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    兩個(gè)保序變換半群之間的同態(tài)

    2013-10-28 06:34:23高京南楊秀良
    關(guān)鍵詞:保序同態(tài)師范大學(xué)

    高京南,楊秀良

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

    兩個(gè)保序變換半群之間的同態(tài)

    高京南,楊秀良

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院, 浙江 杭州 310036)

    設(shè)On和IOn分別是集合Xn={1,2,…,n}上的保序變換半群和部分保序單變換半群.在此刻畫了IOn到On的所有同態(tài),On到IOn的所有同態(tài).

    同態(tài);同態(tài)核;同余

    1 引言和預(yù)備知識(shí)

    令Xn={1,2,…,n},集合Xn上所有保序變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn的保序變換半群,記作On;Xn上的所有保序部分單變換在復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成的半群稱為Xn的保序部分單變換半群,記作IOn.它們的許多性質(zhì)已經(jīng)被前人研究[1-8].特別的,On的自同態(tài)已被V.H.Fernandes等人在[1]中研究出來,IOn的自同態(tài)已被作者在[2]中研究出來.在此筆者將進(jìn)一步研究On和IOn之間的同態(tài).

    本文的映射是右映射.令S,T為兩個(gè)半群,φ:S→T為映射.若對(duì)任意的x,y∈S,都有(x)φ(y)φ=(xy)φ,則稱φ為同態(tài).由[3]知,On,IOn均為正則半群.

    由[1],[4]知,On,IOn上的格林關(guān)系都為

    αβ當(dāng)且僅當(dāng)im(α)=im(β);

    2 主要結(jié)果

    在本文中得到下面兩個(gè)結(jié)果:

    定理1令φ:IOn→On為任一映射,φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ是下面之一:

    (1)存在冪等元e,f∈E(On),其中e≠f且ef=fe=f,有(1n)φ=e,(IOn{1n})φ=f;

    (2)選取e∈E(On),對(duì)任意的α∈IOn,都有(α)φ=e.

    定理2令φ:On→IOn為任一映射,φ是同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)φ是下面之一:

    (1)存在冪等元e,f∈E(IOn),其中e≠f且ef=fe=f,有(1n)φ=e,(On{1n})φ=f;

    (2)選取e∈E(IOn),對(duì)任意的α∈On,都有(α)φ=e.

    3 定理1的證明

    顯然定理1中的(1),(2)均為同態(tài).故只需證明除了(1),(2)外沒有別的同態(tài).

    f≠f·d=(f)φ·d=(f·(d)φ-1)φ=f,

    矛盾,因此l

    (g)φ·f=(g)φ·(f)φ=(gf)φ=f=(fg)φ=(f)φ·(g)φ=f·(g)φ,

    故有r(f)

    im((δi)φ)∩im((δj)φ)=im(f) (i≠j).

    綜上所述,IOn到On的同態(tài)只有(1),(2)兩種.

    4 定理2的證明

    保序變換半群On到保序部分單變換半群IOn的同態(tài)討論類似IOn到On的同態(tài).類似的,在On中有

    引理3和引理4的證明類似引理1和引理2的證明.

    im((εi)φ)∩im((εj)φ)=im(f′) (i≠j).

    [1] Fernandes V H, Jesus M M, Maltcev V,etal. Endomorphisms of semigroups of order-preserving mappings[J]. Semigroup Forum,2010,81:277-285.

    [2] 高京南,楊秀良.保序部分單變換半群的自同態(tài)[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013(3):220-222.

    [3] Ganyushkin O, Mazorchuk V. Introduction to classical finite transformation semigroup[M]. London: Springer Verlag,2009.

    [4] Ganyushkin O, Mazorchuk V. On the structure ofIOn[J]. Semigroup Forum, 2003, 66: 455-483.

    [5] Fernandes V H. The monoid of all injective order preserving partial transformations on a finite chain[J]. Semigroup Forum, 2001, 62: 178-204.

    [6] Aizenstat A J. Homomorphisms of semigroups of endomorphisms of ordered sets[J]. Uch Zap Leningr Gos Pedagog Inst,1962:238,38-48.

    [7] Howie J M. Fundamentals of semigroup theory[M]. New York: Oxford University Press, 1995.

    [8] Timothy L, Andrew S. The endomorphisms of a finite chain form a Rees congruence semigroup[J]. Semigroup Forum, 1999,59: 167-170.

    HomorphismsofTwoOrder-preservingTransformationSemigroups

    GAO Jingnan, YANG Xiuliang

    (College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

    OnandIOnare the order-preserving transformation semigroup and partial order-preserving single transformation semigroup onXn={1,2,…,n} respectively. This paper described all homorphisms fromIOntoOnand the homorphisms fromOntoIOn.

    homorphism; kernel; congruence

    2012-12-02

    楊秀良(1963—),男,教授,博士,主要從事半群代數(shù)研究.E-mail:yxl@hznu.edu.cn

    10.3969/j.issn.1674-232X.2013.05.007

    O152.7MSC201043A22

    A

    1674-232X(2013)05-0418-04

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