帶p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問(wèn)題解的存在性

程玲玲 ，劉文斌，葉晴晴

(1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 徐州 221008；2.南京理工大學(xué)理學(xué)院，中國(guó) 南京 210094)

分?jǐn)?shù)階微分方程有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，無(wú)論在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)、信號(hào)學(xué)等科學(xué)和工程領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用．許多學(xué)者都投身于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究，其中包括對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程(系統(tǒng))的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[1～8]，耦合系統(tǒng)就是其中一類．耦合關(guān)系是指兩個(gè)具有相近相通，又相差相異的系統(tǒng)，不僅有靜態(tài)的相似性，也有動(dòng)態(tài)的互動(dòng)性．它們之間的相互作用，相互影響，是研究的主要方面．蘇新衛(wèi)在文獻(xiàn)[1～2]中分別討論了分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)的邊值問(wèn)題解的存在性．

文獻(xiàn)[1]中研究了

文獻(xiàn)[2]中研究了

的解的存在性，其中1<α,β≤2,u,v>0,α-v≥1,β-u≥1，f,g:[0,1]×R×R→R是連續(xù)的，D表示Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)．

本文在文獻(xiàn)[1～2]的基礎(chǔ)上主要研究了下面帶有p-Laplace算子分?jǐn)?shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問(wèn)題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]連續(xù)函數(shù)u(t):R+→R的α次Riemann-Liouville型積分為

其中α>0．

定義2[1]連續(xù)函數(shù)u(t):R+→R的α次Caputo型微分為

其中α>0，n=[α]+1．

引理2[10]設(shè)U為Banach空間X的一個(gè)有界閉凸子集，如果T：U→U為全連續(xù)算子，那么T在U內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

引理3[11]φp(s)有如下性質(zhì)

也可表示成φp(s+t)≤2p-1(φp(s)+φp(t)),p>1,s,t>0．

2 主要結(jié)果

在給出主要定理之前先給出兩個(gè)引理．

引理4設(shè)g(t)∈C[0,1],1<α≤2，則

(2)

(3)

為(2)的格林函數(shù)．

(4)

引理5微分方程系統(tǒng)(1)等價(jià)于積分方程系統(tǒng)

證由引理4可以直接得到，證明略．

設(shè)(u,v)∈X×X，根據(jù)引理5定義算子T如下

(T1v(t),T2u(t)).

易知，若算子T存在不動(dòng)點(diǎn)則邊值問(wèn)題(1)有解．

下面給出本文主要定理．

定理1設(shè)f,g:[0,1]×R→R為連續(xù)函數(shù)，滿足以下條件

(H1) 存在非負(fù)函數(shù)ai(t),bi(t)∈C[0,1],i=1,2,3和非負(fù)連續(xù)函數(shù)hj(x),kj(x):R→R,j=1,2，使得|f(t,x)|≤a1(t)+a2(t)h1(x)+a3(t)h2(x),|g(t,x)|≤b1(t)+b2(t)k1(x)+b3(t)k2(x)成立；

下面證明T:U→U，設(shè)(u,v)∈U，應(yīng)用條件(H1)及引理3得

同理可推得|T2v(t)|

下證T是等度連續(xù)的，對(duì)任意的(u,v)∈U，注意到f,g有界，設(shè)

同理可推得|T2u(t1)-T2u(t2)|<ε.所以TU是等度連續(xù)的，同時(shí)又是一致有界的，由Arzela-Ascoli定理可得T是全連續(xù)算子，應(yīng)用引理2知T存在不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)而問(wèn)題(1)存在解．

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