活用課本例、習題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“問學(xué)”意識

【摘要】讓教師和學(xué)生共同分擔發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的責任，需要更加關(guān)注和研究如何讓學(xué)生問。課本例、習題教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)“問學(xué)”意識的重要一環(huán)。本文從重設(shè)例、習題的出現(xiàn)情境，激發(fā)學(xué)生“想問”的愿望；調(diào)整例、習題的梯度，促進不同發(fā)展水平的學(xué)生“能問”、“敢問”；打破例、習題出現(xiàn)的時空，領(lǐng)悟其蘊含的思想方法，引領(lǐng)學(xué)生會問做了一些探討。

【關(guān)鍵詞】活用課本例、習題 問學(xué)意識

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0151-02

愛因斯坦說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要?！弊鰧W(xué)問是“學(xué)”與“問”的結(jié)合，而我們的學(xué)生往往只鐘情于學(xué)，卻棄問于不顧。一個重要原因就是，問題往往由教師“包干”，教學(xué)時，問題由教師一個一個提出，而學(xué)生只是等待著教師的提問，學(xué)生根本就沒有提出問題的空間。如何讓教師和學(xué)生共同分擔發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的責任，需要更加關(guān)注和研究如何讓學(xué)生問。陶行知先生曾說過：“發(fā)明千千萬，起點在一問?！泵绹逃也剪敯涂艘舱f：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準則是讓學(xué)生自己提問?！苯處熢诮虒W(xué)中嘗試對課本典型的例、習題進行挖掘，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，主動思考，積極討論，既整合了學(xué)生的知識體系，又在提問中培養(yǎng)學(xué)生怎樣問、為什么這樣問的“問學(xué)”意識，達到開闊視野、觸類旁通、可持續(xù)發(fā)展的效果。

一、重設(shè)例、習題的情境，讓其背景鮮活起來，更貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，激發(fā)學(xué)生“想問”的愿望

課本例、習題只是給學(xué)生提供了一個素材，而不一定是適合每一位學(xué)生學(xué)習的最佳范本，師生對之完全有創(chuàng)造的空間。課本例、習題有的缺乏生活氣息或脫離學(xué)生的實際發(fā)展水平。如果對其賦予與學(xué)生密切相關(guān)的情境，或生活情境或與自身發(fā)展相適應(yīng)的數(shù)學(xué)情境，可以激發(fā)其“想問”的愿望。

例1 如圖1-1，點A、B在直線l同側(cè)，點B是點B′關(guān)于l的對稱點， AB交l于點P。

（1）AB與AP+PB相等嗎？為什么？

（2）在l上再取一點Q，并連接AQ和QB，比較AQ+QB與AP+PB的大小，并說明理由。

例2 如圖1-2，要在街道l旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？試說明其道理。

點評：例2與例1相比，解決入口更加寬泛。有的學(xué)生憑直覺猜想；有的利用物理學(xué)中的鏡面對稱來解決；還有的學(xué)生考慮和例1的關(guān)系等。其次，背景更貼近學(xué)生生活實際，學(xué)生感覺奶站位置重要，自然而然就會問，位置在哪里？位置唯一嗎？同時也啟示學(xué)生：數(shù)學(xué)就在你身邊！問題是會不會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的有關(guān)知識來解答。

例3 三角形高的畫法與識別

①（在圖形的位置變化下）如圖1-3，在三個圖形上，分別畫出△ABC中AC邊上的高。

②（在復(fù)雜的圖形中）如圖1-4，填空△ABC的BC邊上的高是______；以AD為一條高的所有三角形為______；以CE為一條高的所有三角形為______。

③（在圖形的運動中）如圖1-5，BD、BE、BF分別為△ABC的中線、角平分線和高?；卮穑海?）當點C沿CA向點A運動時，BF的長短和位置是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，分析其變化的情況。（2）當點C沿CA向點A運動時，BD、BE的變化情況是否與BF相同？BD、BE的位置是否可在△ABC的外部或邊上？

點評：本題源于課本而又高于課本。讓學(xué)生感悟三角形的位置不同、形狀不同、運動狀態(tài)不同，高的內(nèi)涵與外延能否正確把握，進一步啟發(fā)學(xué)生提出問題：怎樣才算掌握了與圖形有關(guān)的概念？給你什么啟示？讓學(xué)生對今后研究類似數(shù)學(xué)概念提供探究的方向：復(fù)雜的背景下、運動的狀態(tài)中能否抓住概念的特征來識別圖形？學(xué)生知道概念的來龍去脈，以后提出研究的問題信心就增強了。

二、調(diào)整例、習題的梯度，讓不同發(fā)展層次的學(xué)生能問、敢問，并在相互的交流中學(xué)習提出問題的方法

課本中的例、習題一般有兩類：一類是直接套用剛學(xué)習的規(guī)則、公式、概念、命題和鞏固相關(guān)技能；另一類則需要通過適當?shù)膰L試、猜想、驗證、轉(zhuǎn)化等手段逐步探索其解。對于這兩類題目，都可以適當、適時增大或減小梯度，以滿足不同發(fā)展水平的學(xué)生需要，讓學(xué)生在各自“跳一跳、摘桃子”的領(lǐng)域敢于提問、能夠提問、樂于提問，享受成功的喜悅，激發(fā)起新的更高的學(xué)習熱情。

例4 如圖1-6，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

學(xué)生讀題后，教師給出思考題：（1）平行四邊形有哪些判定方法？（2）能否直接證明EF∥HG，EF=HG？（3）由E、F、G、H是各邊中點，你能聯(lián)想到什么數(shù)學(xué)知識？（4）圖中有沒有現(xiàn)成的三角形及其中位線？如何構(gòu)造？（設(shè)計意圖：問題（1）激活知識；問題（2）暗示輔助線的添加方法；問題（3）類比聯(lián)想；問題（4）考慮轉(zhuǎn)化）

證明完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納：我們把四邊形ABCD稱原四邊形，四邊形EFGH稱中點四邊形，可知任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；輔助線溝通了條件和結(jié)論，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)化.原四邊形的一條對角線溝通了中點四邊形一組對邊的（位置、數(shù)量）關(guān)系。

教師進一步激發(fā)學(xué)生的探究愿望：如果我們把這一道題變一變條件或者變一變結(jié)論，就可以與我們所學(xué)的全章的核心知識聯(lián)系在一起，大家有沒有興趣自己試一試？（學(xué)生大部分躍躍欲試）下面看你能提出多少問題？

生1：例1中如果不是添加輔助線AC，而是連結(jié)另一條對角線BD，能證明嗎？如果不是添加一條輔助線，而是兩條都添加，能證明嗎？噢，我看出來了，一條輔助線和剛才的證法是一樣的！兩條嘛，既可以用三角形中位線與第三邊的位置關(guān)系，也可以用與第三邊的數(shù)量關(guān)系，也可以合在一起來使用，都能證明是平行四邊形！

學(xué)生討論，總結(jié)出四種證明四邊形EFGH是平行四邊形的方法。

生2：老師，我來說，如果原四邊形不是一般四邊形，而是平行四邊形、矩形、菱形、正方形，對了，還有梯形，中點四邊形能是特殊的平行四邊形嗎？

生3：我補充，如果是特殊梯形：直角梯形呢？等腰梯形呢？

生4：如果中點四邊形是矩形、菱形、正方形，有這種可能嗎？原四邊形會是什么樣的四邊形？

生5：老師，如果條件不是四邊形，而是五邊形、六邊形、……，是否可以叫中點五邊形、中點六邊形？它們是不是特殊的五邊形？六邊形？……

學(xué)生投入到積極的思考中，他們提出了各自的問題，筆者根據(jù)學(xué)生提出的問題，及時進行歸類，把與這堂課有關(guān)的內(nèi)容，分組進行討論，經(jīng)過大約20分鐘以后，學(xué)生上臺匯報交流，總結(jié)規(guī)律。

點評：由于夯實了基礎(chǔ)，突出了新舊知識的聯(lián)系，滲透了重要數(shù)學(xué)思想方法：類比和轉(zhuǎn)化，為不同發(fā)展層次的學(xué)生的后續(xù)發(fā)展鋪設(shè)了臺階，促使不同發(fā)展層次的學(xué)生能從自身的知識水平和能力出發(fā)，積極主動地參與提出問題的活動。在學(xué)生提問的的同時，教師引導(dǎo)學(xué)生作好小結(jié)：哪些提問思考的方法引起了你的重視？對你有何啟發(fā)？讓學(xué)生關(guān)注問題提出的方式、方法，提煉一般化和特殊化的思想。

課后反思：在例、習題的教學(xué)中，不能就題論題，要引導(dǎo)學(xué)生融入“問題教學(xué)”之中，讓學(xué)生參與“問題教學(xué)”中的“問”。不但要研究一題多解，而且要根據(jù)題目的特點思考問題的變式與引申，有利于知識的聯(lián)系與拓廣，能起到舉一反三的作用，使學(xué)生掌握問題探究中提出問題的方法。

三、打破例、習題出現(xiàn)的時空，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，“觸摸”蘊含其中的數(shù)學(xué)思想方法，促進“會問”，提升“問學(xué)”的效益

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。在變中尋求不變是數(shù)學(xué)永恒的追求。例、習題教學(xué)中常常要打破其出現(xiàn)的時間、地點，對其進行重組，以比較彼此之間的異同，讓學(xué)生“觸摸”到其中蘊含的思想方法，對曾經(jīng)的提問進行反思，增強“問”的普適性，提升“問”的效益。

例5 （1）一根彈簧長40cm，一端固定，另一端可掛重物，通常所掛物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧伸長2cm。求彈簧長度為45cm時所掛物體的質(zhì)量。

（2）據(jù)資料，海拔每升高100m，氣溫下降0.6℃，山頂?shù)臍鉁貫?2.4℃，求山高。

（3）小明星期天到紅山公園秋游，公園離家25km，小明先乘公共汽車，車速為30km/h，到某站下車后以5km/h的速度步行到公園，共花了1h。問小明步行了多長時間？

（4）一輛汽車的油箱內(nèi)有油20升，已知該汽車每行駛100公里耗油8升，求汽車內(nèi)的余油量y（升）與行駛的路程x（公里）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（5）某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應(yīng)降多少元？

以例5（2）為例，在問題起始階段，我常常用這樣的提示語引導(dǎo)學(xué)生：海拔每升高100m，氣溫下降0.6℃，那么升高200m呢？升高260m呢？更為一般地，海拔升高xm呢？請注意我是怎樣提問的？你會發(fā)現(xiàn)一個類似的問題自己解決嗎？

點評：解決問題首先需要觀察問題的特征 ，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)規(guī)律，讓學(xué)生比較：這些問題有何異同？在“變”中發(fā)現(xiàn)了什么？“不變”！濃縮知識 ，應(yīng)付“萬變”！同是正比例關(guān)系，出現(xiàn)在不同的背景中！讓學(xué)生看到，它們的數(shù)量關(guān)系有著本質(zhì)上共同的地方。這些具有共同數(shù)量關(guān)系的問題在不同的情境中呈現(xiàn)，可以用相同的數(shù)學(xué)模型來解決，深刻體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想魅力！在以后的學(xué)習過程中自然要考慮：對于已經(jīng)熟悉的數(shù)學(xué)模型，能把它用到新的情境中去嗎？新的情境中的數(shù)量關(guān)系能轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)模型來解決嗎？我們在發(fā)現(xiàn)問題中的一些提問的方式、方法，對今后有普適性嗎？

例6 計算

（1）（a+2b）（a-2b） （系數(shù)變化）；

（2）（b2+2a2）（2a2-b2） （字母位置及指數(shù)變化）；

（3）（-4a-1）（4a-1）（符號變化）；

（4）102×98（題設(shè)形式變化）；

（5）（■+■）（■-■）（公式中數(shù)的類別發(fā)生變化）；

（6）（a+b+c）（a-b-c）（項數(shù)變化）；

（7）設(shè)（0.5-a）A=0.25-a2，則多項式A為____（逆向思考）；

（8）2009-2008×2010（背景復(fù)雜化）；

（9）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1（借“1”還“1”）。

點評：此例中平方差公式在計算中的應(yīng)用，體現(xiàn)了原式—變式—綜合這一公式應(yīng)用的三程序。可引導(dǎo)學(xué)生思考，公式中字母可以表示什么？能否從形的角度研究它的應(yīng)用？如果讓你編擬一組題目，你能對公式如何進行變化？嘗試對已經(jīng)學(xué)過的公式進行變形。你能提出自己的想法嗎？ 學(xué)生在學(xué)中問，在問中學(xué)，“問學(xué)”意識在頭腦中逐漸扎根了。

總之，師生應(yīng)充分挖掘例、習題的“潛能”，做到合理變化，做到到因材施教、因時施法。不但可以將例、習題的思想性、知識性、趣味性融為一體，提高學(xué)生的學(xué)習興趣，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，而且真正領(lǐng)悟?qū)W會提問的魅力， 把學(xué)生培養(yǎng)成為求原理、講道理、懂科學(xué)、有智慧、究根底、會思考的人，這才是一名教育工作者的神圣職責，也是其最大價值所在。