“面積”的前概念調(diào)查研究與教學實踐

“前概念”指學生對將要學習的概念在先前的生活與學習過程中已經(jīng)形成的認識與觀念。了解學生的“前概念”，是引導學生理解數(shù)學概念的基礎(chǔ)。如何才能準確地了解學生的“前概念”，如何依據(jù)“前概念”進行教學設計？下面以我們近期組織的“面積”的前概念調(diào)查研究與教學實踐為例，闡述我們的做法。

一、“面積”前概念的調(diào)查

一般來說，教師對于學生“前概念”的把握，主要依據(jù)教學經(jīng)驗或教育心理學理論，即主要來自于主觀的推測。而這樣的推測往往是單薄的、片面的，甚至錯誤的。所以，哪怕是有豐富教學經(jīng)驗的教師，也要在對學生的“前概念”做出主觀推測的基礎(chǔ)上，組織有效的、有針對性的調(diào)查。

1.前概念推測

“面積”與“周長”是封閉圖形兩個重要的量度。就學校數(shù)學而言，“周長”的概念先于“面積”概念進行學習，而就學生的直觀感知而言，“面積”更容易被學生感知，但在具體表述時，“面積”往往用“大小”這個詞來表述，但學生會怎樣解釋“面積”呢？

2.調(diào)查題設計與意圖

為證實推測，解答疑惑，我們設計了三個有層次的調(diào)查題。

調(diào)查題1：從語言的角度，調(diào)查學生會用怎樣的詞匯描述物體面的大小。

黑板面比電視機屏幕面（ ）。這句話中是用黑板面的（ ）和電視機屏幕面的（ ）在比較。

調(diào)查題2：對圖形的觀察，調(diào)查學生對圖形大小的理解。

在圖1中，哪些圖形可以看出它的大小，哪些圖形沒有大小？在你認為有大小的圖形的序號上打“√”。

調(diào)查題3：從內(nèi)涵的角度，調(diào)查學生對“面積”一詞的理解。

你聽說過“面積”嗎？如果聽說過，面積是什么意思？

3.調(diào)查的對象與組織

我們認為，“面積”前概念的形成與學生的學習過程、生活環(huán)境有一定的相關(guān)性。因此，我們聯(lián)系了位于城區(qū)、城鄉(xiāng)結(jié)合部和邊遠農(nóng)村各一所學校，并選擇各所學校的一個班的學生作為調(diào)查對象。

為了后面的調(diào)查題不對前面的調(diào)查產(chǎn)生前攝影響，在組織調(diào)查時，我們分成三次先后下發(fā)調(diào)查題，各用兩分鐘時間完成。

二、“面積”前概念分析

調(diào)查題的主觀性與開放性，使得學生的回答可能五花八門。為了便于統(tǒng)計，教師要從回答的差異性中找到相似性，進行合理的分類，然后再對每一類進行細致分析，從相似性中辨析學生回答的差異性。在“前概念”分析時，對有疑問的調(diào)查結(jié)果，還可以進行個別訪談。

1.調(diào)查題1的統(tǒng)計與分析

通過調(diào)查，基本證實了我們的想法：大部分學生能夠結(jié)合具體情境用“大小”來描述“面積”。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計（見表1）

從調(diào)查的三個班的總體情況看，72.5%的學生能夠正確描述“面積”，知道比較物體的長度與兩個圖形或平面面積的大??；8.33%的學生不是很清楚，但感覺到了面積與長和寬是有關(guān)系的；19.17%的學生不回答或其他。

（2）調(diào)查結(jié)果分析

從總體情況看，學生在學習“面積”概念前并非一片空白，尤其是生活在城區(qū)或鎮(zhèn)上的孩子，他們早已從家長們關(guān)于“買房”“賣房”“裝修”等談論中，耳濡目染了“面積”“大小”等詞匯。能夠?qū)ⅰ懊娣e”正確描述的學生分為三種情況：

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（面積）和電視機屏幕面的（面積）在比較。

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大?。┖碗娨暀C屏幕面的（大小）在比較。

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（大）和電視機屏幕面的（小）在比較。

在上述三類回答中，其中第一類有18人，占15%，且主要集中在城區(qū)與城鎮(zhèn)，訪談這些學生后知道，他們或是說看書知道，或是在數(shù)學課外書中學到的；第三類有5人，占4.1%，顯然這樣的表達，從面積的定義來看，不能算是“正確的”，但通過對5位同學的訪談后發(fā)現(xiàn)，學生也是從“大小”的角度來表述的。

我們通過統(tǒng)計與個別訪談發(fā)現(xiàn)，大部分學生是通過生活經(jīng)驗對“面積”有了初步的感知，并且能夠結(jié)合具體的情境，明白面積就是指（面）的大小。

另外，認為“面積”是“長和寬”在比較的學生的結(jié)果如下：

黑板面比電視機屏幕面（大）。這句話中是用黑板面的（長和寬）和電視機屏幕面的（長和寬）在比較。

從統(tǒng)計結(jié)果來看，這樣的填法所占的比重，城區(qū)學生要明顯高于城鎮(zhèn)與偏遠農(nóng)村學生。而且通過了解，我們發(fā)現(xiàn)這樣填寫的學生并非都是后進生，而是各個層次的學生都有。

經(jīng)過個別訪談了解到，這樣填寫的學生首先是受制于例子的特殊性。例子中兩個物體的面都是長方形，而且黑板面的長與寬均大于電視機屏幕面的長與寬，因此學生直觀地認為是“長和寬”在比較。因此，就本題而言，這種說法不能算錯誤，而且學生已經(jīng)能從兩維的角度來確定面的大小。

2.調(diào)查題2的統(tǒng)計與分析

“面積”與“周長”一樣，是封閉圖形的量度。在具體情境下，學生是否可以分辨哪些圖形有“面積”，哪些圖形沒有呢？通過調(diào)查2的統(tǒng)計與分析，可以回答這個問題。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計

三個年級中只有來自于偏遠農(nóng)村小學的兩名學生認為6個圖形都有大小，其余學生都可以作出正確回答。在對偏遠小學四位學生訪談時，同時請兩位認為6個圖形都有大小的學生旁聽，等學生作出回答后，這兩位學生也很快發(fā)現(xiàn)了自己存在的問題。

（2）調(diào)查結(jié)果分析

人教版三上年級數(shù)學在教學“周長”時，學生對封閉圖形已經(jīng)有所認識。因此，當要求判別哪些圖形有“大小”時，極大多學生能夠正確回答。

教師抽查了三類學校各四位學生進行個別訪談，詢問圖形③⑥沒有大小的原因，學生均能從“不是封閉圖形”來說明。

3.調(diào)查題3的統(tǒng)計與分析

概念一般由概念名稱、概念示例、概念特征與概念定義這四個部分組成，從調(diào)查題1與2可以了解到學生對“面積”的前三個部分的前概念。那么學生又是如何概括“面積”，如何給面積下定義的，這可以從調(diào)查題3中找到答案。

（1）調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計（見表2）

（2）調(diào)查結(jié)果分析

這里的“正確描述”并不是指按書本中的規(guī)范表述，而是學生能用“大小”來表述“面積”即可以作為正確描述，例如，

答：聽說過，面積的意思是眼睛看過去的大小。

答：我聽說過“面積”，面積就是封閉圖形的大小。

這樣的學生占總數(shù)的半數(shù)以上，但沒有學生能如課本中那樣下定義。這說明，在教學時，教師需要有序列舉與引導學生逐步概括定義。

還有一部分學生把“面積”與“面”相混淆，例如，

答：我聽說過，面積是一個圖形的表面。

其他的錯誤回答還有與“周長”相混淆，例如，

答：聽說過，是一個封閉圖形的周長。

“面積”與“周長”作為同時存在于封閉圖形中的兩個量度，不管在概念形成時，還是在應用階段，學生均容易混淆。因此，在教學“面積”時，就要盡早地將其與“周長”進行比較，讓學生更早地區(qū)分兩者的區(qū)別。

三、“面積”的教學實踐

調(diào)查與分析為我們提供了鮮活的、真實的、細致的“前概念”。透析學生的“前概念”，可以改進原有的教學設計，進行更加順應學生學習心理的教學。根據(jù)“面積”的前概念調(diào)查，我們得知，學生從生活經(jīng)驗中已經(jīng)有了“大小”的觀念，并能正確地區(qū)分哪些圖形有大小，但在具體解釋“面積”時還不夠完整，且容易與“表面”“周長”這些概念相淆，因此，我們可以采用比較的策略，組織“面積”的教學。

1.在與“長度”的比較中引出“面積”

（1）復習“長度”概念

教師通過投影出示兩支長短不同的紅筆與藍筆，引導學生復習“長度”的概念。

教師先后出示下面兩個句子，請學生回答。

紅筆比綠筆（ ）。

這句話中是用紅筆的（ ）與綠筆的（ ）在比較。

生：紅筆比綠筆長。

生：紅筆的長度與綠筆的長度在比較。

教師板書“長度”。

（2）引出“面積”概念

教師通過投影出示黑板面與電視機屏幕，引導學生先后回答下面問題。

黑板面比電視機屏幕面（ ）。

這句話中是用黑板面的（ ）和電視機屏幕面的（ ）在比較。

生：黑板面比電視機屏幕面小。

生：黑板面的大小和電視機屏幕面的大小在比較。

師：黑板面的大小和電視機屏幕面的大小，這個大小叫做它們的“面積”。

教師板書“面積”。

師：像黑板、電視機屏幕還有桌子等，這些我們都稱它為物體。（板書：物體）我們看到一個物體時，就可以看到這個物體的表面，而物體表面的大小，就可以用兩個字來概括，叫做……

生齊答：面積！

長度與面積是人們刻畫圖形的兩個重要的既有聯(lián)系又有本質(zhì)區(qū)別的幾何量度。長度是從一維的角度來刻畫圖形的量度，面積是從二維的角度來刻畫圖形的量度。在前概念調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，三年級的學生對于面積已經(jīng)有了一定的了解，并且，在日常生活中經(jīng)常用“大小”來表述。上面的設計，通過對兩組實物的比較，喚起學生已有的經(jīng)驗，直觀感受到面積與長度的區(qū)別，激發(fā)學生對“面積”進一步研究的意向。

2.在與周長及平面圖形的辨析中理解面積

（1）比較物體表面的周長與面積

教師利用課件出示數(shù)學書，并用紅色線段動畫演示數(shù)學書本一周，問：這一周的長度是數(shù)學書本的什么？

生：周長。

根據(jù)學生的回答教師出示：封面一周的長度是封面的周長。

接著中把整個封面覆蓋上一層紅色，并設問：這是封面的什么？

生：面積。

師：請同學們拿出數(shù)學書，指一指封面的周長，再摸一摸封面的面積。

學生操作后，教師拿出一本數(shù)學書。

師：同樣是這本數(shù)學書的封面，既有我們以前學過的周長的知識，又有今天學的面積的知識，而且還發(fā)現(xiàn)了周長與面積的不同。數(shù)學就是這么學的，今天學一點，明天學一點，然后我們把它們綜合起來比一比，就發(fā)現(xiàn)了更多的知識，也就可以解決更多的問題。

（2）理解圖形的面積

出示圖1，并提問：哪些圖形有面積？

生：圖形①②④⑤有面積。

師追問：你認為怎樣的圖形有面積？

生：封閉圖形有面積。

教師總結(jié)并板書：封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

（3）概括面積的定義

師：現(xiàn)在你能概括一下什么叫做面積嗎？

生：封閉圖形的大小和封閉圖形面的大小叫做它們的面積。

教師總結(jié)并修改板書：物體表面或封閉圖形的大小叫做它們的面積。

“面積”與“周長”雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但也有密切聯(lián)系。因為，在觀察一個封閉圖形時，看到圖形邊的長短時，同時也看到圖形面的大小。在我們的教材中，為了學習的需要，總是人為地把“周長”與“面積”分成兩個學習階段，第一階段學習周長，是在學生已經(jīng)學習了米、厘米等長度單位的基礎(chǔ)上進行教學；第二階段學習面積，主要是通過比較不同物體或封閉圖形面的大小來概括面積的概念，進而通過擺一擺、數(shù)一數(shù)等活動，引出面積單位，導致學生對這兩個重要的概念產(chǎn)生混淆。究其原因，教師在教學周長時，沒有從面的大小來分析周長，在教學面積時，又沒有及時與周長進行比較。為克服這一弊端，本文采用了在數(shù)學書本封面的周長與面積的比較中初步感知面積概念，讓學生體會到面積是從另一個角度對封閉圖形的認識。

綜合上面的研究過程，可以發(fā)現(xiàn)，對學生“前概念”的調(diào)查研究，可以真實地了解學生的思維起點，真切地把握新概念的生長支點。這樣的實踐研究植根于學生，有利于形成教師的教學特色。

（作者單位：1.浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室 2.浙江省杭州市蕭山區(qū)任伯年小學）

（責任編輯：馬贊）