拉格朗日微分中值定理的證明與坐標旋轉(zhuǎn)

余勝春

（武漢科技大學理學院，湖北 武漢430081）

拉格朗日（Lagrange）微分中值定理的證明，一般都是采用構(gòu)造一個滿足羅爾（Rolle）定理的3個條件的輔助函數(shù)，利用羅爾定理來證明的［1］。其輔助函數(shù)具有其一定的規(guī)律性。

1 拉格朗日微分中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造與推廣

對于拉格朗日中值定理函數(shù)y＝f（x）不具有羅爾定理所滿足的f（a）＝f（b）的條件，要用羅爾定理來證明它，就必須通過構(gòu)造輔助函數(shù)來消除這一因素，使其滿足羅爾定理的條件。

1）一般構(gòu)造 采用在曲線y＝f（x）的縱坐標上減去端點為A（a，f（a）），B（b，f（b））的弦所在的直線的縱坐標。事實上，弦AB所在的直線方程為：

其兩者之差為：

式（1）便是常見于定理證明中的輔助函數(shù)，它滿足羅爾定理的3個條件。

2）推廣 ①用曲線y＝f（x）的縱坐標上減去平行于弦AB的所有直線的縱坐標得到的函數(shù)也可以作為拉格朗日中值定理證明中的輔助函數(shù)。一般地：，滿足羅爾定理的條件。

進而：

② 從拉格朗日中值定理所要證明的結(jié)論“存在ξ∈（a，b），立”出發(fā)，也可以構(gòu)造出滿足羅爾定理條件的輔助函數(shù)來。即構(gòu)造一個［a，b］上滿足羅爾定理條件的函數(shù)Φ4（x），要求Φ4（x）在x＝ξ處的導數(shù)，故令：

即可。事實上，對Φ4（x）也有滿足羅爾定理的條件。

2 坐標系的旋轉(zhuǎn)變換

從幾何的角度來看，也會提出能不能用坐標系的旋轉(zhuǎn)變換，使得曲線y＝f（x）的端點A（a，f（a）），B（b，f（b））在新坐標系下的函數(shù)值相同，從而運用羅爾微分中值定理來證明這一定理呢？回答是肯定的。解決這一問題的關(guān)鍵在于函數(shù)y＝f（x）經(jīng)過坐標系的旋轉(zhuǎn)變換，即在新的坐標系下，是否仍然滿足羅爾微分中值定理的條件。

事實上，坐標系xoy上的函數(shù)y＝f（x）在［a，b］上滿足拉格朗日微分中值定理的條件，但經(jīng)過坐標系旋轉(zhuǎn)：

后，即在新坐標系下有閉區(qū)間上連續(xù)，且端點處的函數(shù)值相同，但不一定滿足羅爾微分中值定理在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可微的條件。

例1 函數(shù)f（x）＝x3－32＋4在［－1，1］上滿足拉格朗日微分中值定理的條件，經(jīng)過坐標系旋轉(zhuǎn)：

后，有：

由式（5）所確定的函數(shù)的導數(shù)為：

定理1 在坐標系XOY下的函數(shù)y＝f（x）在［a，b］上滿足拉格朗日微分中值定理的條件，且不存在x0∈（a，b），使：

時，即曲線y＝f（x）在（a，b）內(nèi)無垂直于弦AB的切線，則坐標系xoy經(jīng)過旋轉(zhuǎn)α角后得到的新坐標系XOY，則函數(shù)y＝f（x）在新坐標系XOY下滿足羅爾定理的條件，可以證明拉格朗日微分中值定理的結(jié)論。

證明 函數(shù)y＝f（x）在［a，b］上滿足拉格朗日微分中值定理的條件，將xoy旋轉(zhuǎn)α角后，得到新坐標系XOY，有：

由式（6）所確定的函數(shù)在x∈［a，b］上顯然連續(xù)，且：

定理2 在坐標系xoy下的函數(shù)y＝f（x）在［a，b］上滿足拉格朗日微分中值定理的條件，且存在x0∈（a，b）使：

時，則坐標系xoy經(jīng)過旋轉(zhuǎn)α角后得到的新坐標系XOY，則函數(shù)y＝f（x）在新坐標系XOY下不滿足羅爾定理的條件，也可以通過坐標系旋轉(zhuǎn)來證明拉格朗日微分中值定理的結(jié)論。

證明 若函數(shù)y＝f（x）的圖形在點（x0，f（x0））處有垂直于弦AB的切線，即滿足：

可以過（x0，f（x0））作一條平行與弦AB的直線l：y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）交曲線y＝f（x）于x1≠x0處，不防設(shè)x1＜x0，則y＝f（x）在［x1，x0］上滿足定理1的條件，即可通過坐標系旋轉(zhuǎn)變換來證明存在

綜上所述，拉格朗日定理的證明，無論函數(shù)y＝f（x）在［a，b］上有無垂直于弦AB的的切線，均可以通過坐標系的旋轉(zhuǎn)變換來完成。

［1］同濟大學數(shù)學系 .高等數(shù)學［M］.第6版 .北京：高等教育出版社，2007.