例說包裝問題的數(shù)學(xué)建模方略

摘 要：近年來，各地市的中考數(shù)學(xué)卷中，常出現(xiàn)與包裝有關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問題。這類問題常蘊(yùn)含許多重要的數(shù)學(xué)思想與方法，深入剖析這類包裝問題，嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，尋求問題解決方法，定能對緊張的中考復(fù)習(xí)起到較好的示范作用.

關(guān)鍵詞：包裝問題；數(shù)學(xué)建模；策略

模型思想是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的核心關(guān)鍵詞之一，它是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段.近幾年來，各地市中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的一類包裝型問題，由于其取材貼近生活，背景樸實(shí)而又為學(xué)生所熟悉，且題中蘊(yùn)含許多重要的數(shù)學(xué)思想與方法，因此，正逐漸被命題老師所青睞.深入剖析這類包裝問題，嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，尋求問題解決方法，定能對緊張的中考復(fù)習(xí)起到較好的示范作用.

一、直角三角形模型

生活中對一些柱體進(jìn)行外包裝較為常見.在解決這類問題的過程中，往往需要將立體圖形通過剪切展開成平面圖形，將問題置于平面中來尋求解題思路.其中常通過現(xiàn)成的或構(gòu)造而成的直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)、勾股定理等相關(guān)知識解決問題.

例1.如圖1，是一個(gè)側(cè)棱長為15 cm的直三棱柱包裝盒，它的底面是正三角形.現(xiàn)將寬為4 cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個(gè)平行四邊形ABCD（如圖2），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方式把這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時(shí)沒有重疊部分），紙帶在側(cè)面纏繞四圈，正好將這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿.則在圖2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是 .

評析：如何將平行四邊形紙帶ABCD包貼到三棱柱上？一種是將AD與三棱柱底邊棱重合進(jìn)行包貼；一種是將AB邊與三棱柱底邊棱重合進(jìn)行包貼.前者無法將紙帶“螺旋上升”以至包貼整個(gè)三棱柱側(cè)面；后者可以按題目要求進(jìn)行包貼.故AB長即為三棱柱的底邊周長.求∠BAD可轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解.本題所涉及的知識點(diǎn)有：三棱柱側(cè)面展開圖，解直角三角形，平行四邊形和平移等一些實(shí)踐操作知識.解決本題，關(guān)鍵是能否在有限的時(shí)間里審清題意，能否理解“包貼”的方法和理解“側(cè)面全部包貼滿”等字眼，能否通過圖2與圖3找出解決此題的切入口.處理立體圖形往往是要將立體圖形展開成平面圖形.同時(shí)平面圖形與立體圖形之間又有著密切的聯(lián)系.

二、方程模型

膠帶紙對學(xué)生來說是相當(dāng)熟悉的，靈活利用它，同樣可命制一類好題.解決過程中往往會涉及有關(guān)面積的知識，有時(shí)也不乏用到不等式等知識.其中常根據(jù)隱含的有關(guān)面積的等量關(guān)系，通過建立方程模型來解決問題.

例2.小明買來一卷包裝用膠帶紙（如圖4）.他突發(fā)奇想：這卷膠帶紙拉開來到底有多長？他首先想到可以拉開來直接測量，顯然這是不切實(shí)際的.思考后，他想到了用數(shù)學(xué)知識來解決.他從網(wǎng)上查得這種包裝膠帶紙的厚度約為0.005 cm，他量得整卷膠帶紙的內(nèi)徑為5 cm，外徑為10 cm.請你幫助小明解決這個(gè)問題（結(jié)果精確到1米）.

評析：利用學(xué)生熟悉的膠帶紙，對此進(jìn)行聯(lián)想而編制成本題.解決該問題需要有思維的開放性和深刻性.一方面它提供了一個(gè)生活情境的再現(xiàn)，呈現(xiàn)“活生生”的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用場景，考查學(xué)生對現(xiàn)實(shí)問題的理解能力和解決問題的能力，即數(shù)學(xué)建模能力；另一方面，作為該試題，體現(xiàn)了命題的“公平性”原則，人人都接觸過膠帶紙，不會給學(xué)生帶來陌生感.再者，還在于它解法的巧妙：以面積法求得膠帶紙的長度.想象中把整卷膠帶紙拉開，拉開后的膠帶紙的截面可看做是長未知、寬為0.005 cm的很扁很扁的矩形，若設(shè)全長為x cm，則圓環(huán)面積可表示為0.005x，利用面積建立等量關(guān)系，列出方程，從而求得x的值.顯然，直接去求長度的難度要大得多，這需要思維的廣闊性與發(fā)散性，沒有較強(qiáng)的抽象思維能力與建模能力，要比較輕松地解決本題是有一定難度的.

三、不等式模型

建立不等式模型來解決生活中的包裝問題，看似風(fēng)馬牛不相及，然通過巧設(shè)載體，將它們有機(jī)結(jié)合起來，運(yùn)用不等式等相關(guān)知識，硬是解決了一些包裝問題中的包裝帶長度問題，彰顯數(shù)學(xué)的無窮魅力.

例3.（1）比較大小：

（3）利用上述猜想解決下列問題：如圖5，有一等腰梯形的工件（厚度不計(jì)），其面積為1800 cm2，，現(xiàn)要用包裝帶如圖包扎（點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊中點(diǎn)），則最少需要包裝帶的長為 .

評析：本題通過一些數(shù)式的大小比較，從中抽象概括出一般結(jié)論，進(jìn)而將此結(jié)論應(yīng)用于平面圖形中（厚度不計(jì)的等腰梯形工件的外包裝帶的長度估算），體現(xiàn)了從特殊到一般的思考問題的思想與方法，同樣也滲透了數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)習(xí)不等式的根本目的，就是要初步形成利用不等式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的能力，能把它作為一種有效的數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)模型，去解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)本身的問題.（1）（2）兩小題比較常規(guī)，在解決第（3）小題時(shí)，要弄清以下幾個(gè)問題：①厚度不計(jì)的一個(gè)等腰梯形的工件用包裝帶如圖包扎，計(jì)算包裝帶的長就是計(jì)算什么？②EG與HF的長度與等腰梯形的面積之間有什么聯(lián)系？③EG與HF的位置關(guān)系如何？為什么有這種位置關(guān)系？④如何將第（2）小題的結(jié)論用上去？解決了上述問題，本題也就解決了.而題中的（1）（2）兩問與第（3）問看起來是風(fēng)牛馬不相及的，然而實(shí)質(zhì)上它們有著如此讓人驚詫的聯(lián)系，再次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的無窮魅力.

中考試題承載著課標(biāo)理念與教學(xué)導(dǎo)向，對它們的跟蹤關(guān)注與研究是數(shù)學(xué)教師的最愛.數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，通過呈現(xiàn)學(xué)生所熟悉的生活背景與實(shí)際，讓學(xué)生通過抽象概括，提煉歸納建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而獲得問題的解決，這無疑是考查學(xué)生抽象思維能力與數(shù)學(xué)建模能力的好載體，也無疑將成為命題老師的命題思路與編制方向.愿我們一起潛下心來，認(rèn)真研究課標(biāo)與考試說明，為切實(shí)提高中考復(fù)習(xí)的有效性與針對性，真正達(dá)到“輕負(fù)高效”的目標(biāo)而努力.

（作者單位 浙江省上虞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）