解幾試題的別樣風(fēng)采

解析幾何歷來是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn). 很多同學(xué)高考時(shí)，在解析幾何的部分鎩羽而歸，讓我們不得不思考怎樣才能挫敗解析幾何的銳氣，獲取勝利的果實(shí). 為熟悉解析幾何的常見題型和出題規(guī)律，本刊試題研究組精選了7道解幾試題，以供同學(xué)們“厲兵秣馬”．

1． 過點(diǎn)P（1，1）的直線，將圓形區(qū)域｛（x，y）x2+y2≤4｝分成兩部分，要使這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）

A． x+y-2=0 B． y-1=0

C． x-y=0 D． x+3y-4=0

2． 點(diǎn)P在直線l：y=x－1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于A，B兩點(diǎn)，且PA=AB，則稱點(diǎn)P為“A點(diǎn)”，那么下列所述結(jié)論中正確的是（ ）

A． 直線l上的所有點(diǎn)都是“A點(diǎn)”

B． 直線l上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“A點(diǎn)”

C． 直線l上的所有點(diǎn)都不是“A點(diǎn)”

D． 直線l上有無窮多個(gè)點(diǎn)（不是所有的點(diǎn)）是“A點(diǎn)”

3． 已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25．

（1）圓C的圓心到直線l的距離為________；

（2）圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為_______．

4． 如圖1，拋物線y=－x2+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，將線段OA的n等分點(diǎn)從左至右依次記為P1，P2，…，Pn-1，過這些分點(diǎn)分別作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)依次為Q1，Q2，…，Q■，從而得到n-1個(gè)直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Qn-1Pn-1Pn-2，當(dāng)n→∞時(shí)，這些三角形的面積之和的極限為________．

5． 設(shè)直線系M：xcosθ+（y－2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個(gè)命題：

①M(fèi)中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；

②存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；

③對于任意整數(shù)n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；

④M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

其中真命題的代號是_______（寫出所有真命題的代號）．

6． 如圖2，雙曲線■－■=1（a，b>0）的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2． 若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D，求：

（1）雙曲線的離心率e；

（2）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值■．

7． 已知一列橢圓Cn：x2+■=1，0

（1）試證：bn≤■（n≥1）；

（2）取bn＝■，并用Sn表示△PnFnGn的面積，試證：S1Sn+1（n≥3）．

1． 要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點(diǎn)P的圓的弦長達(dá)到最小，所以只需該直線與直線OP垂直即可． 易得所求直線的方程為y－1=－（x－1），即x+y－2=0． 故選A．

2． 設(shè)A（m，n），P（x，x－1），則可得B（2m－x，2n－x+1）． 因?yàn)锳，B在y=x2上，所以n=m2，2n－x+1=（2m－x）2，消去n，整理得關(guān)于x的方程x2－（4m－1）x+2m2－1=0 ①．

因?yàn)棣?（4m－1）2－4（2m2－1）=8m2－8m+5>0恒成立，所以方程①恒有實(shí)數(shù)解，應(yīng)選A．