上的研究，全面地認(rèn)識這個猜想或這個發(fā)現(xiàn). 而且，在研究的過程中，往往會生成新的問題、獲得新的發(fā)現(xiàn)，從而帶來新的思考，從而形成“思考→發(fā)現(xiàn)→研究→解決→新思考→新發(fā)現(xiàn)→再研究→再解決”這樣一條研究之路.

研究性學(xué)習(xí)是以大腦思考為主的“想數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，也是最樸素、最常見、最主要的數(shù)學(xué)研究的方式. 而且，因為要進(jìn)行一項研究，就必須具有一定的知識儲備和研究能力，因此，研究性學(xué)習(xí)不僅有利于學(xué)生對基本知識和基本技能的進(jìn)一步的理解與掌握，提高分析和解決問題的能力，還能夠讓學(xué)生在研究問題的過程中，突出培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，親身體驗知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得更為廣泛的數(shù)學(xué)活動、學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗. 筆者以為，研究性學(xué)習(xí)或許更能體現(xiàn)教育的本質(zhì)——為了人的發(fā)展.

問題2：如圖7，當(dāng)中點四邊形EFGH分別是菱形、矩形時，原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？請將你的發(fā)現(xiàn)填入下表：

經(jīng)過探索，我們發(fā)現(xiàn)了中點四邊形為矩形和菱形時，原四邊形必須滿足的條件，請你根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，再將下面的表格填寫完整：

總結(jié)上述對“中點四邊形”的研究過程，我們可以知道：任意一個四邊形的中點四邊形必然是平行四邊形，并且當(dāng)原四邊形的兩條對角線構(gòu)成相等或互相垂直的關(guān)系時，它的中點四邊形就會成為菱形或矩形. 也就是說，決定中點四邊形形狀的關(guān)鍵不在于原四邊形的形狀，而是原四邊形的兩條對角線之間所具有的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系. 這個發(fā)現(xiàn)也告訴了我們一個生活中的道理——不要被事物的表面現(xiàn)象所迷惑，而要透過現(xiàn)象看本質(zhì)！

設(shè)計意圖：由于不同的學(xué)生所關(guān)注的對象不同，從而造成引發(fā)的思考不同. 思考2、思考3都是學(xué)生有可能想到的，它們遵循的都是由一般到特殊的思路. 思考2中的“一般”是“原四邊形”，思考3中的“一般”則是“中點四邊形是平行四邊形”. 思考2、思考3的產(chǎn)生，并沒有先后之分. 筆者在實際教學(xué)中，就有學(xué)生先提出了思考3，并且通過問題1的解決，直接找到了原四邊形必須滿足的條件，水到渠成地解決了思考2，這顯然要比傳統(tǒng)教學(xué)中教師人為地讓學(xué)生先解決思考2，再解決思考3要更利于學(xué)生對問題的認(rèn)識. 因此，進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時，教師要關(guān)注問題的自然生成，不能強(qiáng)迫學(xué)生按照自己的方式去思考問題，要給于學(xué)生充分表達(dá)自己觀點、思路的機(jī)會，讓每一位學(xué)生都能主動地、富有個性地學(xué)習(xí).

【探究三】 相比較三角形，四邊形除四條邊外，還存在另外兩條線段——對角線. 受到中點四邊形是由順次連結(jié)四邊形各邊中點所產(chǎn)生的啟發(fā)，我們可以進(jìn)一步將四邊形的兩條對角線的中點也納入我們研究的范圍，請你繼續(xù)思考：

問題3：如圖8，已知在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中點.

（1）請指出以其中的4個中點為頂點的平行四邊形；（圖9、圖10、圖11）

（2）如圖10，

①請說明四邊形EPGQ是平行四邊形的理由；

②對于平行四邊形EPGQ，你能提出怎樣的問題？（當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ分別是矩形、菱形？你能否設(shè)計出這樣的四邊形？）

③對于平行四邊形EPGQ，你還有怎樣的想法？（四邊形EPGQ一定存在嗎？當(dāng)四邊形ABCD滿足怎樣的條件時，四邊形EPGQ不存在？）

（3）如圖11，針對四邊形QFPH，說說你的認(rèn)識.

設(shè)計意圖：探究三的設(shè)計是基于以下兩個方面的考慮：一是滲透問題研究的理性思考方法. 對于幾何圖形的研究，我們要教會學(xué)生一般的研究方法，其中就有先研究構(gòu)成圖形的基本元素——邊與角，再研究由邊與角生成的新的元素，如三角形的“四線”（三條邊的中線、三個內(nèi)角的平分線、三條邊的高線、三條邊的垂直平分線）以及四邊形的對角線等等. 因此，按照這樣的方法，研究完“中點四邊形”后，就應(yīng)該研究“若再取兩條對角線的中點，又會產(chǎn)生怎樣的問題了？”二是雖然從知識掌握的角度來講，“中點四邊形”的性質(zhì)已被學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握，但教師還需要進(jìn)一步創(chuàng)造盡可能多的落實“四基”、提高“兩能”的機(jī)會，因此設(shè)計了探究三.

3.回顧總結(jié)

回顧本次學(xué)習(xí)的過程，請你談一談對“中點四邊形”的認(rèn)識，并總結(jié)幾何圖形一般的研究方法.

設(shè)計意圖：通過回顧，歸納本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出兩個方面：一是知識總結(jié)；二是方法和經(jīng)驗總結(jié)，尤其是方法和經(jīng)驗. 知識只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體，從培養(yǎng)人的角度來說，方法和經(jīng)驗更為重要. 當(dāng)然，限于課堂時間有限，筆者對這個環(huán)節(jié)進(jìn)行了簡化，但考慮到該環(huán)節(jié)也十分重要，因此設(shè)計成“數(shù)學(xué)日記”的形式，讓學(xué)生在課后進(jìn)行細(xì)致的回顧、思考和總結(jié).

4.揭示聯(lián)系

本節(jié)課我們接觸到了幾種與“三角形中位線”有關(guān)的圖形，它們之間又有一定的聯(lián)系嗎？來看——在“幾何畫板”中分別按圖12～圖17的順序拖動四邊形的頂點P，動態(tài)地產(chǎn)生出了幾個圖形，其中圖12、圖13、圖15就是我們這節(jié)課已經(jīng)研究過的與“三角形中位線”有關(guān)的圖形. 不僅如此，我們又有了新的發(fā)現(xiàn)，在拖動點P的過程中，還產(chǎn)生了另外三種新的圖形，如圖14、16、17，請你依據(jù)本次學(xué)習(xí)中獲得的研究問題的方法和經(jīng)驗，課后繼續(xù)研究這三個圖形.

設(shè)計意圖：讓圖形“動”起來，是研究圖形、獲得發(fā)現(xiàn)的一種重要方法. 通過在幾何畫板中對點的拖動，不僅產(chǎn)生了學(xué)生熟悉的圖形，而且還產(chǎn)成了新的圖形，這樣不僅能夠讓學(xué)生直觀地感受到這些圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能夠自然地引發(fā)學(xué)生對新的圖形的新的思考.

5.拓展研究

（1）如圖18、19、20，中點多邊形和原多邊形的周長與周長、面積與面積之間是否存在規(guī)律性的聯(lián)系？提出你的猜想，并嘗試用“幾何畫板”軟件進(jìn)行探索，再將你探索的結(jié)果用合適的形式表達(dá)出來.

（2）數(shù)學(xué)日記：

今天我們研究的是“中點四邊形”，經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我有如下的總結(jié)：

①我的收獲有：

數(shù)學(xué)知識方面：

數(shù)學(xué)思想方面：

數(shù)學(xué)問題的研究方法方面：

②我在學(xué)習(xí)中還存在的疑惑：

③對于“中點四邊形”，我還有以下的想法：

三、一些思考

研究性學(xué)習(xí)是由某個問題所引發(fā)的某個猜想或某個發(fā)現(xiàn)，通過在深度、廣度上的研究，全面地認(rèn)識這個猜想或這個發(fā)現(xiàn). 而且，在研究的過程中，往往會生成新的問題、獲得新的發(fā)現(xiàn)，從而帶來新的思考，從而形成“思考→發(fā)現(xiàn)→研究→解決→新思考→新發(fā)現(xiàn)→再研究→再解決”這樣一條研究之路.

研究性學(xué)習(xí)是以大腦思考為主的“想數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，也是最樸素、最常見、最主要的數(shù)學(xué)研究的方式. 而且，因為要進(jìn)行一項研究，就必須具有一定的知識儲備和研究能力，因此，研究性學(xué)習(xí)不僅有利于學(xué)生對基本知識和基本技能的進(jìn)一步的理解與掌握，提高分析和解決問題的能力，還能夠讓學(xué)生在研究問題的過程中，突出培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，親身體驗知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展的過程，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得更為廣泛的數(shù)學(xué)活動、學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗. 筆者以為，研究性學(xué)習(xí)或許更能體現(xiàn)教育的本質(zhì)——為了人的發(fā)展.