關于容斥原理在勒貝格積分中的應用及推廣*

唐大釗，雷 橋

(重慶師范大學 數學學院，重慶401331)

黎曼將柯西只對連續(xù)函數定義的積分概念擴張成現在黎曼積分(即R積分)，從而擴大了積分的應用范圍.但是即使在有界函數范圍內，R積分還是存在著很大的缺陷.而勒貝格積分基于可列可加的測度，從很大程度上擺脫了R積分的困境，大大擴充了可積函數的范圍;而可測函數的一些基本性質，則是建立勒貝格積分的基礎.容斥原理是組合計數的基本方法，

基本思想是:先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重復，受此啟發(fā)，將容斥原理推廣到可測函數中，就得到了一些新的結論.

1 相關性質

定義1［1］設E?Rq為可測集，φ(x)為E上的一個非負簡單函數，即E表示有限個互不相交的可測集E1，E2，…，Ek之并，而在每個Ei上 φ(x)取非負常數值ci，即 φ(x)=)，這里 χEi(x)是 Ei上的特征函數;φ(x)在E上的勒貝格積分(簡稱L積分)，定義為x)d x=

設A?E為可測子集，φ(x)在A上的勒貝格積分定義為φ在A上的限制在A上的勒貝格積分，于是

定理1［2］設E∈Rq為可測集，φ(x)為E上的一個非負簡單函數.設A和B是E的兩個不相交的可測子集，則:

定理2［3］設S是有窮集，P1，P2，…，Pm是m個性質.S中任何一個元素x對于性質Pi(i=1，2，…，m)具有或不具有，兩者必居其一.令Ai表示S中具有性質Pi的元素構成的子集.那么，S中不具有性質P1，P2，…和Pm的元素數是:

證明 等式左邊是S中不具有性質P1，P2，…，Pm的元素數.將要證明，對S的任何一個元素x，如果x不具有性質P1，P2，…，Pm，則對等式右邊的貢獻為1;如果x至少具有其中的一條性質，則對等式右邊的貢獻為0.

設 x 不具有性質 P1，P2，…，Pm，所以 x?Ai，i=1，2，…，m.令 T={1，2，…，m}.對 T 的所有2 － 組合(i，j)都有 x?Ai∩Aj，對 T 的所有 3 － 組合(i，j，k)都有 x?Ai∩Aj∩Ak，…，直到 x?A1∩A2∩…∩Am.但 x∈S，所以它對等式右邊的貢獻是1－0+0－0+…+(－1)m0=1.

2 結論

推論1 設E∈Rq為可測集，φ(x)為E上的一個非負簡單函數.設A和B是E的兩個可測子集，則:

推論2 設E∈Rq為可測集，φ(x)為E上的一個非負簡單函數.設A，B和C是E 3個可測子集，則有:

證明 由于A∪B∪C=A∪(B－A)∪(C－(A∪B))，且A，B－A，C－(A∪B)是E的3個互不相交的可測子集，因而反復應用定理1可知:

將推論中可測集合的個數推廣到n個的情形，再結合定理2得出以下推論.

由非負簡單函數與非負可測函數、一般可測函數的關系，可以得到如下推論.

［1］程其襄，張奠宙.實變函數與泛函分析基礎［M］.3版.北京:高等教育出版社，2010

［2］周民強.實變函數論［M］.北京:北京大學出版社，2012

［3］屈婉玲.組合數學［M］.北京:北京大學出版社，2010