商務(wù)樓租賃合約的偏微分方程定價模型

顧鋒娟 ，岑仲迪

（1.上海財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，上海 200433；2.浙江萬里學(xué)院 計算機(jī)與信息學(xué)院，浙江寧波 315100）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速發(fā)展，社會對商務(wù)樓的需求日益增加，形成了一個龐大的商務(wù)樓租賃市場。而且商務(wù)樓租賃合約包含的條款內(nèi)容也越來越豐富，出現(xiàn)了“租售同步”[1]、“租金可調(diào)整”、“可提前終止”[2]等形式的租賃條款。一種常見的有停租條款的商務(wù)樓租賃合約包含如下主要內(nèi)容：（1）商務(wù)樓租賃雙方約定一定的租賃期限；（2）承租方按約定的單位時間（例如，一個月、一個季度或一年）向出租方交納固定房產(chǎn)租金；（3）承租方可以提前終止租賃合約，但需向出租方交納約定的違約金（出租方可以提前收取房產(chǎn)出租押金形式來保證違約金條款的實施）。由于房產(chǎn)租賃市場價格的變化，從承租人對合約的執(zhí)行情況看有兩種方式：繼續(xù)持有合約直至合約終止；違約。

此商務(wù)樓租賃合約與固定利率抵押貸款合約有較多相似之處：（1）都是按約定時間支付固定款額方式來履行合約；（2）由于風(fēng)險資產(chǎn)市場價格的變化，合約持有人要么違約，要么持有合約直至合約終止。李少華和韓豐銳[2]應(yīng)用處理障礙期權(quán)的方法對這類含停租條款的商務(wù)樓租賃合約進(jìn)行了定價分析。本文應(yīng)用定價固定利率抵押貸款合約的思路來構(gòu)建商務(wù)樓租賃合約定價模型，并應(yīng)用基于自適應(yīng)的有限差分法進(jìn)行數(shù)值計算，得到相應(yīng)的租賃合約價值。

1 定價模型

下面從承租人角度建立商務(wù)樓租賃合約的偏微分方程定價模型。首先給出模型的基本假設(shè)：

（1）市場是無套利的，無摩擦的，存在風(fēng)險中性的鞅測度；

（2）無風(fēng)險利率r＞0是常數(shù)；

（3）商務(wù)樓租賃合約敲定的固定月租金為m（單位面積商務(wù)樓的月租賃價格）；

（4）商務(wù)樓租賃期為[0,T]；

（5）商務(wù)樓租賃的市場價格St（單位面積商務(wù)樓的月租賃市場價格）遵循幾何Brown運(yùn)動

其中μ為期望回報率，σ為波動率，μ和σ均為大于零的常數(shù)，Wt是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動。由于商務(wù)樓租賃量日益增大，尤其在較發(fā)達(dá)的城市和地區(qū)，因而假設(shè)商務(wù)樓租賃價格服從幾何Brown有其合理性[1，2]；

（6）承租人如果提前終止租賃合約，需要支付單位面積商務(wù)樓的違約金E（出租方可以提前收取房產(chǎn)出租押金形式來保證違約金條款的實施）。

由于合約的支付日相對合約生命期來說比較密集，所以可以近似地認(rèn)為承租人是連續(xù)支付商務(wù)樓租金的。則t時刻商務(wù)樓租賃合約持有到期還需要支付的租金余額為

商務(wù)樓租賃合約的市場價格

依賴于商務(wù)樓租賃的市場價格St和時間t。下面利用Δ-對沖技巧，給出商務(wù)樓租賃合約市場價格的定價模型（其主要思想方法可參見文獻(xiàn)[3，4]）。為此構(gòu)造如下投資組合Π

其中Δ待定?？紤][t,t+dt]時段內(nèi)投資組合的改變量

而且這個組合是無風(fēng)險的，并且是無套利機(jī)會，那么資產(chǎn)回報率必為r，故有

對（3）應(yīng)用Ito引理可得

將式（1）、（4）和（6）代入（5）可得

由于等式（7）右邊是無風(fēng)險的，因此隨機(jī)項dWt前的系數(shù)必定為0，即只能取時等式才成立。將它代入式（7）中，消去dt，可知商務(wù)樓租賃合約市場價格滿足如下微分方程

如果商務(wù)樓租賃的市場價格上升，高于租賃合約約定的租賃價格，那么承租人擁有的租賃合約價值得到提升，承租人將繼續(xù)持有租賃合約；如果商務(wù)樓租賃的市場價格下降，低于租賃合約約定的租賃價格，那么承租人擁有的租賃合約價值下降，當(dāng)需要支付的租金余額減去違約金還足以重新租賃，那么承租人將毀約。因此由承租人行為可把商務(wù)樓租賃問題分割為以下兩個部分：

繼續(xù)持有區(qū)域滿足Lv=m；違約區(qū)域：滿足Lv＜m，

這里

從而可得商務(wù)樓租賃合約市場價格v(S,t)滿足如下線性互補(bǔ)問題：

注1：文獻(xiàn)[2]將違約金設(shè)定為合約到期時間的減函數(shù)，即離合約到期時間越遠(yuǎn)，給出租方帶來的不利影響越大，需要支付的違約金越高；離合約到期時間越近，給出租方帶來的不利影響越小，需要支付的違約金越低。這樣設(shè)定違約金有其合理性?？紤]到實際租賃合約中大多約定固定違約金，因此本文假設(shè)承租人毀約支付固定違約金。

2 有限差分策略

對線性互補(bǔ)問題（8）～（12）進(jìn)行數(shù)值求解時，需要截斷空間無窮定義區(qū)域(0,+∞)成有限區(qū)間(0,Smax)?；赪ilmott等人[5]的估計，資產(chǎn)價格的上界一般是三倍或四倍的執(zhí)行價，因此這里取Smax=4m。一般地，這樣的無窮截斷產(chǎn)生的誤差是比較小的，有關(guān)的誤差估計可參見文獻(xiàn)[6]。因此下面我們求解如下線性互補(bǔ)問題：

我們應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的基于自適應(yīng)網(wǎng)格的有限差分策略來求解線性互補(bǔ)問題（13）-（17）。為避免出現(xiàn)數(shù)值計算的非物理震蕩，我們將空間定義區(qū)域[0,Smax]剖分成一個分片一致網(wǎng)格ΩN：

我們將時間定義區(qū)域[0,T]等分成K個小區(qū)間，記此等距網(wǎng)格為ΩK。易知空間網(wǎng)格步長hi=Si-Si-1和時間網(wǎng)格步長τj=tj-tj-1分別滿足

在分片一致網(wǎng)格ΩN×ΩK上對Black-Scholes微分算子L采用中心差分離散格式：

則線性互補(bǔ)問題（13）～（17）的離散策略為

通過區(qū)分不同網(wǎng)格點集，在相應(yīng)的網(wǎng)格點集上應(yīng)用極大模原理，由文獻(xiàn)[8]可知，此有限差分策略對于任意波動率和任意利率都是穩(wěn)定的，并且是關(guān)于風(fēng)險資產(chǎn)價格二階收斂的。

應(yīng)用迭代投影法[8]來計算離散線性互補(bǔ)問題（18）-（22）。首先計算

這樣保證了約束條件（19）和（20）都是滿足的。

某商務(wù)樓租賃合約的各個參數(shù)取值分別為：σ=0.3，r=0.04，T=25，m=1，E=2，Smax=4，N=K=128。應(yīng)用迭代投影法可計算得到各個市場價格和各個時間所對應(yīng)的商務(wù)樓租賃合約價值（如圖1所示）。

圖1 租賃合約價值

3 結(jié)論

本文分析了一類商務(wù)樓租賃合約的期權(quán)特性。通過分析發(fā)現(xiàn)商務(wù)樓租賃合約與固定利率抵押貸款合約有較多相似之處，因此本文應(yīng)用定價固定利率抵押貸款合約的思路來構(gòu)建商務(wù)樓租賃合約定價模型。應(yīng)用Δ對沖方法及Ito引理，在風(fēng)險中性意義下，建立了商務(wù)樓租賃合約的偏微分方程定價模型。應(yīng)用基于自適應(yīng)的有限差分法對定價模型進(jìn)行數(shù)值計算，得到相應(yīng)的商務(wù)樓租賃合約價值。此定價方法也可用于諸如售房養(yǎng)老計劃，家電期權(quán)、人壽保險合約等帶有分期付款特征的期權(quán)定價，以獲得相應(yīng)的期權(quán)價值。

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[5]Wilmott P,Dewynne J，Howison S.Option Pricing:MathematicalModels and Computation[M].Oxford：Oxford Financial Press,UK,1993.

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[7]Cen Zhongdi，Le Anbo.A Robust Finite Difference Scheme for Pricing American Put Options with Singularity-Separating Method[J].Numerical Algorithms，2010,53(4).

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