微積分中求極限的常用方法分析

【摘要】極限在微積分理論是一個(gè)非常重要的概念，是貫穿著微積分理論的一條主導(dǎo)線索，極限的計(jì)算基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)作為學(xué)習(xí)微積分的重要前提，對(duì)微積分理論中一元函數(shù)極限的常見(jiàn)計(jì)算方法進(jìn)行相關(guān)的歸納總結(jié)，主要目的在于提升微積分理論課程的教學(xué)質(zhì)量水平與學(xué)習(xí)方法。

【關(guān)鍵詞】微積分 極限 常用方法

【中圖分類號(hào)】O172 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0150-02

1.引言

微積分屬于研究變量形式的一門(mén)學(xué)科，極限作為微積分理論中的一個(gè)重要概念，其理論體系的確定使微積分具備了充分的邏輯思想基礎(chǔ)，促使微積分理論在日常科學(xué)領(lǐng)域中能夠得到更為廣泛的應(yīng)用與發(fā)展，因此計(jì)算極限成為微積分理論的重點(diǎn)內(nèi)容。求取極限是掌握微積分理論的重要前提，熟練運(yùn)用求取極限的各種方法，可以有效地提升微積分理論課程的學(xué)習(xí)效果。求取極限的方法是有許多的，各種求解方法都是因題而異，可以靈活變通使用[1]。

2.微積分中求極限的常用方法

⑴利用極限定義求極限

例題1：求證■ex=0

證明：|f（x）-A|=|ex-0|=ex

所以？坌ε（0<ε<1），若要使|f（x）-A|<ε，只需要保證ex<ε或者x

設(shè)正數(shù)x=-lnε，則只有x<-X時(shí)才有l(wèi)ex-okε，

所以■ex=0。

注意事項(xiàng)：如果x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）=ex的極限是不存在的，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的相應(yīng)圖像可知其極限值是趨向于正無(wú)窮大。

⑵利用極限運(yùn)算法則

①無(wú)窮小運(yùn)算法則

無(wú)窮小量屬于一種具體的極限定義。在相應(yīng)極限計(jì)算的過(guò)程當(dāng)中，可以靈活地運(yùn)用無(wú)窮小量的有關(guān)性質(zhì)，無(wú)窮小和無(wú)窮大的相互關(guān)系，與無(wú)窮小量有關(guān)的等價(jià)變換的極限計(jì)算方法從而達(dá)到事半功倍的求取效果。然而無(wú)窮小的等價(jià)變換在極限求取過(guò)程中是最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的方法。這種方法的主要難點(diǎn)在于無(wú)法弄明白替換的原理與對(duì)象，同時(shí)對(duì)無(wú)窮小相應(yīng)的等價(jià)概念含糊不清，因此需要注意等價(jià)變換是存在著極限條件的[2]。

例題2：求證■■·cosx

證明：由于■■=0，|cosx|≤1

因此，根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)，有界變量和無(wú)窮小量的乘積仍然是無(wú)窮小量，

所以■■·cosx=0。

②極限四則運(yùn)算法則

使用極限四則運(yùn)算法則的基本條件是充分非必要的。所以在使用極限四則運(yùn)算法則求取極限過(guò)程時(shí)，需要逐個(gè)對(duì)所給出的函數(shù)進(jìn)行有效的驗(yàn)證。觀察其能否符合極限四則運(yùn)算法則的使用條件，如果可以符合只需要將x0代替函數(shù)中的x就可以完成了； 如果不能夠滿足條件的則無(wú)法對(duì)其直接使用。比如對(duì)于分式函數(shù)直接進(jìn)行代入處理之后假如分母是零，則代入不能體現(xiàn)出實(shí)際意義，需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行合適有效的因式分解、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次冪與三角函數(shù)等各種恒等變換處理方法，令其滿足使用條件之后，再使用極限四則運(yùn)算法則。

推論：在分式函數(shù)的極限計(jì)算過(guò)程中，■■，如果有g(shù)（x0）≠0，■■=■；如果有g(shù)（x0）=0且f（x0）≠0，則極限是無(wú)窮大；如果有g(shù)（x0）=0、f（x0）=0，可以消去零因子x-x0。

⑶兩個(gè)重要極限

⑷洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則屬于一種非常有效可行的極限計(jì)算方法，其能夠求出■、■等類型的未定式，而0·∞、1∞、∞0、∞-∞、00等類型的未定式可以進(jìn)行代數(shù)恒等變化或者取對(duì)數(shù)等方法轉(zhuǎn)化成為■、■類型的未定式。

即使洛必達(dá)法則是非常有效的極限計(jì)算方法，然而并非是萬(wàn)能的求極限方法。

在運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：

①lim■應(yīng)當(dāng)為■或者■類型的未定式。

②若lim■不存在，則無(wú)法判斷l(xiāng)im■不存在，只可以使用其它方法來(lái)求取極限。

③在極限計(jì)算過(guò)程中需要及時(shí)地簡(jiǎn)化極限后部分的分式與檢查能否滿足要求的未定式，如果不能滿足則不能使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)出現(xiàn)得到結(jié)果[3]。

④若lim■存在時(shí)，應(yīng)當(dāng)分別對(duì)式子的分子分母求導(dǎo)再求極限。

3.結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于極限的求取方法，除了上文所提到的各種常用方法之外還存在其它的計(jì)算方法。比如使用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、夾逼定理、拆項(xiàng)或者添項(xiàng)、定積分的定義概念、使用收斂級(jí)數(shù)求取極限、使用泰勒展式求取極限、使用左右極限和極限關(guān)系求取分段函數(shù)在分段點(diǎn)處相應(yīng)的極限等各種具體方法。函數(shù)極限一般都會(huì)涉及到各個(gè)方面的理論知識(shí)，在求取極限的過(guò)程中需要進(jìn)行全面的考慮，首先需要分析已給出的函數(shù)極限的具體類型，再根據(jù)具體的有效條件考慮需要使用的求解方法。各種形式的極限計(jì)算方法可以靈活變通使用，固定一種方法不一定能夠得到各種極限的求取結(jié)果，有時(shí)需要考慮對(duì)各種極限方法進(jìn)行綜合應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓漢鵬，馬少軍，徐光輝.大學(xué)數(shù)學(xué)微積分[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]田軍輝.淺談高等數(shù)學(xué)中幾種常用的求極限的方法[J].科技信息，2009.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.

作者簡(jiǎn)介：

楊盛用（1965.2-），男，河南封丘人，副教授，本科學(xué)士學(xué)位，研究方向：數(shù)理應(yīng)用。