一種構(gòu)造任意4k階保塊和完美幻方的簡(jiǎn)便方法

王正元

（中國(guó)石油天然氣股份有限公司，北京 100007）

在一個(gè)4k階幻方A=（aij）4k×4k中，若任意2×2連續(xù)方陣（簡(jiǎn)稱(chēng)二階方塊）中的4個(gè)元素之和均相等，則稱(chēng)幻方A為一個(gè)保二階塊和幻方，簡(jiǎn)稱(chēng)保塊和幻方.文獻(xiàn)[1]和[2]給出了構(gòu)造任意4k階保塊和完美幻方的兩組公式，但其不足之處是公式顯得較為繁復(fù)，且對(duì)任一指定的4k階，一組公式僅能構(gòu)造出一個(gè)幻方.本文將給出一種簡(jiǎn)便的方法，既無(wú)需繁雜的計(jì)算，又能構(gòu)造出一大批保塊和完美幻方.

1 構(gòu)造方法

首先，將0～（4k-1）的數(shù)按（0，4k-1），（1，4k-2），（2，4k-3）……的方式兩兩配對(duì)，共分為2k組，每組兩數(shù)之和均為4k-1.然后，從其中任取k組，將這2k個(gè)數(shù)按任意順序填入4k階方陣的第一行奇數(shù)列的方格中；再將剩下的k組2k個(gè)數(shù)以任意順序填入方陣第一行偶數(shù)列的方格中.然后，在每一列中，用所填數(shù)的互補(bǔ)數(shù)（即其所在數(shù)對(duì)中的另一數(shù)）與該數(shù)交替填滿(mǎn)該列，得到方陣B.令

其中BT為方陣B的轉(zhuǎn)置，E為4k階單位方陣（其中每一個(gè)元素均為1），則A為4k階保塊和完美幻方，其中任意二階方塊中4個(gè)元素之和均為幻和的1/k.

以8階為例說(shuō)明一下構(gòu)造的過(guò)程.首先，將0～7的數(shù)分為4組：（0，7），（1，6），（2，5），（3，4）.從中任取2組，如（0，7），（3，4），將其中4個(gè)數(shù)以任意順序填入8階方陣第一行的奇數(shù)列，將剩余2組的4個(gè)數(shù)（1，6，2，5），以任意順序填入方陣第一行的偶數(shù)列（見(jiàn)圖1）.

圖1 B方陣首行Fig.1 The first line of square B

下一步，將已填數(shù)的互補(bǔ)數(shù)填入各列，使兩數(shù)交替填滿(mǎn)該列，得到方陣B（見(jiàn)圖2）.

計(jì)算A=8k*B+BT+E，得8階方陣A（見(jiàn)圖3）.

可以驗(yàn)證方陣A為完美幻方，且是保塊和的，其任意二階方塊中4個(gè)元素之和均為130，恰為8階幻方幻和260的1/2.

圖2 方陣BFig.2 Square B

圖3 8階保塊和完美幻方Fig.3 8-order conserve square sum perfect magic square

2 方法的證明

首先證明，方陣B為一廣義完全拉丁方，即其行、列及各泛對(duì)角線(xiàn)各元素之和均相等.

B方陣的行列和相等是顯然的，因其各行之?dāng)?shù)均歷遍0～（4k-1），和為2k（4k-1）；每列由1個(gè)數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)填滿(mǎn)，共重復(fù)2k次，而每個(gè)數(shù)對(duì)2數(shù)之和為4k-1，故其和亦為2k（4k-1）.

下面證明方陣B的任一對(duì)角線(xiàn)（包括泛對(duì)角線(xiàn)）各數(shù)之和也等于2k（4k-1）.先考察主對(duì)角線(xiàn)（從方陣左上角至右下角的對(duì)角線(xiàn)）.記B=（bij）4k×4k，并記第一行各數(shù)分別為 a1，a2，a3，…，a4k；a1～a4k歷遍0～（4k-1）.根據(jù)構(gòu)造法，易知：

其中j=1，2，…，2k.因此，主對(duì)角線(xiàn)各數(shù)之和為

再由構(gòu)造法易知，在與主對(duì)角線(xiàn)平行的4k-1條泛對(duì)角線(xiàn)中，其中2k-1條上的各列之?dāng)?shù)與主對(duì)角線(xiàn)上該列之?dāng)?shù)對(duì)應(yīng)相同，因而和也為2k（4k-1）；而另2k條上各列之?dāng)?shù)為主對(duì)角線(xiàn)該列之?dāng)?shù)的互補(bǔ)數(shù)，則其和為：

對(duì)副對(duì)角線(xiàn)（從方陣左下角至右上角的對(duì)角線(xiàn)）及其平行的泛對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行同樣的分析，也可得其和為2k（4k-1）.故B的行、列、泛對(duì)角線(xiàn)各數(shù)之和均相等，B為一廣義完全拉丁方.

下面證明 B 與 BT正交.若存在（bij，bji）=（bi’j’，bj’i’），按數(shù)偶相等的定義，有

若 aj≠aj'，應(yīng)有 aj=4k-1-aj'，于是 aj+aj'=4k-1.這說(shuō)明aj與aj'是互補(bǔ)數(shù)對(duì)中的兩數(shù)，而根據(jù)構(gòu)造法，必有j與j'奇偶性相同.

然而，若j與j'同為奇數(shù)，有

這使得ai=ai'，從而有i=i'.同樣的，若j和j'同為偶數(shù)，也必有i=i'.這時(shí)，bij=bi'j'=bij'，根據(jù)構(gòu)造法，B中同一行各數(shù)互異，則必有j=j'，從而aj=aj'.矛盾.

因此，應(yīng)有aj=aj'，亦必有j=j'.此時(shí)，bij=bi'j'=bij'，而根據(jù)構(gòu)造法，必有i=i'.

綜上，若存在（bij，bji）=（bi'j'，bj'i'），則必有i=i'，j=j'.說(shuō)明B與BT正交.

根據(jù)眾所周知的結(jié)論，B與BT為正交的廣義完全拉丁方，則A=4k*B+BT+E為完美幻方.

最后，證明A的保塊和性質(zhì).事實(shí)上，由構(gòu)造法易知，A中任意二階方塊，對(duì)應(yīng)B中二階方塊4數(shù)為ap，4k-1-ap，ap+1，4k-1-ap+1，對(duì)應(yīng)BT中二階方塊4數(shù)為aq，4k-1-aq，aq+1，4k-1-aq+1，得A中任意二階方塊4數(shù)之和為：

因此A是保塊和的.A的幻和為2k*[（4k）2+1]，任意二階方塊4數(shù)之和為幻和的1/k.

證畢.

3 討論

[1]李超.造任意4k階保塊和泛對(duì)角線(xiàn)幻方的一組公式[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2006,27(12)：1-5.

[2]李超.造任意4k階保塊和泛對(duì)角線(xiàn)幻方的又一組公式[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2007,28(3)：5-9.