外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下齒輪系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性

李應(yīng)剛，陳天寧，王小鵬，于坤鵬，周漢，張哲

（1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，710049，西安；2.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710049，西安）

目前，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)、噪聲及其動(dòng)力穩(wěn)定性開(kāi)展了深入研究［1-2］。Kahraman等人利用數(shù)值分析方法和諧波平衡法，研究了內(nèi)部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下具有齒側(cè)間隙的齒輪副系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)頻響特性［3-4］。Padmanabhan等人采用參數(shù)延展技術(shù)和諧波平衡法，研究了具有參數(shù)激勵(lì)和外激勵(lì)共同作用的非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)［5］。1997年，Kahraman等人對(duì)具有時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和外部激勵(lì)的齒輪系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)中存在大量的非線(xiàn)性現(xiàn)象［6］。文獻(xiàn)［7-9］采用數(shù)值方法研究了內(nèi)部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下齒輪時(shí)變間隙非線(xiàn)性系統(tǒng)的分岔與混沌特性，但這些都是針對(duì)內(nèi)部動(dòng)態(tài)激勵(lì)和外部名義載荷作用下齒輪副系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行的研究，而忽略了外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)的影響。Comparin等人利用數(shù)值分析方法和諧波平衡法，研究了外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下沖擊副的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性，并在沖擊副模型中忽略了時(shí)變剛度的影響［10］。張鎖懷用A算符方法對(duì)扭矩激勵(lì)作用下齒輪時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行求解［11］，模型中忽略了間隙非線(xiàn)性特性。Theodossiades等人采用分段多尺度法研究了外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下齒輪副非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)［12］，但分段多尺度法求解卻丟失了系統(tǒng)的亞諧波響應(yīng)及超諧波響應(yīng)。

對(duì)于具有時(shí)變剛度和分段非線(xiàn)性系統(tǒng)，利用增量諧波平衡法（IHBM）可以求得任意階的近似解。Lau提出了增量諧波平衡法，對(duì)分段線(xiàn)性機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了研究［13］，使增量諧波平衡法被廣泛應(yīng)用于求解各類(lèi)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題［14-16］。本文采用增量諧波平衡法，對(duì)外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下齒輪副時(shí)變間隙非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，建立了齒輪副系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。模型考慮了周期時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙、黏彈性阻尼以及外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)等因素，利用增量諧波平衡法，給出了齒輪非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)的一般解形式，采用四階變步長(zhǎng)數(shù)值方法（Runge-Kutta）進(jìn)行了驗(yàn)證，并根據(jù)增量諧波平衡法研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)齒輪系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性的影響。

1 非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型

如圖1所示，模型中考慮了時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、黏彈性阻尼及外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)等因素，忽略傳動(dòng)軸的橫向和軸向彈性變形，以及支持系統(tǒng)的彈性變形。齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

圖1 齒輪副系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型

式中：T1m為作用在主動(dòng)齒輪上的外部名義力矩；T1a（t）為作用在主動(dòng)齒輪上的外部動(dòng)態(tài)力矩；T2m為作用在從動(dòng)齒輪上的外部名義力矩；T2a（t）為作用在從動(dòng)齒輪上的外部動(dòng)態(tài)力矩。如果忽略負(fù)載扭矩波動(dòng)和靜傳遞誤差的作用，式（1）、（2）可簡(jiǎn)化為

將時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行Fourier展開(kāi)至L階，則有

式中：u（t）為齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)位移；L為階數(shù)；me為等效質(zhì)量；FmT為傳遞名義載荷；FaT為動(dòng)態(tài)激勵(lì)；f（u）為間隙非線(xiàn)性函數(shù)；km為平均剛度；ω為嚙合頻率；εl為反映剛度變化的參數(shù)。對(duì)式（4）進(jìn)行歸一化處理，得到

式中：x為歸一化的振動(dòng)位移；ωn為固有頻率；ˉt為歸一化時(shí)間；ζ為阻尼比；Ω為歸一化嚙合頻率。由此，式（4）可改寫(xiě)為

2 增量諧波平衡法求解

利用時(shí)間尺度τ=Ωˉt，將式（10）改寫(xiě)為

利用Newton-Raphson算法求解式（12）表示的分段線(xiàn)性差分系統(tǒng)，得到微分方程的解為

其中x0（τ）為式（12）的近似解，Δx（τ）為增量方程。設(shè)式（12）的N階近似解為

式中：a0為基波幅值；an、bn為高次諧波幅值。增量方程為

將式（13）代入式（12）中進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去高階項(xiàng)得到

令

利用Galerkin過(guò)程，將式（16）方程左右兩端同時(shí)乘以cos（iτ）、sin（iτ）（i=0，1，2，3，…，N），并在0～2π之間積分，得到關(guān)于Δa的2 N+1階線(xiàn)性方程組

式中：C 為2 N+1階 矩 陣；R 為2 N+1階 列 向 量。式（17）即為應(yīng)用增量諧波平衡法推導(dǎo)出的以Δa為未知量的非線(xiàn)性系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)的迭代計(jì)算公式。

3 齒輪系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性

系統(tǒng)參數(shù)［4，12］取L=3，N=11，ζ=0.024，F(xiàn)m=0.25，F(xiàn)a=0.075，ε1=0.03，ε2=0.02，ε3=0.01。應(yīng)用增量諧波平衡法得到齒輪系統(tǒng)的頻響特性曲線(xiàn)，采用四階變步長(zhǎng)Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證（見(jiàn)圖2），增量諧波平衡法的求解結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合得較好。在外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下，齒輪系統(tǒng)頻響曲線(xiàn)不僅出現(xiàn)主共振，同時(shí)得到了超諧波響應(yīng)（見(jiàn)圖3），并且頻響曲線(xiàn)存在多值解和跳躍非線(xiàn)性的特性。由圖4可知，多值解和跳躍現(xiàn)象對(duì)應(yīng)齒輪副系統(tǒng)的無(wú)沖擊狀態(tài)、單邊沖擊和雙邊沖擊狀態(tài)。

圖2 齒輪副系統(tǒng)的頻響特性曲線(xiàn)

圖3 齒輪副系統(tǒng)的超諧波響應(yīng)

4 參數(shù)分析

圖4 Ω=0.6時(shí)齒輪副系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

由齒輪副系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型可知，在外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下，齒輪系統(tǒng)的非線(xiàn)性振動(dòng)響應(yīng)的影響因素主要有周期時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙、激勵(lì)幅值和阻尼比等。

4.1 時(shí)變剛度和間隙的影響

線(xiàn)性時(shí)變模型、非線(xiàn)性時(shí)不變模型及非線(xiàn)性時(shí)變模型的動(dòng)態(tài)特性如圖5所示。由非線(xiàn)性時(shí)不變模型與非線(xiàn)性時(shí)變模型的對(duì)比可知，時(shí)變剛度的存在使齒輪系統(tǒng)歸結(jié)為參數(shù)振動(dòng)范疇，引起系統(tǒng)參數(shù)共振。對(duì)比線(xiàn)性時(shí)變模型與非線(xiàn)性時(shí)變模型可知，間隙非線(xiàn)性的存在導(dǎo)致齒輪副系統(tǒng)出現(xiàn)多值解和幅值跳躍等非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性。

圖5 時(shí)變剛度與間隙對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響

4.2 激勵(lì)幅值的影響

如圖6所示，對(duì)3種不同激勵(lì)幅值條件下的系統(tǒng)頻響特性曲線(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比分析。隨著激勵(lì)幅值的增大，齒輪副系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性如多值解及跳躍現(xiàn)象逐漸消失，齒輪系統(tǒng)在重載荷工況時(shí)，表現(xiàn)為線(xiàn)性振動(dòng)特性。因此，增大激勵(lì)幅值能夠有效控制齒輪系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

4.3 阻尼比的影響

在3種不同阻尼比條件下，對(duì)系統(tǒng)頻響特性曲線(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比分析（見(jiàn)圖7）。通過(guò)分析計(jì)算［17-18］，一般取ξ為0.02～0.17，隨著ξ的增大，齒輪副系統(tǒng)的振動(dòng)幅值明顯降低，齒輪副系統(tǒng)非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性如多值解及跳躍現(xiàn)象逐漸消失。因此，增大系統(tǒng)ξ能夠有效控制齒輪系統(tǒng)的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

圖6 激勵(lì)幅值對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響

圖7 阻尼比對(duì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響

5 結(jié) 論

（1）本文根據(jù)增量諧波平衡法，研究了齒輪間隙非線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)在外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性，其求解結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合得較好。在外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下，齒輪副系統(tǒng)的頻響曲線(xiàn)存在著多值解和跳躍非線(xiàn)性特性，并對(duì)應(yīng)于齒輪副系統(tǒng)的無(wú)沖擊狀態(tài)、單邊沖擊狀態(tài)和雙邊沖擊狀態(tài)。齒輪系統(tǒng)頻響曲線(xiàn)不僅出現(xiàn)主共振，而且得到了超諧波響應(yīng)。

（2）本文針對(duì)周期時(shí)變剛度、齒側(cè)間隙、激勵(lì)幅值和阻尼比對(duì)齒輪副系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明，周期時(shí)變剛度的存在會(huì)引起參數(shù)共振，齒側(cè)間隙的存在則導(dǎo)致齒輪副系統(tǒng)出現(xiàn)多值解和幅值跳躍等非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為，而增大激勵(lì)幅值和阻尼比能夠有效地控制系統(tǒng)的非線(xiàn)性振動(dòng)響應(yīng)。

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