談探究式學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：本文從數(shù)學(xué)概念的教學(xué)地位、要求以及傳統(tǒng)概念教學(xué)存在的不足出發(fā)，提出在概念教學(xué)中應(yīng)注重概念形成性教學(xué)，確保學(xué)生構(gòu)建概念的主體地位. 結(jié)合函數(shù)概念教學(xué)，總結(jié)出探究式概念教學(xué)的基本過(guò)程依次為探究概念的產(chǎn)生、內(nèi)涵概括、概念的描述、概念的辨析、概念的聯(lián)系. 圍繞“問(wèn)題”探究概念形成教學(xué)，有助于學(xué)生主體的參與，幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與外延，完善概念認(rèn)知，并且發(fā)展學(xué)生的思維與能力.

關(guān)鍵詞：概念；形成；探究；問(wèn)題；思維

[?] 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)概念是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，它凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ). 高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)之根本.

教材中概念呈現(xiàn)比較直接，沒(méi)有過(guò)多展現(xiàn)概念的來(lái)龍去脈，在傳統(tǒng)概念教學(xué)中，教師往往采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的滿堂灌方式授課，輕視概念建構(gòu)的過(guò)程. 用解題教學(xué)代替概念教學(xué)，大大壓縮了概念形成過(guò)程的教學(xué). 這種“快餐式”概念教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)重要性認(rèn)識(shí)不足，主動(dòng)探究意識(shí)欠缺，課堂參與度低，影響學(xué)生對(duì)概念內(nèi)涵與外延的理解與掌握，阻礙知識(shí)體系的整體建構(gòu)，不利于學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成.

[?] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)與探究式學(xué)習(xí)

李邦河院士認(rèn)為，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧. 技巧不足道也！”概念學(xué)習(xí)不僅重視知識(shí)的應(yīng)用，更應(yīng)該突顯概念教學(xué)的過(guò)程，充分展現(xiàn)學(xué)生思維活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括概念的心路歷程，體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法.

“學(xué)校課程中的探究式學(xué)習(xí)界定為：學(xué)生圍繞一定的問(wèn)題、文本或材料，在教師的幫助和支持下，自主尋求或自主建構(gòu)答案、意義、信息或理解的活動(dòng)或過(guò)程.” 概念教學(xué)中，教師預(yù)先構(gòu)建研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體框架，引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念背景分析、內(nèi)涵提煉、外延辨別和構(gòu)建聯(lián)系等探究活動(dòng)，理解概念的產(chǎn)生背景、規(guī)定和約束條件、語(yǔ)言表述特點(diǎn)、等價(jià)敘述、內(nèi)外聯(lián)系及基本應(yīng)用.

[?] 探究式學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)的應(yīng)用

筆者結(jié)合高一《函數(shù)》概念教學(xué)，以“問(wèn)題”引導(dǎo)探究式教學(xué)呈現(xiàn)概念感知、概括、確立、辨析、構(gòu)建聯(lián)系的過(guò)程，談?wù)勗诟拍罱虒W(xué)中的一些體會(huì).

1. 探究概念的產(chǎn)生，感知概念

概念的形成是一個(gè)積累漸進(jìn)的過(guò)程，教學(xué)中要遵循從具體到抽象、知識(shí)循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)摹跋刃薪M織者”， 提供豐富的感性材料，或根據(jù)數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程與解決實(shí)際問(wèn)題的需要，抓住數(shù)學(xué)研究中出現(xiàn)的新問(wèn)題、新矛盾，創(chuàng)設(shè)情景并提出漸進(jìn)性問(wèn)題. 學(xué)生經(jīng)歷具體材料的觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，初步感知概念并形成感性認(rèn)識(shí). 比如，在引入函數(shù)的概念時(shí)，為幫助學(xué)生回顧舊知識(shí)，激活已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，促使知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性構(gòu)建，教師可設(shè)置以下問(wèn)題.

問(wèn)題1：大家回憶下初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)模型，你是怎么理解函數(shù)定義？

問(wèn)題2：結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，你能不能舉出函數(shù)例子，從變量間的關(guān)系分析它為什么是函數(shù)關(guān)系？（學(xué)生間相互交流各自的觀點(diǎn)）

問(wèn)題3：分別觀察下面三個(gè)例子，用初中學(xué)過(guò)的函數(shù)定義判斷變量間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎？函數(shù)是不是都有解析式呢？

探究意圖：先讓學(xué)生在記憶中提取學(xué)過(guò)的具體函數(shù)模型，借助腦海中呈現(xiàn)的一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式，概括出“變量說(shuō)”函數(shù)定義. 為加深學(xué)生從變量間的依賴關(guān)系角度定義函數(shù)的認(rèn)識(shí)，給予足夠的時(shí)間讓學(xué)生尋找生活中函數(shù)的例子，表達(dá)對(duì)函數(shù)的理解. 教師呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的三個(gè)實(shí)際背景材料，其中②③與學(xué)生記憶中函數(shù)表示形式不同，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，想當(dāng)然認(rèn)為其不是函數(shù)關(guān)系，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生回歸定義，用定義理性判斷問(wèn)題，促使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟“在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于每一個(gè)確定值x，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)”的含義，深化對(duì)函數(shù)變量間依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，感受函數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界中重要數(shù)學(xué)模型.

2. 探究概念的內(nèi)涵，體驗(yàn)概念形成

概括概念是概念教學(xué)中至關(guān)重要的一步，學(xué)生在感知具體事物（材料）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)認(rèn)識(shí)材料進(jìn)行分析、比較、歸納、抽象、概括其共同屬性的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，逐步完成對(duì)概念內(nèi)涵的概括. 由于數(shù)學(xué)對(duì)象的特有屬性比較隱蔽，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、研究方法反復(fù)探究、交流才能獲得，為引導(dǎo)學(xué)生概括函數(shù)的屬性，幫助學(xué)生對(duì)概念有清晰的認(rèn)識(shí)，可提出下列問(wèn)題：

問(wèn)題4：上面三個(gè)實(shí)例，函數(shù)的表示形式有何不同？它們有哪些共同特征？

問(wèn)題5：根據(jù)對(duì)三個(gè)實(shí)例共同特征的歸綱，你認(rèn)為構(gòu)成函數(shù)關(guān)系應(yīng)具備哪些要素呢？

問(wèn)題6：你能抽象概括出函數(shù)概念嗎？如何用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)？

問(wèn)題7：結(jié)合三個(gè)實(shí)例，分別指出兩對(duì)應(yīng)數(shù)集以及對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？

探究意圖：以“問(wèn)題”引導(dǎo)學(xué)生探究三個(gè)實(shí)例，歸納共同特征：①變化過(guò)程中有兩個(gè)變量；②兩個(gè)變量有其各自變化的取值范圍；③兩個(gè)變量間的對(duì)應(yīng)是確定的，給定任意一個(gè)x，都有唯一y與它對(duì)應(yīng). 由此可知，函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集中元素x，y對(duì)應(yīng)，將“變量說(shuō)”定義中“在一個(gè)變化過(guò)程”提煉為“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的“某一對(duì)應(yīng)關(guān)系”，概念本質(zhì)沒(méi)什么不同. 發(fā)現(xiàn)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”是初中運(yùn)用“變量說(shuō)”描述兩變量依賴關(guān)系的提升，它更具有一般性，對(duì)應(yīng)關(guān)系不僅可用解析式表示，但f不一定有具體表達(dá)關(guān)系，也可用圖象、表格來(lái)刻畫. 最后引導(dǎo)學(xué)生用自己理解的標(biāo)準(zhǔn)去識(shí)別三個(gè)實(shí)例，用更準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述各自對(duì)應(yīng)數(shù)集及對(duì)應(yīng)關(guān)系，初步了解函數(shù)三要素.

在概括概念過(guò)程中，遵循著由具體到一般，又從一般到具體的研究方法，在形成抽象概念時(shí)，總圍繞三個(gè)具體例子進(jìn)行剖析，探究其共性，當(dāng)初步形成概念后，再次用概念驗(yàn)證實(shí)例，提升對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)知. 教師組織學(xué)生交流，鼓勵(lì)發(fā)表不同的見(jiàn)解，相互評(píng)價(jià)學(xué)生的概括思維成果. 學(xué)生親身經(jīng)歷探究函數(shù)的內(nèi)涵，促進(jìn)對(duì)概念的理解，提高學(xué)生抽象的概括能力.

3. 探究概念的描述，明確概念

由于數(shù)學(xué)概念用科學(xué)、簡(jiǎn)練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖终Z(yǔ)言及抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，關(guān)鍵字詞蘊(yùn)涵深刻的數(shù)學(xué)含義，一字之差意思可能會(huì)大相徑庭，因此數(shù)學(xué)閱讀不同于其他文學(xué)閱讀，在閱讀過(guò)程伴隨著深度理性思考. 在概念內(nèi)涵的提煉概括后，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的闡述逐字逐句反復(fù)推敲，讓學(xué)生明白概念刻畫的對(duì)象. 添詞少句對(duì)概念有何影響，借助反例理解概念表述，由此培養(yǎng)學(xué)生深刻嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S及良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣. 在明確函數(shù)概念，分析形式化符號(hào)y=f（x）的結(jié)構(gòu)屬性時(shí)，教師可提出下列問(wèn)題.

問(wèn)題8：你認(rèn)為函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞有哪些？你怎么理解？（此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中的函數(shù)定義）

問(wèn)題9：你怎么理解符號(hào)y=f（x）的意義？其中f的數(shù)學(xué)意義是什么？用對(duì)應(yīng)語(yǔ)言怎么描述函數(shù)f（x）=x2？思考“f：2→？，f：？→1”及“f”的意義什么？

問(wèn)題10：函數(shù)中定義域、值域指的是什么？值域與數(shù)集B的關(guān)系如何？

探究意圖：通過(guò)閱讀教材，對(duì)函數(shù)概念的初期認(rèn)識(shí)進(jìn)行糾正、完善，學(xué)習(xí)概念的嚴(yán)謹(jǐn)表述. 學(xué)生對(duì)課本概念邊讀邊思考，確定關(guān)鍵詞及其對(duì)概念的影響，如“非空數(shù)集”“對(duì)應(yīng)關(guān)系”“任意一個(gè)”“唯一”，強(qiáng)調(diào)變量x的任意性與y的唯一性. 形象理解兩非空數(shù)集的對(duì)應(yīng)形式為“一對(duì)一”或“一對(duì)多”. 函數(shù)符號(hào)y=f（x）的理解是概念的難點(diǎn)，借助兩數(shù)集間對(duì)應(yīng)關(guān)系形象寫成f：x→y，其中x∈A，y∈B，y是x對(duì)應(yīng)的結(jié)果，簡(jiǎn)寫成y=f（x）. f的數(shù)學(xué)意義是某種確定對(duì)應(yīng)法則，理解為“在對(duì)應(yīng)關(guān)系f作用下，集合A中變量x與集合B中變量y對(duì)應(yīng)”. 對(duì)于函數(shù)f（x）=x2，學(xué)生要根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)意義，將形如y=f（x）的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)形式f：x→x2，不僅化解符號(hào)的抽象性而降低問(wèn)題解決難度，而且借具體例證理解概念中“一對(duì)一”或“多對(duì)一”，及對(duì)應(yīng)關(guān)系f的意義.

4. 辨析命題，把握概念

問(wèn)題14：分別在三個(gè)引例中，能否構(gòu)建某一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得數(shù)集B到A的對(duì)應(yīng)是函數(shù)關(guān)系？

探究意圖：圍繞函數(shù)概念中易錯(cuò)屬性，設(shè)置三個(gè)用解析式、圖象、表格表示的對(duì)應(yīng)關(guān)系，降低了對(duì)抽象概念的難度，學(xué)生依據(jù)概念能直觀判斷命題是否正確，從而結(jié)合圖象形象化說(shuō)明概念中“任一個(gè)”、 “唯一”的意義. 通過(guò)用抽象定義辨析具體實(shí)例，基本上完成了從具體到抽象的概括，即從抽象到具體的應(yīng)用過(guò)程.

5. 探究聯(lián)系，應(yīng)用概念

[?] 探究式數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1. 提供寬松、有序的學(xué)習(xí)環(huán)境，利于主體參與

學(xué)生是課堂的學(xué)習(xí)主體，衡量教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于學(xué)生是否獲得發(fā)展. 探究式的概念學(xué)習(xí)，將課堂的大部分時(shí)間留給學(xué)生探究、交流，建構(gòu)知識(shí)，讓學(xué)生真正成為課堂的“主人”，但不能忽視教師的指導(dǎo)作用. 教師以一個(gè)組織者、對(duì)話者的身份營(yíng)造民主、自由、寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考、交流的積極性，讓他們成為課堂的探索者、學(xué)習(xí)者、合作者，保證概念探究中思維得到碰撞，實(shí)現(xiàn)主體建構(gòu)知識(shí).

2. 提出符合主體認(rèn)知的問(wèn)題，利于探究達(dá)成

學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)是一種自我心理建構(gòu)的過(guò)程，在此過(guò)程中學(xué)習(xí)主體學(xué)生只有調(diào)整自己內(nèi)、外部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使得主、客觀彼此一致，才能建構(gòu)起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 從知識(shí)層面上看，在概念形成上設(shè)置“問(wèn)題鏈”，以問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生認(rèn)識(shí)概念，這些問(wèn)題不僅可以圍繞概念屬性而設(shè)置，而且對(duì)學(xué)生認(rèn)知造成困擾的如難點(diǎn)、易錯(cuò)、易混點(diǎn)上也可以設(shè)置，便于學(xué)生理解概念. 從認(rèn)知層面上看，中學(xué)生的思維發(fā)展過(guò)程往往是由直觀形象的事例，經(jīng)過(guò)歸納總結(jié)上升到理性思維. 在概念引入中提供的背景材料應(yīng)是學(xué)生熟知、感興趣的、有意義的例子或者曾經(jīng)質(zhì)疑、未解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 但由于概念的教學(xué)特殊性，問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)趨向于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，跨度和難度不宜太大，對(duì)于抽象問(wèn)題探究，教師可適當(dāng)采用直觀教學(xué)手段（如教具、動(dòng)畫、圖象）或低級(jí)知識(shí)作為鋪墊，避免學(xué)生出現(xiàn)畏懼的情緒.

3. 運(yùn)用探究手段，利于學(xué)生思維的發(fā)展

將抽象、深刻的概念有效分解成若干個(gè)問(wèn)題，以“問(wèn)題”為中心的探究活動(dòng)，使數(shù)學(xué)思考更有目的性、有序性和有效性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念形成及本質(zhì)的理解. 在探究過(guò)程中，學(xué)生直接參與并采用一切探究手段，如觀察、感知、實(shí)驗(yàn)、操作、分析、嘗試、類比、歸納、抽象、概括、質(zhì)疑、辨析、內(nèi)化等思維活動(dòng)，在實(shí)施探究過(guò)程中，學(xué)生充分展現(xiàn)自己想法，同伴間思維碰撞、相互點(diǎn)撥、引導(dǎo)、探討、交流、合作等有利于化解概念學(xué)習(xí)疑難及完善認(rèn)知. 只有學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括及認(rèn)識(shí)的主體探究活動(dòng)，學(xué)生思維的全面性、深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性才得到發(fā)展.