數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列教學(xué)中的運(yùn)用

【摘要】數(shù)列與函數(shù)可以看作是特殊與一般的關(guān)系，正是二者之間的這種關(guān)系，使得函數(shù)思想方法成為了解決數(shù)列問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)明確能夠有效解決數(shù)列問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法解決數(shù)列問(wèn)題，讓學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)列問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。本文對(duì)一些適用于數(shù)列的思想方法做了簡(jiǎn)要的分析和總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)列 教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0156-01

一、前言

數(shù)學(xué)思想是將知識(shí)與能力聯(lián)系在一起的紐帶，是解數(shù)學(xué)題過(guò)程中所遵循的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的正確與否，決定了解題過(guò)程的繁簡(jiǎn)程度。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，與其相關(guān)的解題過(guò)程蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想方法，正確的數(shù)學(xué)思想方法往往使得一些數(shù)列難題迎刃而解。而且數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，阻礙著許多學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)一步提升。所以，作為高中數(shù)學(xué)教師，要充分的挖掘與數(shù)列相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，并教授學(xué)生如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)列難題，幫助學(xué)生提高解決數(shù)列問(wèn)題的能力。筆者結(jié)合多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)適應(yīng)數(shù)列教學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了分析和總結(jié)，現(xiàn)簡(jiǎn)要概括如下：

二、數(shù)列教學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想方法

1.函數(shù)的思想方法

數(shù)列與函數(shù)可以看作是特殊與一般的關(guān)系，正是二者之間的這種關(guān)系，使得函數(shù)思想方法成為了解決數(shù)列問(wèn)題的一種重要思想方法。在數(shù)列知識(shí)內(nèi)容的講授過(guò)程中，我們可以將數(shù)列作為函數(shù)的一種特值，采用所熟悉的函數(shù)方法來(lái)處理數(shù)列問(wèn)題。通過(guò)運(yùn)用相關(guān)的函數(shù)思想，可以研究等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)關(guān)系，也可以研究數(shù)列的最值和單調(diào)性問(wèn)題。

例如：已知等差數(shù)列{an}，其首項(xiàng)為a1（a1>0），前n項(xiàng)和Sn，滿(mǎn)足Sx=Sy（x≠y）。求Sx+y，前幾項(xiàng)和最大？

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)我們可以將等差數(shù)列看作一次函數(shù)，前n項(xiàng)和看作是二次函數(shù)。即an=an+b（a=b≠0），Sn=An2+Bn（a=b≠0）。所以，根據(jù)題意中的Sx=Sy，我們可以根據(jù)二次函數(shù)列出Ax2+Bx=Ay2+By，整理后即可得出：（x-y）[A（x+y）+B]=0，所以A（x+y）+B=0，所以Sx+y=A（x+y）2+B（x+y）=（x+y）[A（x+y）+B]=0。在求前幾項(xiàng)和最大時(shí)，同樣采用二次函數(shù)，列出函數(shù)S（x）=Ax2+Bx（A<0），由于S（0）=0，Sx+y=0，所以S（x）是X=■以為對(duì)稱(chēng)軸的函數(shù)，所以我們可以根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得出當(dāng)x，y為一奇一偶時(shí)，前■、■項(xiàng)和最大，當(dāng)x，y為同奇或同偶時(shí)，前■項(xiàng)和最大。

除上述函數(shù)思想方法以外，還可以通過(guò)函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列的周期性，也可以研究數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，教師應(yīng)熟練把握函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題上的應(yīng)用，并幫助學(xué)生熟練運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題。

2.分類(lèi)討論的思想方法

分類(lèi)討論法主要使用于在整個(gè)論域內(nèi)無(wú)法解決問(wèn)題的題型，這種情況下，往往按照解題要求將整個(gè)論域劃分為幾個(gè)小的論域，然后在每個(gè)論域下分別解題。在數(shù)列的相關(guān)題型中，有一些題型需要分類(lèi)討論解題，采用分類(lèi)討論的思想方法，可以簡(jiǎn)化一些數(shù)列問(wèn)題。

例如：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32-n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和F。

在這一題中，可知a1=s1=31，所以當(dāng)n≥2時(shí)，可以根據(jù)公式an=Sn-Sn-1求出數(shù)列an的解析式，即an=-2n+33；然后根據(jù)數(shù)列的解析式可以看出數(shù)列{an}是以31為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，所以其Sn會(huì)隨n的逐漸增加會(huì)先增加后減少。所以要分開(kāi)討論，討論的依據(jù)就是數(shù)列{an}是否為正數(shù)。所以根據(jù)-2n-33≥0可得出n≤16.5，所以當(dāng)n≤16時(shí)，an為正數(shù)，所以當(dāng)n≥16時(shí)，an為負(fù)數(shù)，即n=16確定為要討論的點(diǎn)。然后就可以根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和確定Fn。

3.類(lèi)比推理的思想方法

在高中數(shù)學(xué)中，類(lèi)比推理是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，一些數(shù)列問(wèn)題，采用類(lèi)比方法也會(huì)得到比較顯著的效果。所謂類(lèi)比推理，就是通過(guò)比較和分析，發(fā)現(xiàn)不同式子或概念之間的共有關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到解題的目的。例如等比數(shù)列和等差數(shù)列之間的類(lèi)比，可以通過(guò)等比數(shù)列的性質(zhì)：如果p+q=m+n，則bpbq=bmbn，類(lèi)比出等差數(shù)列如果p+q=m+n，則bp+bq=bm+bn。因?yàn)橥ㄟ^(guò)類(lèi)比不難發(fā)現(xiàn)，將等比數(shù)列的公比q換成等差數(shù)列的公差d，并將“乘除”換成“加減”，就可以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)類(lèi)比等差數(shù)列的性質(zhì)。除此之外，還可以根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列概念、定理進(jìn)行相互類(lèi)比。而且，近幾年的高考及各地的模擬試卷中出現(xiàn)了多次數(shù)列類(lèi)比推理問(wèn)題，可見(jiàn)，類(lèi)比推理已成為數(shù)列問(wèn)題的考察重點(diǎn)。所以，作為數(shù)學(xué)教師，在講授與類(lèi)比推理相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)重視學(xué)生這一獨(dú)特思維方式的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生采用類(lèi)比推理思想解題的能力。

4.方程的思想方法

所謂方程的思想，就是分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，然后使用數(shù)學(xué)的特定格式，將問(wèn)題的一些數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，例如將函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程，然后通過(guò)解方程來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題。在數(shù)列問(wèn)題中，由于數(shù)列可以看做特殊的函數(shù)，所以也可以將數(shù)列轉(zhuǎn)化成方程來(lái)解決問(wèn)題。

例如，已知等差數(shù)列{an}，且數(shù)列bn=（■）■，b1b2b3=■，b1+b2+b3=■，求an。

由等差數(shù)列的性質(zhì)我們可以得出，b1b2b3=（■）■=（■）■=[（■）■]■=■，我們可以得出b2=（■）■=■。根據(jù)這一結(jié)論，我們就可以將數(shù)列轉(zhuǎn)化成方程，得到方程b1b3=■，b1+b3=■，通過(guò)解方程就可以得出b1和b3的值，進(jìn)而求出a1=3，d=-2或a1=-1，d=2，就可以通過(guò)a1和d求出an分別問(wèn)an=5-2n或an=2n-3。

方程的思想是一種學(xué)生從小學(xué)就開(kāi)始培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了對(duì)這種思想的運(yùn)用，但在數(shù)列知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，如何將數(shù)列與方程銜接是運(yùn)用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題的關(guān)鍵。因此，在講解相關(guān)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)列和方程的銜接點(diǎn)，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。

三、小結(jié)

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)明確能夠有效解決數(shù)列問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法解決數(shù)列問(wèn)題，讓學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)列問(wèn)題。提高數(shù)列教學(xué)的效果，對(duì)于提高學(xué)生的應(yīng)考能力都是一個(gè)大課題，作為老師要充分認(rèn)識(shí)這部分內(nèi)容的重要性，采取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，優(yōu)化教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生掌握必要的解題技巧和解題方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]寧江濤. 運(yùn)用類(lèi)比的方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列[J]. 新課程學(xué)習(xí)（基礎(chǔ)教育）. 2010（02）

[2]趙一鳴. 某類(lèi)遞推公式通項(xiàng)的一種解法[J]. 江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào). 1995（01）

[3]徐濤. 數(shù)列[J]. 數(shù)學(xué)通訊. 2005（24）