例談數(shù)學(xué)教學(xué)中思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)

呂華義

數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，是在教師的主導(dǎo)作用下學(xué)生通過(guò)實(shí)踐認(rèn)識(shí)從而掌握知識(shí)，同時(shí)獲得能力的認(rèn)識(shí)

過(guò)程。

下面通過(guò)“直角三角形的性質(zhì)”一課時(shí)的教學(xué)，談?wù)勗鯓釉谡n堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。

第一步：復(fù)習(xí)舊知，設(shè)疑引趣

師：前面，我已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形，正因?yàn)榈妊切斡袃蓷l邊相等，所以它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還存在著自己特殊的性質(zhì)。如：等腰三角形兩底角相等，等腰三角形底邊中線(xiàn)、

高、頂角平分線(xiàn)互相重合。今天，我們將要研究另一種特殊的，但又是大家非常熟悉的圖形。

第二步：引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、猜想、發(fā)現(xiàn)、探索、推理

探索直角三角形的兩個(gè)性質(zhì)定理及兩個(gè)推論。

1.讓學(xué)生通過(guò)觀察直角三角形模型，聯(lián)想三角形內(nèi)角和定理、互為余角概念，推出直角三角形性質(zhì)定理1——在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。

2.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行作圖實(shí)驗(yàn)。①讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)直角三角形，利用尺規(guī)分別作斜邊上的中線(xiàn)和一條直角邊上的中線(xiàn)。②分別比較斜邊的中線(xiàn)與斜邊，直角邊上的中線(xiàn)與這條直角邊的大小。你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么猜想？③同位二人議論交流結(jié)果，并向全班匯報(bào)結(jié)果。通過(guò)學(xué)生的作圖、猜想、議論，發(fā)現(xiàn)“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”，而直角邊上的中線(xiàn)不具備這個(gè)特點(diǎn)。

（通過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手……誘發(fā)學(xué)生的認(rèn)識(shí)興趣。）

3.每個(gè)學(xué)生發(fā)一張“教學(xué)進(jìn)程表”讓學(xué)生按表上程序進(jìn)行探索、推理，“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊一半”這個(gè)定理。

（學(xué)生按教學(xué)進(jìn)程表上的程序獨(dú)立進(jìn)行工作，邊實(shí)驗(yàn)、邊探索、邊推理歸納小結(jié)。）

4.讓學(xué)生交流、議論、推理結(jié)果，并在全班匯報(bào)自己的推理結(jié)果。老師根據(jù)學(xué)生議論匯報(bào)的情況和在課堂巡視收集的各種存在的共性問(wèn)題進(jìn)行講評(píng)、小結(jié)。推出直角三角形的性質(zhì)定理2。

（在這個(gè)大環(huán)節(jié)中，既有練習(xí)，又有議論，還有小結(jié)，含有豐富的思維內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手和思索的習(xí)慣，使直覺(jué)思維得到發(fā)展。）

5.再引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)，讓同桌彼此合作，把兩個(gè)30°角的直角三角板交叉在一起，如圖1：讓學(xué)生觀察：

①重合部分的三角形是什么三角形？

②△A′OC′是什么三角形？為什么？

③OC′是Rt△A′B′C′是什么線(xiàn)？

為什么？從而你發(fā)現(xiàn)30°角所對(duì)的直角邊B′C′與斜邊A′B′有什么關(guān)系？你有什么猜想？

（啟發(fā)學(xué)生思維向輔助線(xiàn)的作法方面進(jìn)行發(fā)散。）

6.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在直角三角形中

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，并且思維順勢(shì)發(fā)散到作輔助線(xiàn)的方法是作斜邊上的中線(xiàn)時(shí)，讓學(xué)生繼續(xù)按教學(xué)進(jìn)程表上的程序進(jìn)行探索推理。

7.當(dāng)學(xué)生推出結(jié)論后再引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)，把兩個(gè)30°角三角板，如圖，拼好，讓學(xué)生觀察：①△ACC′是什么三角形？為什么？

②BC和CC′有什么關(guān)系？從而推出BC和AC有什么關(guān)系？由此你能聯(lián)想出還有其他作輔助線(xiàn)的方法也能推出這一結(jié)論嗎？

（讓學(xué)生不滿(mǎn)足已有思路，不停滯在思考成果上，而是始終處于渴求、聯(lián)想、自由發(fā)散的狀態(tài)。）

8.老師小結(jié)證明線(xiàn)段倍半關(guān)系常作的輔助線(xiàn)的規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生從不同角度觀察問(wèn)題的能力。

9.讓學(xué)生把推出的推論的題設(shè)和結(jié)論交換，然后考慮是否成立？繼續(xù)讓學(xué)生思考、議論、探索。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，很快推出“在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30°”的推論。

第三步：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)

1.直角三角形四個(gè)性質(zhì)（兩個(gè)定理，兩個(gè)推論）的共同特點(diǎn)：每個(gè)定理在使用時(shí)必須具備兩個(gè)條件，其中一個(gè)是直角的三角形。

2.在證題時(shí)遇到證明線(xiàn)段倍半關(guān)系，并且與斜邊有關(guān)時(shí)，常聯(lián)想定理2。在證題中遇到特殊角30°、60°等常聯(lián)想推論1、推論2

及考慮30°角的直角三角形的性質(zhì)。

（通過(guò)總結(jié)把學(xué)生的思維引向新的高度。）

這樣安排教學(xué)過(guò)程，有利于把教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中給予學(xué)生的思維負(fù)荷量，通過(guò)學(xué)生的眼、耳、口、手、腦五官齊動(dòng)，充分地轉(zhuǎn)化為學(xué)生的實(shí)際思維活動(dòng)量。

（作者單位 江西省廣豐縣蘆林學(xué)校）