一類含有梯度項的奇異拋物方程古典解的存在性*

夏 莉 ，李敬娜

(1.深圳大學數(shù)學與計算科學學院，廣東深圳518060;2.暨南大學數(shù)學系，廣東廣州510632)

本文研究如下一類具有奇性的拋物方程

這里α，β 是正數(shù)，QT=(0，1)×(0，T］(T ＞0)，r =是一個單位球，N≥2).假設f(x，t)及φ(x)關于x 是徑向?qū)ΨQ的函數(shù)，因此在問題(1)～(3)中，我們用f(r，t)、φ(r)及v(r，t)分別表示，并記v' =vr，v″=vrr.

問題(1)與某些方程密切相關，這些方程在物理、化學及生物學上應用背景很強.當α =N -1 時，問題(1)與如下一類奇異型拋物方程等價:

若α=N-1，β =1 或β =p/(p -1)(p ＞1)，令w =-ln v 或w=［(p-1)v］1/(1-p)(v ＞0)，則問題(1)～(3)可轉(zhuǎn)化為如下奇異型拋物方程

這里h(r，t)=ew(r)或w(r)p，F(xiàn)(φ)= -ln φ(r)或［(p-1)φ(r)］1/(1-p).

問題(4)、(5)～(7)在文獻［1］-［3］中得到了一些討論.ZHOU 等［1］研究了一類與問題(4)相關的一維熱方程狄利克雷問題，證明了正古典解和多解的存在性結果. XIA 等［2-3］研究了問題(4)在一般的有界光滑區(qū)域下正古典解的適定性及相應的漸近行為，間接得到了問題(5)～(7)的一般古典解的存在性;并在更弱的初邊值條件下證明了問題(4)在高維情形時最大弱解的存在性.有關問題(4)～(5)更詳細的背景及相關熱傳導方程的徑向解問題，請分別參閱文獻［1］-［5］、［6］-［8］及其后參考文獻.

本文將討論問題(1)～(3)在某些條件下古典解的存在性，并間接得到問題(4)、(5)在不同情形下徑向?qū)ΨQ的古典解.

假設f(r，t)滿足

(F1)0 ＜f(r，t)Cγ，γ/2((0，1)×(0，T))，γ(0，1);

φ 滿足

(H1)0 ＜φC2+γ(0，1)，φ(0)=φ(1)=0，并且

本文的主要結果如下:

定理1 令α ＞0，β ＞α +1，假設條件(H1)、(F1)成立，并且φ 還滿足如下條件:

推論1 當N ＞1，β ＞N 或p ＜N/(N-1)時，問題(4)或問題(5)～(7)存在一個非負古典徑向解.

由于方程(1)在點r =0 及v(r，t)=0 處有奇性，故需要將其正則化，轉(zhuǎn)而研究如下正則化問題

為簡化運算，記Aξ = ξt- ξ″，bε(r，t，ξ，η)=

非負函數(shù)w 被稱為問題(8)～(10)的古典下解，如果wC1，0)∩C2，1(［0，1］×(0，T］)，且

將上述不等式符號反號，即得古典上解的定義.

接下來將構造問題(8)～(10)的一個古典上解和一個古典下解.

證明 簡單計算可得

選取

易證v是問題(8)～(10)的古典下解.

引理2 假設α ＞0，β ＞α +1，條件(H2)成立.令v1ε=C2et(r+ε1/2)2，v2ε=C2et(1 +ε1/2-r)2，=min{v1ε，v2ε}，這里C2≥1 是待定常數(shù). 則是問題(8)～(10)的一個古典上解.

證明 只需證明

由于ε≤C2et(r+ε1/2)2=v1ε，則

C3≥1 是一個待定常數(shù). 則是問題(8)～(10)的一個古典上解.

證明 易見wε是如下問題的古典解:

簡單計算可得

由式(11)，可得

由引理1～引理3 及文獻［9］的定理4.5，問題(8)～(10)至少有一個古典解vε，并且

引理4 記Q'T=［δ，1 -δ］×(0，T］，這里δ ＞0是任意小于1/2 的常數(shù). 則存在某個數(shù)μ(0，1)，使得這里C 不依賴于ε.

證明 對任意Q'T??QT，選取Qi，T=［δi，1 -δi］×(0，T］(i=1，2，3)，這里δ ＜δ1＜δ2＜δ3＜1/2.則對方程

令ε →0+，再由式(12)，可得，則滿足初邊值條件(2)～(3).

若β ＞α+1，α ＞0，當ε→0+時，由式(12)可得

由上式可得:

［1］ZHOU W S，LEI P D. A one - dimensional nonlinear heat equation with a singular term［J］. J Math Anal Appl，2010，368(2):711 -726.

［2］XIA L，YAO Z A. Existence，uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a singular parabolic equation［J］. J Math Anal Appl，2009，358(1):182 -188.

［3］XIA L，LIU Q，YAO Z A. Existence of the maximal weak solution for a class of singular parabolic equations［J］.J Math Anal Appl，2012，387(1):439 -446.

［4］CHANG C F，NI W M，WANG X F. Further study on a nonlinear heat equation［J］. J Differential Equations，2001，169(2):581 -613.

［5］ZAGG H. On the regularity of the blow - up set for semilinear heat equations［J］. Ann Inst H Poincaré，2002，19(5):505 -542.

［6］BARTSCH T，POLáǎIK P，QUITTNER P. Liouville -type theorems and asymptotic behavior of nodal radial solutions of semilinear heat equations［J］. J Eur Math Soc，2011，13(1):219 -247.

［7］ISHIWATA M. On the asymptotic behavior of unbounded radial solutions for semilinear parabolic problems involving critical Sobolev exponent［J］. J Differential Equations，2010，249(6):1466 -1482.

［8］LIANG F，LI Y. Blow-up for a nonlocal parabolic equation［J］. Nonlinear Analysis，2009，71(7 -8):3551 -3562.

［9］AMANN H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations［M］.New York:Nonlinear Analysis，Academic Press，1978:1 -29.

［10］LADYZENSKAJA O A，SOLONNIKOV V A，URAL'CEVA N N. Linear and quasi - linear equations of parabolic type［M］. New York:American Mathematical Society，1968.