三重復(fù)合修正的Ishikawa迭代序列強(qiáng)收斂性*

羅紅平, 王元恒

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

三重復(fù)合修正的Ishikawa迭代序列強(qiáng)收斂性*

羅紅平, 王元恒

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

在具有一致Gateaux可微范數(shù)的實(shí)Banach空間中引進(jìn)了一個(gè)新的關(guān)于非擴(kuò)張映像三重復(fù)合修正的 Ishikawa迭代序列,并證明了該序列在一定條件下的強(qiáng)收斂性.所得結(jié)果改進(jìn)和推廣了相應(yīng)結(jié)果.

一致Gateaux可微范數(shù);非擴(kuò)張映像;三重復(fù)合修正的Ishikawa迭代;強(qiáng)收斂性

0 引 言

非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)理論和算法是非線性泛函分析理論及應(yīng)用中的一個(gè)重要課題,歷來(lái)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注,并得到了許多結(jié)果[1-6].2005年,Kim等[1]提出了如下修正的Mann迭代逼近非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題:

2007年,姚永紅等[7]又提出了如下一個(gè)新的Mann-Halpern混合迭代算法:

并證明了在具有一致可微的實(shí)Banach空間中,序列{xn}在一定條件下強(qiáng)收斂到非擴(kuò)張映像的某一不動(dòng)點(diǎn).2009年,宣渭峰等[8]提出了一個(gè)雙復(fù)合修正的Ishikawa迭代算法

并證明了在一定條件下,序列{xn}強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn).2011年,傅湧[9]在Hilbert空間中給出了非擴(kuò)張映射Noor混合迭代序列,并且給出了該迭代序列強(qiáng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條件和弱收斂于不動(dòng)點(diǎn)的充分條件.

本文則在文獻(xiàn)[7-9]的基礎(chǔ)上,在一致Gateaux范數(shù)可微的實(shí)Banach空間中,引入如下三重復(fù)合修正的Ishikawa迭代算法:

式(4)中,{αn},{βn},{γn},{α′n},{β′n},{γ′n},{α"n},{β"n},{γ"n}是[0,1]中的數(shù)列.并證明了當(dāng)這些序列滿足適當(dāng)條件時(shí)的強(qiáng)收斂性,其結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[7-9]的相關(guān)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一實(shí)Banach空間,C是X中的一閉凸子集.若對(duì)任給的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,則稱映像T:C→C為非擴(kuò)張的.用F(T)表示T的不動(dòng)點(diǎn)集.

設(shè)X*是Banach空間X的對(duì)偶空間，J:X→2X*是由下式定義的正規(guī)對(duì)偶映像：

J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖2,‖x‖=‖f‖},x∈X.

ρx(t)=sup{(‖x+y‖+‖x-y‖)/2 - 1:‖x‖=1,‖y‖=t}.

引理1[10]設(shè)E是實(shí)Banach空間,J:E→2E*是正規(guī)對(duì)偶映像，則對(duì)?xy∈E及對(duì)?j(x+y)∈J(x+y),有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉.

引理2[11]設(shè){xn},{yn}是Banach空間中的有界序列,xn+1=(1-βn)yn+βnxn,?n≥0, 其中系數(shù){βn}是[0,1]中的序列.若{xn},{yn}及{βn}滿足:

引理3[12]設(shè){αn}是一非負(fù)實(shí)數(shù)列，使得αn+1≤(1-γn)αn+δn,n≥0,其中{γn}是(0,1)中的一數(shù)列,{δn}是R中的一數(shù)列,滿足

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)C是具有一致Gateaux可微范數(shù)的實(shí)Banach空間X中的非空閉凸子集,T:C→C是具有非空不動(dòng)點(diǎn)集F(T)的非擴(kuò)張映像.設(shè)u,x0均為C中任給的點(diǎn),當(dāng)t→0時(shí),vt強(qiáng)收斂到T中的不動(dòng)點(diǎn),其中vt是滿足vt=tu+(1-t)Tvt的唯一確定元.并設(shè){αn},{βn},{γn},{α′n},{β′n},{γ′n},{α"n},{β"n},{γ"n}是[0,1]中的實(shí)數(shù)列,且滿足以下條件：

證明 第1步證明{xn}有界.取p∈F(T),則

‖zn-p‖=‖α"nu+β"nxn+γ"nTxn-p‖≤α"n‖u-p‖+β"n‖xn-p‖+γ"n‖Txn-p‖≤

α"n‖u-p‖+(β"n+γ"n)‖xn-p‖;

(5)

‖yn-p‖=‖α′nu+β′nxn+γ′nTzn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′n‖Tzn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′n‖zn-p‖≤

α′n‖u-p‖+β′n‖xn-p‖+γ′nα"n‖u-p‖+(γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-p‖=

(α′n+γ′nα"n)‖u-p‖+(β′n+γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-p‖;

(6)

‖xn+1-p‖=‖αnu+βnxn+γnyn-p‖≤

αn‖u-p‖+βn‖xn-p‖+γn‖yn-p‖≤

αn‖u-p‖+βn‖xn-p‖+(γnα′n+γnγ′nα"n)‖u-p‖+(γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)‖xn-p‖=

(αn+γnα′n+γnγ′nα"n)‖u-p‖+(βn+γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)‖xn-p‖≤

(αn+γnα′n+γnγ′nα"n+βn+γnβ′n+γnγ′nβ"n+γnγ′nγ"n)max{‖u-p‖,‖xn-p‖}=

max{‖u-p‖,‖xn-p‖}.

(7)

由式(7)及歸納法可得‖xn-p‖≤max{‖x0-p‖,‖u-p‖},故{xn}是有界的，同時(shí){yn},{zn},{Txn}也是有界的.

‖zn+1-zn‖=‖α"n+1u+β"n+1xn+1+γ"nTxn+1-α"nu-β"nxn-γ"nTxn‖≤

|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+β"n‖xn+1-xn‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖+γ"n‖Txn+1-Txn‖≤

|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖+‖xn+1-xn‖=

an+‖xn+1-xn‖.

其中,an=|α"n+1-α"n|‖u‖+|β"n+1-β"n|‖xn+1‖+|γ"n+1-γ"n|‖Txn+1‖.由條件4)得

|γ"n+1-γ"n|=|(1-β"n+1-α"n+1)-(1-β"n-α"n)|≤|β"n+1-β"n|+|α"n+1-α"n|,

設(shè)λn=βn+γnα′n,定義序列{ln}滿足xn+1=λnxn+(1-λn)ln，有

因此,

‖xn-Txn‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn+1-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+αn‖u-Txn‖+βn‖xn-Txn‖+γn‖yn-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+αn‖u-Txn‖+βn‖xn-Txn‖+γnα′n‖u-Txn‖+

γnβ′n‖xn-Txn‖+γnγ′n‖Tzn-Txn‖≤

‖xn+1-xn‖+(αn+γnα′n)‖u-Txn‖+(βn+γnβ′n)‖xn-Txn‖+γn‖zn-xn‖≤

‖xn+1-xn‖+(αn+γnα′n)‖u-Txn‖+(βn+γnβ′n+γnγ′nγ"n)‖xn-Txn‖+γnγ′nα"n‖u-xn‖,所以

‖xn-Txn‖=0.

vn-xn=tn(u-xn)+(1-tn)(Tvn-xn).

由引理1得

‖vn-xn‖2≤(1-tn)2‖Tvn-xn‖2+2tn〈u-xn,j(vn-xn)〉≤

(1-tn)2(‖Tvn-Txn‖+‖Txn-xn‖)2+2tn〈u-vn,j(vn-xn)〉+2tn‖vn-xn‖2≤

(1-tn)2‖vn-xn‖2+(1-tn)2‖Txn-xn‖(2‖Tvn-Txn‖+‖Txn-xn‖)+2tn‖vn-xn‖2=

(1-tn)2‖vn-xn‖2+2tn‖vn-xn‖2+bn.

故

因?yàn)?/p>

〈vn-u,j(vn-xn)〉=〈z-u,j(z-xn)〉+〈z-u,j(vn-xn)-j(z-xn)〉+〈vn-z,j(vn-xn)〉,

由于J在X上的任一有界子集上是范數(shù)-弱*一致連續(xù)的,所以,

從而

‖yn-z‖2≤α′n‖u-z‖+β′n‖xn-z‖+γ′n‖Tzn-z‖≤

α′n‖u-z‖+β′n‖xn-z‖+γ′n‖zn-z‖≤

(α′n+γ′nα"n)‖u-z‖+(βn+γ′nβ"n)‖xn-z‖+γ′nγ"n‖Txn-z‖≤

(α′n+γ′nα"n)‖u-z‖+(βn+γ′nβ"n+γ′nγ"n)‖xn-z‖≤M+‖xn-z‖.

由引理3可得

‖xn+1-z‖2=‖αn(u-z)+βn(xn-z)+γn(yn-z)‖2=

‖βn(xn-z)+γn(yn-z)‖2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉≤

β2n‖xn-zn‖2+2βnγn‖xn-z‖‖yn-z‖+γ2n‖yn-z‖2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉≤

β2n‖xn-zn‖2+2βnγn‖xn-z‖(M+‖xn-z‖)+γ2n(M+‖xn-z‖2)+

2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉=

(βn+γn)2‖xn-z‖2+2γnM(βn+γn‖xn-z‖)+γ2nM2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉=

(1-αn)2‖xn-z‖2+δn.

其中,δn=2γnM(βn+γn‖xn-z‖)+γ2nM2+2αn〈u-z,j(xn+1-z)〉.因此

注1本文引進(jìn)了一個(gè)新的關(guān)于非擴(kuò)張映像三重復(fù)合修正的Ishikawa迭代序列,并證明了該序列在一定條件下的強(qiáng)收斂性.顯然，當(dāng)α"n=0,β"n=1,γ"n=0時(shí),即為文獻(xiàn)[8]的結(jié)論;進(jìn)一步,當(dāng)α′n=0,β′n=1,γ′n=0時(shí),即為文獻(xiàn)[7]的結(jié)論.因此,本文所得的結(jié)果改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[7-9]等一些相關(guān)的近代結(jié)果.

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(責(zé)任編輯 陶立方)

StrongconvergenceofthetriplecompositemodifiedIshikawa′siterationfornonexpansivemappings

LUO Hongping, WANG Yuanheng

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The strong convergence was established for the triple composite modified Ishikawa type iteration for nonexpansive mappings in Banach space with uniformly Gateaux differentiable norm. The results improved and extended the relevant results in other literatures.

uniformly Gateaux differentiable norm; nonexpansive mapping; triple composite modified Ishikawa′s iteration; strong convergence

O177.91

A

1001-5051(2013)01-0031-06

2012-10-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y6100696)

羅紅平(1987-)，女，浙江臺(tái)州人，碩士研究生.研究方向：非線性泛函分析.

王元恒. E-mail: yhwang@zjnu.cn