巧用數(shù)學(xué)定義解題

◆薛韶霞 丁萬龍

(包頭輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

一、巧用函數(shù)定義解題

例1，函數(shù)y=f(x)的圖像與直線x=a(a∈R)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()。

(A)至少一個(gè)(B)至多一個(gè)(C)有且僅有一個(gè)(D)一個(gè)或兩個(gè)

解析:求圖像的交點(diǎn)一般是轉(zhuǎn)化為解方程組，問題是直線方程有了，而函數(shù)解析式未給出，方程列不出來，此路顯然不通。不過題目只是問題的個(gè)數(shù)而不必求出交點(diǎn)，看來解本題的關(guān)鍵就在“函數(shù)”這兩個(gè)字上了，由函數(shù)的定義知:若a在函數(shù)的定義域中，則有且僅有一個(gè)y值與a對應(yīng);若a不在函數(shù)的定義域中，則不存在y值與a對應(yīng)。換言之，題目的結(jié)果完全取決與a在不在函數(shù)的定義域內(nèi)，所以答案應(yīng)選擇B

二、巧用三角函數(shù)定義解題

對于含一個(gè)角的三角式的化簡求值及三角恒等式，三角不等式的證明，大家往往習(xí)慣于利用同角的三角函數(shù)間的關(guān)系式解決，實(shí)際上，利用三角函數(shù)的定義，將這類問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，有時(shí)會(huì)更加簡捷明了。

證明:由三角函數(shù)的定義，可得

二、巧用橢圓定義解題

例5，已知線段AB的長為4，點(diǎn)P到兩端點(diǎn)的距離之和是6，求點(diǎn)P到AB中點(diǎn)M的距離的極值。

若從距離入手，用余弦定理可以解得，但運(yùn)算較繁，易出差錯(cuò)，按橢圓的定義，即知點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)，M為中心，長軸長為6的橢圓上，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

綜上所述，巧用數(shù)學(xué)定義在數(shù)學(xué)解題過程中起著重要作用，只要基礎(chǔ)扎實(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)定義，就可以做到解題時(shí)得心應(yīng)手，迎刃而解。這也是運(yùn)用數(shù)學(xué)定義水平的較高表現(xiàn)。

［1］中學(xué)生語數(shù)外.新蕾出版社，2001.

［2］陳振宣，楊象富.數(shù)學(xué)解題方法大全.上海遠(yuǎn)東出版社.

［3］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2005.