F2上二階線性半群到域K上二階線性半群的同態(tài)

朱　捷,　劉　瑩,　杜廣環(huán)

(黑龍江科技大學 理學院, 哈爾濱 150022)

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F2上二階線性半群到域K上二階線性半群的同態(tài)

朱捷,劉瑩,杜廣環(huán)

(黑龍江科技大學 理學院, 哈爾濱 150022)

為探討二階線性半群間的同態(tài)問題,在引進標準型、延斷型、平凡型概念的基礎(chǔ)上,通過矩陣計算與群的定義關(guān)系,描述了二元域F2上的線性半群M2(F2)到任意域K上的線性半群M2(K)的同態(tài)形式。進而為描繪F2上的線性半群Mn(F2)到任意域K上的線性半群Mm(K)(n≥m)的同態(tài)形式,奠定了堅實的基礎(chǔ)。

域; 線性群; 線性半群; 延斷; 同態(tài)

0　引　言

線性半群同態(tài)近年來引起許多學者關(guān)注,已成為矩陣代數(shù)中重要的研究課題[1-7]。筆者描繪了F2上的n階線性群到域K上的m階線性群(n=m=2,n=m≥3,n>m)的同態(tài)形式[1-3],從而完全描述了二元域F2上一般線性群的同態(tài)形式。但關(guān)于矩陣半群同態(tài)的描繪并不多[4-7],因此,筆者使用矩陣計算與群的定義關(guān)系,結(jié)合文獻[1-3]中已有的一般線性群結(jié)果,通過引入標準型、延斷型、平凡型、特殊型的概念,描述M2(F2)到M2(K)的線性半群同態(tài)形式(僅保持乘法未必保單位矩陣的映射)。

1　基礎(chǔ)知識

設(shè)K為域,n∈Z+,SLn(K)、GLn(K)、Mn(K)分別表示K上的n階特殊線性群、一般線性群、線性半群。以F2表示僅含兩個元素的域。Tij(λ)(i≠j,λ∈K*)為將n級單位矩陣中(i,j)位置的元素易之以λ所得到的矩陣,其Tij(1)簡寫為Tij。對于X∈Mn(K),記iPX=P-1XP,其中P∈GLn(K)。

由文獻[1-3,8]可知,下述映射φ是M2(F2)到M2(K)的半群同態(tài)(僅保持乘法,未必保單位矩陣)(n≥m)。

(Ⅰ)標準型

(1)φ(X)=PXτP-1,?X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),τ:F2→K為嵌入。

(2)φ(X)=P(X*τ)′P-1,?X∈Mn(F2),其中P∈GLm(K),X*為X的伴隨矩陣,τ同(1)。

(Ⅱ)延斷型

設(shè)φ1:GLn(F2)→GLm(K)為非平凡同態(tài),則稱下列映射φ為φ1在Mn(F2)到Mm(K)的延斷。

(Ⅲ)平凡型

設(shè)r,s∈{0,1,…,m},r≤s,P∈GLm(K),置

其中,對于任意n,m∈Z+,任意域K,稱其為平凡同態(tài),并以In,s,r表之。

(Ⅴ)特殊型

設(shè)ChK≠2,φ:M2(F2)→M2(K),

易證,φ為同態(tài)。

2　主要結(jié)果

定理1[1]設(shè)K為域,

(1)B∈GL2(K),B2=I2,則下列映射是GL2(F2)到GL2(K)的同態(tài)

φ(X1)=B,φ(X2)=I2,

其中X1,X2分別為GL2(F2)的任意2階元與3階元。

(2)若ChK≠2,b,c∈K,bc=3/4,則下述映射φ是GL2(F2)到GL2(K)的同態(tài),且具有下述形式：

φ(I2)=I2。

定理2[1]設(shè)K為域,φ:GL2(F2)→GL2(K)為群同態(tài),則φ為非平凡的當且僅當φ為下述三種形式之一：

(1)?P∈GL2(K),嵌入τ:F2→K,使

φ(X)=PXτP-1, ?X∈GL2(F2)。

(2)存在GL2(K)的2階元B,使

φ(X1)=B,φ(X2)=I2，

其中X1,X2分別為GL2(F2)的任意2階元與3階元。

(3)ChK≠2,?P∈GL2(K),使iPφ適合定理1中φ確定的形式。

定理3設(shè)φ:M2(F2)→M2(K)為半群同態(tài),則

(1)φ=I2,2,2,I2,2,1,I2,2,0,I2,1,1,I2,1,0,I2,0,0。

(2)當ChK=2時,φ為標準型或標準型延斷,或者為下述φ1的延斷:

φ1(X)=PT12(1)P-1,φ1(Y)=I2。

其中X∈GL2(F2)為任意2階元,Y=I2或為3階元,P∈GL2(K)。

(3)當ChK≠2時,φ為下述φ1,φ2,φ3之一的延斷,其中

φ1(X)=-I2,φ1(Y)=I2,

φ2(X)=P[1,-1]P-1,φ2(Y)=I2,

φ3(X)=P[-1,0]P-1,φ3(Y)=P[1,0]P-1。

其中，X∈GL2(F2)為任意2階元,Y∈GL2(F2)為任意3階元。

(4)φ為特殊型。

iPφ(I2)=[1,0]。

(1)

當(4)成立時,φ誘導出GL2(F2)→GL2(K)的解同態(tài)。由定理2,有下述4種形式:

(i)φ:X→I2,?X∈GL2(F2)。

(ii)存在P∈GL2(K),嵌入τ:F2→K,使

φ(X)=P-1XτP-1,?X∈GL2(F2)。

(iii)存在P∈GL2(K),使

(iv)ChK≠2,存在P∈GL2(K),使得

iPφ(T12(1))=[1,-1],

當X≠O時,有T1,T2∈GL2(F2),使X=T1E11T2,推出iPφ(X)=iPφ(E11)。

從而φ=I2,2,2,I2,2,1或I2,2,0。

如果(ii)成立,即iPφ(X)=Xτ,?X∈GL2(F2)。經(jīng)

(2)

推出

從而φ為標準型。

若iPφ(E11)=O,不難指出,φ為標準型的延斷。

如果(iii)成立,當ChK=2時,對于任意的二階元X,有iPφ(X)=T12(1)。經(jīng)式(2)計算,可知

iPφ(X)=O, ?X∈M2(F2)GL2(F2)。

即φ為延斷。

當ChK≠2時,若iPφ(T12(1))=[1,-1],經(jīng)式(2)可知iPφ(E11)=aE11,a=0或1。

對于a=0,易見φ為延斷。對于a=1,不難指出iPφ為特殊型。

若iPφ(T12(1))=-I2,即φ(T12(1))=-I2,經(jīng)式(2)推出φ(E11)=O,易見φ為延斷。

當式(1)成立時,經(jīng)T12∈GL2(F2)為二階元,可知存在iPφT12(1)=[1,0]或[-1,0],由此不難指出

iPφ(X)=[1,0], ?X∈GL2(F2)。

(3)

或者當ChK≠2時,

iPφ(X)=[-1,0],iPφ(Y)=[1,0]。

(4)

其中X∈GL2(F2)為任意2階元,Y=I2或為3階元。

當式(3)發(fā)生時,經(jīng)式(2)可推出iPφ(E11)=E11或O,因而φ=I2,1,1或I2,1,0。

當式(4)發(fā)生時,經(jīng)式(2)不難指出φ為延斷。證畢。

[1]朱捷, 張曉光, 母麗華.F2上線性群GL2(F2)到域K上線性群GL2(K)的同態(tài)[J]. 黑龍科技學院學報, 2004, 14(4): 255-256.

[2]朱捷. 二源域上一般線性群到任意域上線性群的同態(tài)[J]. 吉林大學學報: 理學版, 2005, 43(3): 268-274.

[3]朱捷, 母麗華, 王佳秋.F2上的n階線性群到域K的m階線性群的同態(tài)[J]. 哈爾濱商業(yè)大學學報: 自然科學版, 2005, 21(3): 340-341.

[4]朱用文, 郭愛麗. 帶數(shù)乘的矩陣半群[J]. 數(shù)學學報: 中文版, 2010, 53(6): 1181-1186.

[5]左落粟, 朱用文. 矩陣單逆半群[J]. 吉林大學學報: 理學版, 2010, 48(5): 733-736.

[6]朱用文, 陳大亮. 交換矩陣半群的可約性[J]. 數(shù)學學報: 中文版, 2010, 53(5): 905-910.

[7]朱用文. 正則矩陣半群[J]. 數(shù)學進展, 2009, 38(1): 75-78.

[8]華羅庚, 萬哲先. 典型群[M]. 上海: 上?？茖W技術(shù)出版社, 1963.

(編輯王冬)

Homomorphism ofF2’s second-order linear semigroup to fieldK’s second-order linear semigroup

ZHUJie,LIUYing,DUGuanghuan

(School of Sciences, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

Aimed at discussing the problem of homomorphism of second order linear semigroup, this paper draws on the concept of the standard type, extension-cut type, ordinary type, the methods of the matrix calculation, and defining relation of group to describe all homomorphism of the general linear semigroupM2(F2) on theF2to the general linear semigroupMm(K) on the fieldK. The discussion serves as a basis for the homomorphism form of the linear semigroupM2(F2) on theF2to the linear semigroupM2(K)(n≥m) on the any fieldKas well.

field; linear group; linear semigroup; extension-cut; homomorphism

2013-04-22

黑龍江省教育廳科學技術(shù)研究項目(12511483)

朱捷(1964-),女,黑龍江省哈爾濱人,教授,博士,研究方向:典型群,E-mail:zhujie6411@163.com。

10.3969/j.issn.1671-0118.2013.03.021

O152.3

1671-0118(2013)03-0311-03

A