淺析高等數(shù)學學習中的辯證法思想

【摘要】高等數(shù)學中蘊含了十分深刻的唯物辯證法思想，用辯證法思想來指導高數(shù)教學，有助于培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維方式和分析問題解決問題的能力。所以高數(shù)教師掌握哲學原理并將其應用于教學是十分必要的。本文就哲學量變到質(zhì)變，一般到特殊，具體到抽象等方面，討論了辯證法思想在高數(shù)學習中的應用。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學 辯證法 函數(shù)

【基金項目】川油氣科（SKB13-08）。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）11-0149-01

微積分為主要內(nèi)容高等數(shù)學是非數(shù)學專業(yè)一門重要的公共基礎(chǔ)課。不僅對學生后繼課程的學習和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著重要的作用，而且對培養(yǎng)學生的抽象歸納能力、創(chuàng)新意識及創(chuàng)新能力有著重要的意義。但絕大多數(shù)學生面對高等數(shù)學里抽象繁多的概念理論，計算的復雜性加上授課時間短等特點而產(chǎn)生厭學頭疼情緒。如何幫助學生學好這門課程，是所有工科數(shù)學老師面臨的共同難題。

偉大的思想家、哲學家恩格斯說過：“要想表示事物運動狀態(tài)、形成和發(fā)展過程，唯一可以實現(xiàn)或達到目的的只有微積分?！蔽ㄎ镛q證法是揭示事物本質(zhì)矛盾的方法，是探求真理與知識的重要途徑。尤其是辯證法的方法論指導我們要用辯證的思維去學習高等數(shù)學，會讓原本枯燥無味理論知識變得具體生動有趣，從而有利于提高我們學生自身的觀察能力、思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力；增強分析問題解決問題的能力。本文就辯證法理論聯(lián)系實際，一般到特殊、具體到抽象，量變到質(zhì)變等方面，討論辯證法思想在高數(shù)學習中的運用。

一、理論聯(lián)系實際

馬克思唯物主義講究理論聯(lián)系實際，只做不想或只想不做是行不通的。同樣，在高數(shù)的學習中，我們也必須要學和用聯(lián)系起來，這樣才會使這門課程的學習生動活潑，饒有興趣。微積分原本來源于實際生活。極限思想在圓周率，曲邊三角形等近似計算中就有所體現(xiàn)，而導數(shù)概念則包含了物理和幾何背景，是人們在實際中提出問題，理論上解決問題，最后把結(jié)果推廣到各個領(lǐng)域加以運用。可以說微積分知識成就了各個領(lǐng)域的發(fā)展和完善。因此在高數(shù)學習中，一定要理論聯(lián)系實際，只有這樣才能學有所獲，學有所用。如果將理論與實際應用脫離，學起來不但顯得枯燥無味，興趣黯然，而且不會領(lǐng)會其精神，更談不上創(chuàng)新。

二、一般到特殊，具體到抽象

辯證法的認識論說明了人們認識事物的一個簡單原理，即一般到特殊，具體到抽象，而大學高數(shù)的學習恰好符合這一原則。例如，由以前的數(shù)引導到符號，即變量的名稱；由符號間的關(guān)系引導到函數(shù)，即符號所代表的對象之間的關(guān)系。這就把同學們的理解力從以前的數(shù)推進到變量、從描述推進到證明、從具體情形推進到一般方程，開始領(lǐng)會到數(shù)學符號的威力。在此過程中，高等數(shù)學首先就幫助學生發(fā)展了函數(shù)概念——變量間關(guān)系的表述方式。學習微積分，是從簡到繁，從具體到抽象來講解的。先介紹一元函數(shù)微積分，然后二、三元函數(shù)微積分，最后將其推廣到多元函數(shù)的情形。如果低維的情形了解掌握了，那么一般有限維的情形也就容易了?；剡^頭來當你縱覽這些知識時，不會感到陌生，相反會讓你更加深刻地領(lǐng)會到概念的實質(zhì)其實都是一樣的，只是細節(jié)少許有差別而已，由此可以做到舉一反三了。

三、現(xiàn)象與本質(zhì)，偶然與必然

透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在高數(shù)的學習中這樣的例子比比皆是。一元函數(shù)的可導與可微恰恰說明了這點，導數(shù)是用極限來定義的，是關(guān)于函數(shù)變化率的問題；而微分是用函數(shù)變化率的線性主部來定義的，用于近似計算。兩問題出發(fā)點雖然不同，但從側(cè)面揭示了同一問題的本質(zhì)特征。因此對一元函數(shù)的可導與可微是等價的。又如牛頓-萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式研究的是完全不同形式的積分，但如果仔細分析就會發(fā)現(xiàn)反映都是區(qū)域上積分與其邊界上積分的相等的問題，其本質(zhì)是相同，只不過不同的幾何形式對應的表達式形式不同而已。如果明白了這點，對于各種各樣的積分公式就不會陌生了。

四、運動、發(fā)展與聯(lián)系

唯物辯證法認為世界上的萬事萬物都處于運動變化的過程中，沒有絕對的“靜止”。而微積分恰好處理的是“運動”著的量——變量，即函數(shù)，盡管也有“靜止”的量，如常函數(shù)，常數(shù)列，不過這只是特例，屬個別現(xiàn)象。而其主要內(nèi)容則是函數(shù)概念中的因變量、之間變量和自變量之間的關(guān)系。無窮小量是“運動著”的0，無窮大量是運動過程中的越來越大。此外，更為重要的是，整個世界是普遍聯(lián)系的一個整體，任何事物都不是孤立存在的，這就要求我們深挖變量之間的關(guān)系，而函數(shù)概念卻深刻的反應了變量之間的這種依存關(guān)系。極限概念描述了一個變量的變化引起的另一個變量改變的變化趨勢，又如，數(shù)列極限的“ε-N”定義中的ε，就是變量與常量的統(tǒng)一。連續(xù)性、可導性則說明了變量與改變量之間的變化關(guān)系。又如微分中值定理與積分中值定理，表面上看公式形式不同，一個涉及到導數(shù)，一個涉及到積分，但仔細分析，就可發(fā)現(xiàn)這兩個定理是可通過牛頓-萊布尼茨公式建立橋梁可以相互轉(zhuǎn)化，是聯(lián)系的而不是孤立的?？傊?，運動聯(lián)系思想貫穿于高數(shù)的整個學習之中，理解了這點就不難領(lǐng)會微積分為何要討論這些內(nèi)容了。

五、量變到質(zhì)變

唯物辯證法認為，任何事物都具有質(zhì)和量兩中基本狀態(tài)。質(zhì)具有內(nèi)在性，而量具外在性。任何事物的發(fā)展變化不可能沒有量變，也不可能沒有質(zhì)變，有區(qū)別有聯(lián)系，都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。外在量的變化積累到一定程度必然引起內(nèi)在質(zhì)的變化，質(zhì)的變化是事物本質(zhì)的變化。在高數(shù)學習中，導數(shù)概念的建立以及定積分概念的建立，就充分反映了這種近似向精確轉(zhuǎn)化的典型方式；又如定積分定義的基本原型是曲邊梯形的面積，求曲邊梯形面積采用微元法，而微元法采用分割、近似、求極限的過程，其基本思想也是先近似再精確，借助于極限方法從有限轉(zhuǎn)化為無限，從量變過渡到質(zhì)變。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論也是一個典型的例子。函數(shù)在某一點處連續(xù)并沒有什么特殊之處，但當它在某一閉區(qū)間上每一點連續(xù)時，函數(shù)就具備了很多完美性質(zhì)，如最值定理，介值定理，零點定理以及一致連續(xù)性等等，而這些性質(zhì)在整個實數(shù)理論中占據(jù)重要地位，也為后續(xù)研究打下基礎(chǔ)。又如收斂數(shù)列極限中，隨著的無限增大，數(shù)列的項無限接近于某一確定的數(shù)，當有項變到無項時，這種量的變化最終引起了質(zhì)的變化，將變量變成了唯一常量。可見只有當量積累到一定程度才能發(fā)生質(zhì)的變化。

六、結(jié)語

總之，高等數(shù)學內(nèi)部處處蘊含著辯證思想，辯證法觀點在數(shù)學成果的推動下不斷進步。為培養(yǎng)出新型復合性創(chuàng)新人才，數(shù)學老師應將辯證法思維融入數(shù)學，使學生掌握完整系統(tǒng)的知識，有助于引導學生將所學知識應用于實踐，使抽象枯燥的數(shù)學變得具體生動。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版） [M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]鄭毓信等.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].成都：四川教育出版社，2001.

[3]徐利治.數(shù)學方法論選講[M].武漢：華中理工大學出版社，2000.