曲線與方程

曲線與方程是在軌跡概念和直線方程概念之后的解析幾何的基本概念，在充分討論曲線方程概念后，介紹了坐標(biāo)法和解析幾何的思想，以及解析幾何的基本問題，即由曲線的已知條件，求曲線方程；通過方程，研究曲線的性質(zhì)．

重點(diǎn)：形成“方程的曲線”與“曲線的方程”的概念，掌握常用動點(diǎn)的軌跡以及求動點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法，領(lǐng)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

難點(diǎn)：通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，正確理解曲線和方程的關(guān)系，培養(yǎng)綜合運(yùn)用各方面知識的能力．

1． 曲線與方程的基本思路

（1）根據(jù)方程f（ｘ，ｙ）=0判斷曲線形狀的常用方法是：在不改變x，y取值范圍的前提下，將方程化簡或變形后再判斷.

（2）已知曲線求方程時(shí)，“建系”要適當(dāng)，通常以使所求方程形式簡單為標(biāo)準(zhǔn).

（3）已知曲線求方程時(shí)需要注意以下問題：如果推導(dǎo)方程f（ｘ，ｙ）=0的過程可逆，而且曲線上的點(diǎn)不再受其他條件限制，則f（ｘ，ｙ）=0是所求的方程；如果推導(dǎo)方程f（ｘ，ｙ）=0的過程可逆，但曲線上的點(diǎn)還要滿足其他條件，則所求軌跡是曲線f（ｘ，ｙ）=0的一部分，其解析式的表示需要附以其他條件；如果推導(dǎo)方程f（ｘ，ｙ）=0的步驟不可逆，對此種情況要進(jìn)一步進(jìn)行分析，然后作出結(jié)論，一般而言，這時(shí)的軌跡往往是幾條曲線孤立組成.

２． 求曲線方程的基本策略

（1）直接法：由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這個(gè)等式，化簡得曲線的方程.

（2）定義法：利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程． 這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

（3）相關(guān)點(diǎn)法：若動點(diǎn)Ｐ（ｘ，ｙ）隨已知曲線上的點(diǎn)Ｑ（ｘ0，ｙ0）的變動而變動，且ｘ0，ｙ0可用ｘ，ｙ表示，則將Ｑ點(diǎn)坐標(biāo)代入已知曲線方程，即得點(diǎn)Ｐ的軌跡方程．

（4）待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法． 值得注意的是，掌握特定類型的求法會在解題過程中起事半功倍的效果，但切不可生搬硬套，一定要結(jié)合試題具體問題具體分析．

已知直線l：y=x+b與曲線C：y=■有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_______.

分析 考查兩曲線的交點(diǎn)及方程組有解的判定問題.

破解 由方程組y=x+b，y=■得y=x+b，x2+y2=1，其中y≥0. 消去x，得2y2－2by+b2－1=0（y≥0）. l和C有兩個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于此方程有兩個(gè)不等的非負(fù)實(shí)數(shù)解，可得b2－1≥0，b>0，Δ=4b2－8（b2－1）>0，解得1≤b<■.

反思 此題解法是把兩曲線有公共點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為方程組求解的判定問題. 本題也可以直接畫圖來進(jìn)行判斷，如圖1.

反思 解題時(shí)采用靈活的方法，達(dá)到良好的效果.

（2012北京）已知曲線C：（5－m）x2+（m－2）y2=8（m∈R）.

（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m的范圍；

（2）設(shè)m=4，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G. 求證：A，G，N三點(diǎn)共線.

分析 此題難度集中在運(yùn)算上，但題目的整體難度不太大.

（2）將已知直線方程代入橢圓方程化簡可得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，Δ=32·（2k2－3），解得k2>■.

由韋達(dá)定理得：xM+xN=－■ ①，xMxN=■，②. 設(shè)N（xN，kxN+4），M（xM，kxM+4），G（xG，1），MB的方程為：y=■x－2，則G■，1，所以■=■，1，■=（xN，kxN+2），欲證A，G，N三點(diǎn)共線，只需證■，■共線，即■（kxN+2）=－xN成立，化簡得（3k+k）xMxN=－6（xM+xN）. 將①②代入易知等式成立，則A，G，N三點(diǎn)共線，得證.

反思 從形式到條件的設(shè)計(jì)都具有一般性，相信平時(shí)對曲線的復(fù)習(xí)程度不錯(cuò)的學(xué)生做起來應(yīng)該能得心應(yīng)手.

本節(jié)內(nèi)容對思維能力的要求較高，綜合性強(qiáng)，建議同學(xué)們在復(fù)習(xí)時(shí)按部就班注意以下幾點(diǎn)：

（1）了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系及曲線的方程與方程的曲線的概念. 在直角坐標(biāo)系中，如果曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解（純粹性）；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上（完備性）. 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.

（2）掌握求簡單的曲線方程的一般步驟，①建立直角坐標(biāo)系：利用垂直性和對稱性建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn)：用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；③列式：用坐標(biāo)表示條件列出方程；④化簡：化方程為最簡形式；⑤檢驗(yàn)：檢驗(yàn)?zāi)承┨厥恻c(diǎn)是否滿足題意，把不滿足的點(diǎn)排除，把滿足的點(diǎn)補(bǔ)充上來.