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    論圓錐曲線中幾組有趣的姊妹圓

    2013-11-21 09:23:54廖星星
    新課程學(xué)習(xí)·中 2013年8期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓準(zhǔn)線平分線

    廖星星

    摘 要:圓錐曲線中一些動態(tài)定值問題的研究成果,不斷出現(xiàn)在各種報紙雜志上,并且一些性質(zhì)的應(yīng)用或探究還經(jīng)常出現(xiàn)在各種訓(xùn)練題、考試題中。

    關(guān)鍵詞:圓錐曲線;雙曲線;圓

    教學(xué)之余,筆者研究發(fā)現(xiàn)了與圓錐曲線為載體的幾組有趣姊妹圓的定值問題。

    現(xiàn)簡要介紹如下:

    性質(zhì)1:以圓錐曲線的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓M與圓錐曲線

    準(zhǔn)線L的位置關(guān)系。

    當(dāng)圓錐曲線是橢圓時,直線L與圓M相離;

    當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時,直線L與圓M相交;

    當(dāng)圓錐曲線是拋物線時,直線L與圓M相切。

    證明:設(shè)弦的端點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線L上的射影分別為A1、B1,AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線L上的射影為N,則圓M的半徑r=■AB,于是,MN=■AA1+BB1=■■+■=■·r

    當(dāng)曲線是橢圓時,0r,即圓M與準(zhǔn)線相離;

    當(dāng)曲線是雙曲線時,e>1,∴MN

    當(dāng)曲線是拋物線時,e=1,∴MN=r,即圓M與準(zhǔn)線相切。

    性質(zhì)2:已知圓錐曲線焦點(diǎn)弦AB的端點(diǎn)A、B在準(zhǔn)線L上的

    射影分別為A1B1,則以線段A1B1為直徑的圓M與直線AB的位置

    關(guān)系。

    當(dāng)圓錐曲線是橢圓時,圓M與直線AB相離;

    當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時,圓M與直線AB相交;

    當(dāng)圓錐曲線是拋物線時,圓M與直線AB相切。

    證明:作MN⊥AB于N,則S■=S■+S■+S■,由面積公式得■AA1+BB1·2r=■AA1·r+■BB1·r+■AB·MN,化簡得MN=■·r

    當(dāng)曲線是橢圓時,0r,圓M與準(zhǔn)線相離;當(dāng)曲線是雙曲線時,e>1,MN

    e=1,MN=r,圓M與準(zhǔn)線相切。

    性質(zhì)3:1.設(shè)橢圓■+■=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),圓M是△PF1F2的旁切圓(即圓M與F1F2、F1P的延長線和線段F2P都相切或圓M與F2F1、F2P和線段都相切),則圓心M的軌跡方程是x=a(y≠0)或x=-a(y≠0)。

    證明:設(shè)圓M與F1F2、F1P的延長線及線段F2P的切點(diǎn)分別為A、B、C,M(x,y),則F1C=F1A=x+c,F(xiàn)2A=x-c

    又F1C=F1P+PC=PF1+PB=PF1+PF2=2a-F2A

    ∴x+c=2a-(x-c),即x=a(y≠0)

    同理可證另一種情形。

    2.設(shè)雙曲線■-■=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若P是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),則△PF1F2的內(nèi)切圓M軌跡方程是x=a(y≠0);若P是雙曲線左支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),則△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=-a(y≠0);

    證明:設(shè)圓M與F1F2、F1P、F2P相切于點(diǎn)A、B、C,則當(dāng)P是雙曲線右支上時,PF1-PF2=2a?圯F1C-F2B=2a?圯F1A-F2A=2a。

    又F1A+F2A=2c,∴F1A=c+a,F(xiàn)2A=c-a,∴點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn),即△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=a(y≠0)

    當(dāng)P是雙曲線左支上時,同理可證△PF1F2的內(nèi)切圓心M軌跡方程是x=-a(y≠0);

    性質(zhì)4:1.設(shè)橢圓■+■=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),M是△PF1F2的內(nèi)切圓圓心,直線

    PM交直線F1F2于Q,則■=e,(e為橢圓離心率)

    證明:因?yàn)镸為△PF1F2內(nèi)心,所以F1M,F(xiàn)2M分別是∠PF1F2,∠PF2F1的角平分線,由角平分線性質(zhì)得■=■=■,于是■=■=■=e

    2.設(shè)雙曲線■-■=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),M為△PF1F2的旁切圓圓心,直線PM交直線F1F2于Q,則■=e(e為雙曲線離心率)

    證明:因?yàn)镸為△PF1F2的旁切圓圓心,所以F1M,F(xiàn)2M分別是

    ∠PF1Q,∠PF2Q的角平分線,由角平分線性質(zhì)得■=■=■,于是■=■=■=e

    略舉以下兩例應(yīng)用:

    例1.過雙曲線■-■=1的右焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線L交雙曲線于A、B兩點(diǎn),P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn),使∠APB=■的點(diǎn)P

    ( )

    A.不存在 B.有1個 C.有2個 D.有無數(shù)個

    解析:原問題就是判定以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線的交點(diǎn)個

    數(shù)。根據(jù)性質(zhì)1,以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相交,故滿足條件的P點(diǎn)有2個。

    例2.△ABC的頂點(diǎn)為A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )

    A.■-■=1 B.■-■=1

    C.■-■=1(x>3) D.■-■=1(x>4)

    解析:由性質(zhì)3.2知,頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上,否定答案A、B,又因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓心應(yīng)在直線x=a上,所以,a=3,故正確答案為C。

    (作者單位 湖北省宜昌市遠(yuǎn)安縣第一高級中學(xué))

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