基于二叉樹模型的風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目價(jià)值評(píng)估

吳 琦

（西安文理學(xué)院 商學(xué)院，西安 710065）

0 引言

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型之所以被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的評(píng)估，有以下幾個(gè)原因：第一、它將風(fēng)險(xiǎn)中性的概念融入了整個(gè)定價(jià)過程，而結(jié)論確實(shí)可以應(yīng)用于其他非風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境的；第二、它將投資預(yù)期收益的連續(xù)的變化看作是離散的隨機(jī)游走過程，用完全透明的方式處理預(yù)期收益和期權(quán)價(jià)值的運(yùn)動(dòng)過程；第三、盡管二叉樹模型的收斂速度較慢，但是它的極限還是趨于B-S期權(quán)定價(jià)模型的。二叉樹期權(quán)定價(jià)模型被廣泛應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目的評(píng)估，但模型較為傳統(tǒng)，每一階段都以“二叉”的形式出現(xiàn)，不能反映真實(shí)投資過程中多種選擇權(quán)的狀態(tài)，帶來評(píng)估結(jié)果較大的誤差。所以本文試圖引入“多叉”的思想：即一個(gè)完整的投資過程各階段所面臨的實(shí)際情況是不同的，因此可供其選擇的途徑也是不同的，將二叉樹、三叉樹甚至混合使用在模型中，給決策者提供靈活和真實(shí)的方法選擇。

1 利用樹形結(jié)構(gòu)求解期權(quán)價(jià)值——二叉樹模型

1.1 風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)

風(fēng)險(xiǎn)中性原理是由J.Cox、S.Ross在1976年推導(dǎo)期權(quán)定價(jià)公式時(shí)提出的，該原理與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好并無關(guān)系，因此推廣到對(duì)任何衍生證券都適用。所以人們?cè)谶@之后的衍生證券定價(jià)推導(dǎo)中，逐漸接受了這樣的前提條件，就是所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，或者是在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中決定價(jià)格，并且這個(gè)價(jià)格的決定，又是適用于任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好的投資者。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下得到的衍生品估值同樣可以應(yīng)用于非風(fēng)險(xiǎn)中性的世界。真實(shí)世界里的投資者盡管在風(fēng)險(xiǎn)偏好方面存在差異，但當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，投資者無論風(fēng)險(xiǎn)偏好如何都會(huì)采取套利行為，消除套利機(jī)會(huì)后的均衡價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)，羅斯在1976年嚴(yán)格證明了這一邏輯。

1.2 二叉樹模型

單步二叉樹模型是二叉樹模型的基礎(chǔ)，它只反應(yīng)一個(gè)階段的資產(chǎn)的變化狀況。我們可以假定標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格為S0,對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格為 f0。假定期權(quán)的期限為T，在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格可能有兩種趨勢(shì)：一種是由S0上升為S0u，其中u＞1為上升參數(shù)；另一種是由S0下降至S0d，其中0＜d＜1為下降參數(shù)。因此，當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，增長的比率為u-1；股票價(jià)格下跌時(shí)，下跌的比率為1-d。假設(shè)如果股票的價(jià)格變動(dòng)到S0u，相應(yīng)期權(quán)的價(jià)格為 f0；如果股票的價(jià)格變動(dòng)到S0d，相應(yīng)期權(quán)的價(jià)格就為 fd。

如果考慮一個(gè)由α只股票組成的股票多頭和一份期權(quán)空頭所組成的資產(chǎn)組合。此時(shí)可以表示α為對(duì)沖比例，也即是賣出一份買權(quán)所必需買入的股票的股數(shù)滿足風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，我們假定該組合沒有風(fēng)險(xiǎn)，也就是可以認(rèn)為其收益率就等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，那么就可以構(gòu)造出該資產(chǎn)組合的成本，并由此來計(jì)算期權(quán)的價(jià)格。若股票價(jià)格上升，那么期權(quán)到期日時(shí)該資產(chǎn)組合的價(jià)值為S0uα-fu；若股票價(jià)格下跌，則資產(chǎn)組合價(jià)值為S0dα-fd。為了使組合不存在任何風(fēng)險(xiǎn)，令上述兩式相等得到：

由于此時(shí)該組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，其收益率就應(yīng)該等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則資產(chǎn)組合的價(jià)值的貼現(xiàn)值為

若使資產(chǎn)組合的初始成本與之相等，便得到

解得上一個(gè)期權(quán)的價(jià)格為

此時(shí)可得

討論當(dāng)上漲的概率為p時(shí),股票的收益期望為

E(S)=PS0u+(1-P)S0d=PS0(u-d)+S0d

這說明了股票價(jià)格實(shí)際上是按照固定的無風(fēng)險(xiǎn)利率穩(wěn)定增長。所以股票的收益率為無風(fēng)險(xiǎn)利率與股價(jià)上漲的概率為P是相同的概念。

當(dāng)二叉樹從兩步開始，一些參數(shù)將隨之發(fā)生變化。對(duì)于單步二叉樹模型，貼現(xiàn)的期限即為期權(quán)的期限T，兩步二叉樹模型開始，各步價(jià)值貼現(xiàn)的期限可以步長的概念來代替。這里不妨假設(shè)各步步長相等，均為ΔT年。在這樣的假設(shè)下，前面推出的期權(quán)價(jià)格公式變?yōu)?/p>

其中 P=erΔT-d/u-d 。

重復(fù)運(yùn)用該式向前推導(dǎo)得出兩步二叉樹模型的期權(quán)現(xiàn)值

當(dāng)推導(dǎo)n步二叉樹模型的通式時(shí)，采用的是向前倒退的方法來為期權(quán)定價(jià)，也就是從期權(quán)的定價(jià)日始，在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)iΔT的期權(quán)價(jià)值都可以由時(shí)間點(diǎn)(i+1)ΔT的價(jià)值通過貼現(xiàn)其期望價(jià)值來得到。利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出n步二叉樹的期權(quán)現(xiàn)值為：

下面對(duì)公式進(jìn)行化簡：

（1）當(dāng)ukdn-kS0＜E 時(shí)

max(ukdn-kS0-E)=0

則 f0=0，期權(quán)無價(jià)值。

（2）當(dāng)ukdn-kS0＞E時(shí)，就可以去掉0項(xiàng)而取正項(xiàng)：

由于序列Ak=Pk(1-P)n-k(ukdn-kS0-E)為遞增序列，則必然存在一個(gè)最小整數(shù)w使得當(dāng)k≥w時(shí)ukdn-kS0＞E ，即去掉式中的0項(xiàng)得到

將通式化簡至此，就會(huì)更容易觀察出整個(gè)期權(quán)價(jià)值的成分，我們可以把他們分為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值的運(yùn)動(dòng)部分和每一期對(duì)應(yīng)行權(quán)價(jià)格的貼現(xiàn)價(jià)值部分。每一時(shí)點(diǎn)的行權(quán)價(jià)格部分由該節(jié)點(diǎn)向后延伸出的所有狀態(tài)步步貼現(xiàn)而得。

1.3 對(duì)二叉樹模型分析的總結(jié)

在實(shí)際中，二叉樹的收斂速度并不理想，這是一個(gè)只有在保證了無窮計(jì)算的情況下才會(huì)得出最精確結(jié)果的結(jié)論。如果一個(gè)分析員僅僅假定在期權(quán)期限內(nèi)價(jià)格變化只由一步或幾步二叉樹來表達(dá)，則由此得出的期權(quán)價(jià)格將會(huì)是一個(gè)非常粗略的近似值。降低誤差的辦法之一是提高步數(shù)或盡可能縮小步距ΔT，但是步數(shù)的增長所帶來的運(yùn)算的復(fù)雜程度是呈現(xiàn)指數(shù)化增長的。在實(shí)際中應(yīng)用二叉樹時(shí)，期權(quán)的期限可能會(huì)被分割為30或更多的步數(shù)。在每一個(gè)時(shí)間步，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)都由一個(gè)單步二叉樹來表達(dá)。那么在30個(gè)時(shí)間步中，總共有31個(gè)終端的股票價(jià)格，即230，大約10億種可能的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)路徑。在步數(shù)達(dá)到一定程度的時(shí)候，除了使用數(shù)學(xué)歸納法來推導(dǎo)可能的定價(jià)公式，數(shù)值解就只有通過數(shù)學(xué)軟件來實(shí)現(xiàn)。

2 三叉樹期權(quán)定價(jià)模型

2.1 構(gòu)建模型

能夠降低二叉樹模型誤差的另一種方法是增加自由度——也即每一步可能的狀態(tài)，比如將二叉樹推廣至三叉樹。最早提出這種思想的是Kamrad B.和Ritchken P.，他們?cè)?991年發(fā)表于Management Science上的一篇論文中提出設(shè)想，通過增加每一期可能的狀態(tài)來提高最終計(jì)算的精度。Boyal P P.將其擴(kuò)展成為三叉樹模型，每一期存在三種可能的狀態(tài)：上升、不變和下降，并且上升和下降兩種狀態(tài)是對(duì)稱的。Tian Y.重點(diǎn)研究了三叉樹模型，同時(shí)仿照二叉樹模型的風(fēng)險(xiǎn)中性世界假設(shè)，推導(dǎo)出了三叉樹模型的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，形式為時(shí)間ΔT的指數(shù)函數(shù)。

從二叉樹期權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)過程看出，美式期權(quán)每一期都必須對(duì)期權(quán)價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行比較，所以可先從歐式期權(quán)入手，推導(dǎo)三叉樹模型對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式。在建立三叉樹模型之前先進(jìn)行一系列前提假設(shè)：

（1）假設(shè)市場(chǎng)是完備的，所有投資者信息共享；

（2）市場(chǎng)是無摩擦的，也就是不存在稅收和交易費(fèi)用；

（3）市場(chǎng)中不存在套利機(jī)會(huì)；

其中r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，δ為瞬時(shí)波動(dòng)率，dz為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。這表示S下一瞬間的運(yùn)動(dòng)增量為dx，這個(gè)增量來自于兩個(gè)部分，第一部分是確定項(xiàng)，第二部分是隨機(jī)項(xiàng)。考慮應(yīng)用Ito引理的隨機(jī)微分方程，第一步將連續(xù)的S(t)離散化，把[0 , T ]分割為間距相等的n個(gè)部分，每步的長度ΔT=T/n，在任一步時(shí)段[t,t+ΔT] 中，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)服從于=rΔT+δΔz，因此 S 的數(shù)學(xué)期望就表示為E(S)=SerΔT。再由Ito引理二階和三階隨機(jī)微分方程，S2和S3在[0,T]上分別服從于隨機(jī)方程

分別離散化之后可得

現(xiàn)在考慮三叉樹定價(jià)模型的建立，類似于二叉樹模型，首先分析單步的三叉樹。假設(shè)在t0時(shí)刻，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為S0，經(jīng)過時(shí)間T后，可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有三種：上升至S0u、下降至 S0d，以及維持初始的 S0不變，其中u＞1＞d＞0。

這里為了方便迭代，得到適用于有限可數(shù)步三叉樹期權(quán)定價(jià)的通項(xiàng)公式，假設(shè)該標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格有序運(yùn)動(dòng)之后的結(jié)果與運(yùn)動(dòng)過程無關(guān)，用式子表達(dá)為u·d=1。即是說S0開始經(jīng)過先上升后下降或經(jīng)過先下降后上升，效果一致，會(huì)到達(dá)同一個(gè)位置。任一節(jié)點(diǎn)St經(jīng)過任意一步距離的運(yùn)動(dòng)，先上升后下降、先下降后上升與水平運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到的狀態(tài)相同，這樣假設(shè)的好處是每一期只增加有限個(gè)新節(jié)點(diǎn)，使得節(jié)點(diǎn)數(shù)不致以指數(shù)倍增長。

如果假設(shè)S0向上和向下以及保持不變的概率分別Pu、Pd和 Pm，則必有Pu+Pm+Pd=1。

同時(shí)，為了有效控制每一步的節(jié)點(diǎn)數(shù)，可做出假設(shè)使得部分節(jié)點(diǎn)可以重合，向上和向下的路徑和先后順序與最終的結(jié)果無關(guān)，學(xué)術(shù)界比較常用的辦法添加限制性條件

將Pu、Pm和Pd分別看作是S0向上、向下及保持不變對(duì)應(yīng)的權(quán)數(shù)，即得出S、S2和S3的數(shù)學(xué)期望，由此得到方程組包含5個(gè)獨(dú)立方程，此時(shí)求解Pu、Pm、Pd、u和d這五個(gè)未知數(shù)后將Pu、Pm和Pd項(xiàng)通過u和d表示

方程組的解只包含r、ΔT

與二叉樹求解的思路相同，首先按樹形將資產(chǎn)價(jià)格向后推至尾節(jié)點(diǎn)，再利用貼現(xiàn)逐步向前推，即從期權(quán)定價(jià)日開始向前倒推，在時(shí)刻iΔT的期權(quán)價(jià)格可以從下一時(shí)刻(i+1)ΔT的期權(quán)價(jià)值貼現(xiàn)期望價(jià)值得到，用表達(dá)式描述就是

f(SΔT,iΔT)=e-rΔT[Pu·f(u·SΔT,(i+1)ΔT)+Pm·f(SΔT,(i+1)ΔT)+Pdf(d·SΔT,(i+1)ΔT)] 其中f(SΔT,iΔT)為iΔT時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格，f(u·SΔT,(i+1)ΔT)、f(u·SΔT,(i+1)ΔT)和 f(SΔT,(i+1)ΔT)則分別代表資產(chǎn)經(jīng)過ΔT時(shí)間，以u(píng)的變動(dòng)幅度上升，以d的變動(dòng)幅度下降以及保持不變后對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格。類似于二叉樹模型，利用數(shù)學(xué)歸納法可以推導(dǎo)出多期期權(quán)價(jià)格的估算公式

2.2 敏感性分析

2.2.1 基本原理

敏感性分析是非常常用的一種不確定性分析方法，是利用現(xiàn)代化的數(shù)據(jù)處理工具或軟件模擬一個(gè)或多個(gè)不確定性因素變動(dòng)一定幅度所帶來的決策評(píng)價(jià)指標(biāo)的變動(dòng)程度，據(jù)此判斷各種不確定性因素的變化對(duì)實(shí)現(xiàn)最終的決策目標(biāo)的影響程度，以期在紛繁的外部環(huán)境發(fā)生不利變動(dòng)時(shí)及時(shí)做出反應(yīng)，對(duì)最大的風(fēng)險(xiǎn)范圍、承受能力給出合理的判斷。

2.2.2 單因素敏感性分析

單因素敏感性分析又稱為局部敏感性分析，它只考慮單一因素對(duì)結(jié)果的影響。它可用于尋找那些對(duì)目標(biāo)值影響相對(duì)較大的單個(gè)因素。首先需要保證每個(gè)單因素之間相互獨(dú)立；在此基礎(chǔ)上假設(shè)其他因素不變，每次只對(duì)某一個(gè)單因素的變化和其對(duì)目標(biāo)值的影響程度進(jìn)行分析，借助圖表表現(xiàn)二者的相關(guān)關(guān)系；處理采用“連環(huán)替代法”，即將其他假定不變的因素按照上述方式變動(dòng)，變動(dòng)比例和臨界值都取相同來觀察目標(biāo)值的變化，直至取遍所有的不確定因素。

確定敏感性因素是有選擇性的，從實(shí)際投資活動(dòng)出發(fā)，以提供投資決策建議為目的的前提下，應(yīng)優(yōu)先選擇那些有經(jīng)濟(jì)含義、可控可測(cè)的那些變量。假設(shè)有經(jīng)濟(jì)值表達(dá)式F=f(x1，x2，…，xn)，確定敏感性因素為 x1，x2，x3，x4，那么整理數(shù)據(jù)后應(yīng)該至少能從兩個(gè)方面得出結(jié)論：

（1）敏感度系數(shù)。敏感度系數(shù)是指項(xiàng)目評(píng)價(jià)值相對(duì)于不確定因素的敏感程度。以敏感性因素x1為例，取x1的變化量為Δx1，對(duì)應(yīng)經(jīng)濟(jì)值f的變化量為Δf，則該段該因素的敏感度系數(shù)S1=Δf/Δx2。若將敏感性關(guān)系在F-x1坐標(biāo)軸上繪制成曲線，S1代表了連接兩點(diǎn)的線段的斜率；若Δx1→0，則S1代表了曲線在該點(diǎn)的斜率。這些都是可以直觀上從曲線的起伏程度上看出來的。

（2）臨界值。F是有經(jīng)濟(jì)含義的，假定F為年利潤率，x1為年經(jīng)營成本。則利潤率必須要保證在一定的范圍之內(nèi)，譬如必須使F≥0，那么相應(yīng)的x1也必定會(huì)有一個(gè)范圍，譬如計(jì)算出x1≤f(F)，這個(gè)值就是該不確定因素的臨界值。在實(shí)際的經(jīng)營活動(dòng)中，假設(shè)其他條件不變時(shí)經(jīng)營者必須保證經(jīng)營成本小于某一個(gè)確定的值才能使公司獲取正利潤。

仍取 S0=100，E=80，r=0.1，δ=0.25，ΔT=n=5，計(jì)算出的期權(quán)價(jià)值 f0可作為一個(gè)期望價(jià)值。之后開始分析各單因素變動(dòng)后的取值。

為了分析方便，我們選定S0、E、r、δ、n為待驗(yàn)證的敏感性因素，每次變動(dòng)一個(gè)因素，其他因素保持不變。最小變動(dòng)單位的選定上，S0和E的基礎(chǔ)數(shù)值較大，同樣的變動(dòng)比例下變動(dòng)數(shù)值更大，因此設(shè)定其最小變動(dòng)單位為±1%；r和δ設(shè)定為±5%。變動(dòng)檔均為上下10檔，即每一個(gè)對(duì)比樣本包含數(shù)據(jù)20組，繪制敏感性分析表后觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，r主要以一階形式出現(xiàn)，而δ多以二階和三階形式出現(xiàn)。這就說明了期權(quán)的價(jià)值對(duì)δ的變動(dòng)相對(duì)于r更為敏感，或者說通過同樣幅度的變動(dòng)，δ變動(dòng)所造成的期權(quán)價(jià)值變動(dòng)幅度更大。由于S0和S0之后的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)代表了投資所能帶來的現(xiàn)金流情況，S0的變化對(duì)于追加投資、延遲投資或者撤出投資是起決定性作用的，因此S0與期權(quán)價(jià)值是呈正向變動(dòng)的；相反作為投資成本的E越大，與現(xiàn)金流收入相較的差距越小，利潤獲取空間就越小，導(dǎo)致期權(quán)價(jià)值的降低。因此E與期權(quán)價(jià)值是逆相關(guān)的。

2.2.3 多因素敏感性分析

多因素敏感性分析又稱為全局敏感性分析，是對(duì)單因素敏感性分析的推廣。即是說許多因素的變動(dòng)趨勢(shì)之間存在相關(guān)性，一個(gè)因素的變動(dòng)將會(huì)帶來其他因素的變動(dòng)。在這樣的假設(shè)條件下，只考慮單因素的敏感性就存在局限性。由于全劇敏感性分析需要考慮所有可能發(fā)生變化的因素各自變動(dòng)不同幅度的多種組合，計(jì)算的過程會(huì)比普通的單因素敏感性分析困難得多，如果不確定因素小于3個(gè)，且目標(biāo)函數(shù)計(jì)算簡單，尚可結(jié)合解析法和作圖法進(jìn)行分析。本文的研究對(duì)象為超過3個(gè)的不確定因素，并且各自代表不同的含義，彼此之間相關(guān)性較弱，可認(rèn)為其相互獨(dú)立。因此全劇敏感性分析不作為本文的研究重點(diǎn)。

3 總結(jié)

本文基于當(dāng)前國內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)投資勢(shì)頭日漸增強(qiáng)的背景，考慮到實(shí)務(wù)界盲目投資現(xiàn)象的存在，提出對(duì)風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目進(jìn)行合理的估值，為決策者提供建議。通過將實(shí)物期權(quán)引入風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目，結(jié)合使用二叉樹定價(jià)模型和三叉樹定價(jià)模型對(duì)項(xiàng)目的不確定性部分進(jìn)行價(jià)值評(píng)估，形成了可操作的一種不確定性項(xiàng)目估值的方法。對(duì)估值模型的研究，一方面要盡量提高估值結(jié)果的精確程度，另一方面應(yīng)該分析各參變量的含義，以及估值結(jié)果對(duì)各變量的敏感性程度。

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