試題探究尋根溯源 活水長流

摘 要：本文擬通過對2013年福建省高三質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)第19題的命制思路的“尋根溯源”，嘗試對試題進(jìn)行“類比、推理、聯(lián)想”，形成命題的方向，并借助這樣的反思，加深對圓錐曲線定值問題解決方法的本質(zhì)理解，加深對教學(xué)過程中從發(fā)散到回歸的教學(xué)理念的升華，總結(jié)出一套切實(shí)可行的解題思路，從而達(dá)到“活水長流”的效果.

關(guān)鍵詞：尋根溯源；類比聯(lián)想；設(shè)而不求

羅增儒老師在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》一書中曾對數(shù)學(xué)的解題方法作了非常精辟的詮釋. 他認(rèn)為，我們探討解題方法的實(shí)質(zhì)，就是要透過那機(jī)械操作的形式去弄清每一個解題方法與什么樣的數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，與什么樣的數(shù)學(xué)方法相結(jié)合. 執(zhí)教者應(yīng)在精心做題的基礎(chǔ)上，立足學(xué)生的角度，經(jīng)常思考在題目解答時所采用的思維方式、解題策略以及依據(jù)，進(jìn)而總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)性解題規(guī)律并進(jìn)行拓展引申，從而將教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”與研究“考試命題”三者有機(jī)結(jié)合. 簡而言之，數(shù)學(xué)方法應(yīng)重在理解，重在本質(zhì). 然而正所謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，不同視角的切入讓筆者帶來了不同的發(fā)現(xiàn). 筆者認(rèn)為，倘若我們思考時能從問題的根源入手，則可全盤皆活、水到渠成.

[?] 引例解析

從福建省考試說明的要求以及高考命題的趨勢來看，以圓錐曲線為背景的定值問題應(yīng)引起我們的高度重視. 本道試題的價(jià)值在于能較好地切中學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)，貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，刺激學(xué)生把原有的知識經(jīng)驗(yàn)作為新知識的生長點(diǎn)，進(jìn)而形成新的知識經(jīng)驗(yàn)，體會研究定值問題不應(yīng)只是掌握具體的方法（如參數(shù)法），更要關(guān)注對“設(shè)而不求”的思想方法本質(zhì)的理解，提高“類比、推理、聯(lián)想”的探究能力.

[?] 尋根溯源

筆者認(rèn)為，我們今后在f0ff91939fc29af463280f4fc610cbb07c7fddc99c45260683910cf01b18f6f6命題的時候，是不是也可以進(jìn)行“類比、推理、聯(lián)想”，嘗試對圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行發(fā)散，探究在橢圓中的相應(yīng)情況，再用幾何畫板去驗(yàn)證？甚至我們是不是還可以嘗試對一種圓錐曲線具備的幾何性質(zhì)進(jìn)行發(fā)散，探究在其他圓錐曲線中的情況，再用幾何畫板去驗(yàn)證，形成命題的方向？我們不妨再來觀察下面這個例子.

[?] 反思提高

在實(shí)際教學(xué)中，對于圓錐曲線的定值問題，我們常常引導(dǎo)學(xué)生從以下兩個方面思考：

（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個點(diǎn)（值）與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)（定值）.

具體來說，在解題的思考過程中應(yīng)努力做到以下三點(diǎn)：

（1）題目結(jié)構(gòu)的觀察

數(shù)學(xué)解題過程中的“觀察”是“理解題意”的一種方式，它往往貫穿于整個解題過程的始終. 拿到一個題目時，需要經(jīng)過初步觀察弄清題意，明確解題的目的、任務(wù)，然后有目的地對問題進(jìn)行觀察，分析它們的結(jié)構(gòu)特征以及之間的關(guān)系，為“擬定計(jì)劃”打下基礎(chǔ).

（2）知識的遷移聯(lián)想

聯(lián)想是解題計(jì)劃的重要一環(huán). 所謂聯(lián)想，是從已經(jīng)掌握的途徑、原則、方法等方面去尋求接近當(dāng)前問題解決的途徑、原則和方法，聯(lián)想是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)解題的一種常用方法. 如何讓學(xué)生學(xué)會聯(lián)想是數(shù)學(xué)解題教學(xué)成功的關(guān)鍵.

（3）解題經(jīng)驗(yàn)的啟迪

解題過程中，不同的學(xué)生有不同的解題體驗(yàn)，并獲得了不同的解題經(jīng)驗(yàn)，隨著解題經(jīng)驗(yàn)的積累，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到了不同的發(fā)展. 而解題是建立在經(jīng)驗(yàn)之上的數(shù)學(xué)活動，因此，解題經(jīng)驗(yàn)的豐富與否直接關(guān)系到解題的成敗. 經(jīng)驗(yàn)告訴我們，命題者在命制解答題時，為了體現(xiàn)梯度、區(qū)分度，常分成幾個步驟進(jìn)行設(shè)問，而為了“步”與“步”之間的承接自然，往往“前一步”是“后一步”的臺階. 因此，解題時我們要盡量利用好這些已設(shè)的“臺階”，使之成為我們重要的解題資源.

然而，我們探究的目的絕非純粹地強(qiáng)調(diào)應(yīng)如何對試題進(jìn)行改造，而是希望借助這樣的共同反思，加深對圓錐曲線定值問題解決方法的本質(zhì)理解，加深對教學(xué)過程中從發(fā)散到回歸的教學(xué)理念的升華. 正所謂“解需有法，而解無定法”，在解決問題時，首先要對相關(guān)知識與方法“尋根溯源”，總結(jié)一套切實(shí)可行的解題思路，更要在此基礎(chǔ)上打破思維定式，見機(jī)行事，才能在我們的腦海中“活水長流”.