具有時滯和階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的分析

崔 信

（晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 晉中030600）

自從Aiello和Freedman建立了具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型［1］之后，具有階段結(jié)構(gòu)的生物模型受到眾多學(xué)者的重視［2－3］。文獻［4］討論了文獻［3］對應(yīng)的自治系統(tǒng)的一致持久性及具有無限時滯的階段結(jié)構(gòu)模型的持久性；文獻［5－6］討論了食餌和捕食者都具有階段結(jié)構(gòu)的周期捕食系統(tǒng)的一致持久性和正周期解的存在性；文獻［7］研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和捕食者具有消化時滯τ的階段結(jié)構(gòu)捕食模型的全局穩(wěn)定性和永久持續(xù)生存。上述文獻中考慮的出生率都是關(guān)于種群密度的線性函數(shù)，而考慮非線性出生率的種群模型研究較少［8］。本文在文獻［8］基礎(chǔ)上，考慮食餌種群具有階段結(jié)構(gòu)及非線性出生率，而捕食者種群僅捕食幼年食餌。我們建立模型如下：

其中：x1（t），x2（t）分別是食餌種群的幼年種群和成年種群的密度函數(shù)，y（t）是捕食者種群的密度函數(shù)。模型（1）的建立基于下列基本假設(shè)：

（H1）食餌種群：幼年食餌種群具有非線性出生率p／（q＋x1），幼年體食餌的死亡率為d1，幼體向成體的轉(zhuǎn)化率為δ，成體食餌的死亡率d2．

（H2）捕食者種群：假定這里捕食者只捕食幼年食餌，捕食者的生存依賴于幼年種群的生存狀況。捕食者的死亡率為d3，消耗率為β，捕食者種群并不及時繁殖，而是經(jīng)過一段消化時間τ之后才繁殖。參數(shù)p，q，d1，d2，d3，δ，β都是正常數(shù)。

系統(tǒng)（1）的初始條件為：

其中，φi（t）（i＝1，2，3）是［－τ，0］上的非負連續(xù)函數(shù)。

1 預(yù)備知識

易知系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的解具有正性。我們首先討論解的有界性。

定理1 當(dāng)存在常數(shù)M1＞0，M2＞0，使得系統(tǒng)（1）－（2）的任一解 （x1（t），x2（t），x3（t）），當(dāng)t充分大時，滿足x1（t）＜M1，x2（t）＜M1，y（t）＜M2。

證明 首先考察系統(tǒng)（1）缺少捕食者種群的子系統(tǒng)

這里系統(tǒng)滿足初始條件x1（0）＞0，x2（0）＞0．

記V（t）＝x1＋x2．把方程（3）兩邊同時相加可得：

從（4）式易知，存在M1＞0，對所有的t＞0有0＜V（t）＜M1．由解的正性可知0＜x1（t），x2（t）＜M1．

下面考慮函數(shù)W（t）＝x1（t－τ）＋y（t）．計算W沿系統(tǒng)（1）的解的導(dǎo)數(shù)，得到

從（5）式知，存在正數(shù)M2，當(dāng)t充分大時，有0＜W（t）＜M2，從而有y（t）＜M2．定理得證。

2 局部穩(wěn)定性與周期解

系統(tǒng)（1）總存在平衡點E0（0，0，0）．

0不穩(wěn)定；

0近穩(wěn)定。

31界平衡點是不穩(wěn)定的；ii．當(dāng)d3＜βxˉ1時，平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 1）系統(tǒng)（1）在平衡點E0（0，0，0）處的特征方程為

易見，當(dāng)pδ＞qd2（d1＋δ）時，E0（0，0，0）是一鞍點；當(dāng)pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）局部漸近穩(wěn)定。

存在兩個根λ2＜0，λ3＜0，另一個特征根λ1由λ＋d3－exp（－λτ）＝0的解給出。

i．當(dāng)d3＞時，注意到y(tǒng)＝λ和y＝的圖形必須相交于λ的一個正值，因此平衡點E1是不穩(wěn)定的。

ii．當(dāng)d3＜時，方程0的解λ1＜0．因此平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的。證畢。

證明 系統(tǒng)（1）在平衡點E2（x＊1，x＊2，y＊）處的特征方程為

由Routh－Hurwitz準(zhǔn)則知方程（7）的所有根均具有負實部當(dāng)且僅當(dāng)

從而當(dāng)τ＝0或τ很小時，正平衡點E2局部漸近穩(wěn)定。

證明 首先要證明在平衡點E2處的特征方程（6）有一對純虛根±iω．

如果λ＝±iω是方程（6）的一對純虛根，將λ＝±iω代入（6）并分離實部和虛部得：

上式兩邊同時平方并相加得：

其中，A1＝p21－2p2－q21＝A2＋d22＋2Bδ＞0，

令Ω＝ω2，則式（9）化為

故相應(yīng)于ω0的τn由下式給出：

因為τ＝0時，E2局部穩(wěn)定，從而由Butler引理［9］知，在定理的條件下，平衡點E2對所有的τ≤τ0（τ0＝τ＊0，n＝0）仍是局部漸近穩(wěn)定的。由于（11）有唯一正根，根據(jù)Cooke［10］的結(jié)論，下列橫截條件成立：

事實上，對（6）兩邊同時求導(dǎo)得：

3 全局穩(wěn)定性

類似文獻［11］中定理3．2的證明，得到下列定理。

定理5 當(dāng)pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）全局漸近穩(wěn)定。

定理6 若pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜滿足，并且βM1＜b3，則系統(tǒng)（1）的邊界平衡點E1是全局漸近穩(wěn)定的。這里M1如定理1中所述。

證明 由于滿足pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜，系統(tǒng)（1）的邊界平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的，我們只需

首先考慮系統(tǒng)（1）的第三個方程。可得：

作時間參數(shù)變換。設(shè)dt＝（q＋x1）dτ，則系統(tǒng)（12）變?yōu)?/p>

作量綱一變換：

則系統(tǒng)（13）變?yōu)?/p>

當(dāng)pδ＞qd2（d1＋δ），即a1＞a2系統(tǒng)（14）有2個非負平衡點），且（0，0）總是一鞍點是局部漸近穩(wěn)定的。其中

證畢。

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