指數(shù)有界雙參數(shù)C半群的逼近

岳 田，宋曉秋

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國 徐州 221116)

自Hille[1]首先提出算子半群理論以來，其理論得到不斷豐富和發(fā)展．尤其是近年來，受一些具體問題如具有非稠定算子的抽象Cauchy 問題的激發(fā)，已有10余種算子半群或算子族相繼被國內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛關(guān)注，并取得了一系列成果[2-11]．其中對于算子半群逼近問題的討論，有力地推動了大量實(shí)際問題的研究，如在平面上的Markov擴(kuò)散過程，人類學(xué)中的人口發(fā)展問題，物理學(xué)中的中子遷移系統(tǒng)漸近狀態(tài)的研究等方面顯示出較好的實(shí)際意義．

眾所周知，經(jīng)典的單參數(shù)算子半群理論已日益完善，并得到了廣泛應(yīng)用．與其相比，雙參數(shù)半群理論研究進(jìn)展緩慢，還有許多不完善之處，近些年來，已有一些學(xué)者對其進(jìn)行了初步研究．如文獻(xiàn)[5]給出了雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù)算子半群的定義及其與生成元之間關(guān)系的若干性質(zhì)；文獻(xiàn)[6]給出了雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù)算子半群的預(yù)解式的系列性質(zhì)；文獻(xiàn)[7]介紹了雙參數(shù)強(qiáng)連續(xù)算子半群的收斂性問題；文獻(xiàn)[8]對雙參數(shù)C半群的基本性質(zhì)及Cauchy問題進(jìn)行了討論．本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合單參數(shù)C半群的相關(guān)理論，討論了指數(shù)有界的雙參數(shù)C半群的逼近定理．

1 定義及相關(guān)引理

在本文中，設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間，L(X)表示所有從X到自身的線性算子的全體，記B(X)為X上一切有界線性算子構(gòu)成的Banach代數(shù)．設(shè)A為X中的線性算子，D(A) ，R(A) ，R(λ,A) 分別表示定義域，值域及預(yù)解式．算子C∈B(X)為單射，記ρC(A)為A的C預(yù)解集，其中ρC(A)={λ:λ-A為單射且R(C)?R(λ-A)}. (λ-A)-1C為A的C預(yù)解式，R+2表示二維非負(fù)實(shí)數(shù)空間．

定義1[8]若雙參數(shù)算子族{T(s,t)}s,t≥0?B(X)滿足：

1)T(0,0)=C；

2)T(s+s′,t+t′)C=T(s,t)T(s′,t′),?s,s′,t,t′≥0；

則稱其為X上的雙參數(shù)C半群.

進(jìn)一步地，若存在M≥‖C‖，ω∈R,使得對?s,t≥0，有‖T(s,t)‖≤Meω(s+t)，則稱雙參數(shù)C半群{T(s,t)}s,t≥0為指數(shù)有界的雙參數(shù)C半群．

對任意的s,t≥0 ，由定義1中性質(zhì)2)可得

T(s,t)C=T(s,0)T(0,t)=T(0,t)T(s,0),T(s,0)C=CT(s,0),T(0,t)C=CT(0,t)，

這意味著{T(s,0)}s≥0和{T(0,t)}t≥0是2個可交換單參數(shù)C半群．對此，不妨設(shè)A1和A2分別是單參數(shù)C半群{T(s,0)}s≥0和{T(0,t)}t≥0的無窮小生成元，那么

這里，

定義2雙參數(shù)C半群{T(s,t)}s,t≥0的無窮小生成元A定義如下：

引理1雙參數(shù)C半群{T(s,t)}s,t≥0的無窮小生成元是線性變換L:R+2→L(X) ，其定義為L(a,b)x=(A1,A2)(a,b)Tx=aA1x+bA2x,?x∈X,(a,b)∈R+2．這里，算子A1和A2分別是單參數(shù)C半群{T(s,0)}s≥0和{T(0,t)}t≥0的無窮小生成元．

證類似文獻(xiàn)[5]中定理2.3．

證設(shè)‖T(t)‖≤Meωt，其中ω≥0 ，A是T(t)的無窮小生成元．因?yàn)閷γ恳籬>0，A(h)有界，故etA(h)是可定義的．而且由于A(h)與T(t)可交換， etA(h)和T(t)亦是如此．又

因此對于0

所以對于0

tM2exp{t(eω+ω-1)}‖Ax-A(h)x‖.

2 主要結(jié)論

證因?yàn)閷γ恳籬>0 ，A1(h)和A2(h)均是有界的，故esA1(h)和etA2(h)是有意義的，且二者是可交換的．則對?x∈X有

‖C2esA1(h)etA2(h)x-CT(s,t)x‖=‖C2esA1(h)etA2(h)x-T(s,0)T(0,t)x‖≤

‖C2esA1(h)etA2(h)x-T(s,0)CetA2(h)x‖+‖T(s,0)CetA2(h)x-T(s,0)T(0,t)x‖≤

‖CetA2(h)‖‖CesA1(h)x-T(s,0)x‖+‖T(s,0)‖‖CetA2(h)x-T(0,t)x‖.

又因?yàn)锳1(h)和A2(h)是有界可交換的，故esA1(h)etA2(h)=esA1(h)+tA2(h),?h>0.進(jìn)而有

且上述極限在s,t的任何有限區(qū)間上的收斂是一致的．

即

定理3設(shè)(A1，A2)，(B1，B2)分別是雙參數(shù)C半群{T(s,t)}s,t≥0和{S(s,t)}s,t≥0的無窮小生成元，若

1)對于s≥0,有‖T(s,0)‖≤M1eω1s,‖S(s,0)‖≤M1eω1s;

2)對于s≥0,x∈X,有T(s,0)S(s,0)=S(s,0)T(s,0).

證當(dāng)x∈D(A1)∩D(B1)時，此時可將雙參數(shù)C半群T(s,0),S(s,0)視為單參數(shù)C半群．則如下等式成立：

上式兩端從0到s積分可得

則有

1)對于s,t≥0,有‖T(s,0)‖≤M1eω1t,‖Tp(s,0)‖≤M1eω1t;

2)對于s,t≥0,有‖T(0,t)‖≤M2eω2t,‖Tq(0,t)‖≤M2eω2t;

3)D(A1)?D(Ap),D(A2)?D(Aq)(p,q∈N);

4)對于s,t≥0,有T(s,0)Tp(s,0)=Tp(s,0)T(s,0),T(0,t)Tq(0,t)=Tq(0,t)T(0,t);

證當(dāng)x∈D(A1)∩D(Ap)，且0≤s≤T時,可將雙參數(shù)C半群Tp(s,0),T(s,0)視為單參數(shù)C半群．從而由定理3可得

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