雙自由度離心振動系統(tǒng)的動力耦合分析

劉占芳，郭小煒

（重慶大學(xué)資源及環(huán)境科學(xué)學(xué)院，重慶 400030）

引 言

旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的動特性和動力響應(yīng)分析是進(jìn)行旋轉(zhuǎn)機械和旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計和安全性評價的理論基礎(chǔ)。進(jìn)行風(fēng)力發(fā)電機風(fēng)輪、直升機螺旋槳、離心機葉輪及其葉片設(shè)計時，了解旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的特征頻率變化既是材料選取和結(jié)構(gòu)優(yōu)化的依據(jù)，也為避免結(jié)構(gòu)共振實施控制策略提供關(guān)鍵參數(shù)。旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的動力分析涉及結(jié)構(gòu)的變形以及應(yīng)力狀態(tài)等，為結(jié)構(gòu)變形控制和強度校核、確定動態(tài)測試方案提供基礎(chǔ)的分析數(shù)據(jù)。由于旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)運行在離心環(huán)境下，結(jié)構(gòu)自身的彈性變形與旋轉(zhuǎn)運動耦合在一起，造成離心環(huán)境嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的動特性和動力學(xué)響應(yīng)。譬如風(fēng)力機風(fēng)輪的坎貝爾圖是關(guān)于風(fēng)輪的各階頻率與風(fēng)輪轉(zhuǎn)速的關(guān)系［1］，可為風(fēng)輪共振分析和風(fēng)電機組控制提供設(shè)計和分析參數(shù)。因為旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動力學(xué)在實際工程中的巨大應(yīng)用價值，幾十年來引起了學(xué)術(shù)界和工程界的持久興趣。直到最近，大量的文獻(xiàn)依然關(guān)注旋轉(zhuǎn)的桿梁結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)環(huán)、旋轉(zhuǎn)盤和板、旋轉(zhuǎn)殼的振動特性和響應(yīng)［2～23］，其中旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的科氏力效應(yīng)，動力剛化問題，旋轉(zhuǎn)角速度對結(jié)構(gòu)特征頻率的影響，復(fù)值的特征矢量和復(fù)模態(tài)處理等是研究重點，特別是旋轉(zhuǎn)和變形的耦合機制還不完全清楚，解決這些問題有賴于揭示剛體旋轉(zhuǎn)與彈性變形的耦合機理，建立精確可靠的動力學(xué)分析模型，發(fā)展合適的算法以及實驗或工程驗證。

旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)較之非旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性在于結(jié)構(gòu)進(jìn)一步承受由于運動耦合帶來的附加慣性力，這種附加慣性力影響結(jié)構(gòu)動力學(xué)，同時結(jié)構(gòu)變形影響結(jié)構(gòu)的剛性旋轉(zhuǎn)運動。為揭示運動變形耦合以及對結(jié)構(gòu)動力學(xué)造成的影響，本文引入雙自由度的質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)作已知的剛體旋轉(zhuǎn)，系統(tǒng)可考慮剛體旋轉(zhuǎn)形成的初始離心力、質(zhì)量點振動造成的離心力改變以及科氏力等。這種簡化模型既不失去結(jié)構(gòu)變形與剛體旋轉(zhuǎn)耦合的典型特性，又可通過考察簡單物理模型來探討動力學(xué)規(guī)律，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析提供清晰的參考。

1 雙自由度離心振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型

考慮剛體繞定軸作勻速圓周運動，轉(zhuǎn)動的角速度為ω，剛體上任意一點r的線速度v為

二階反對稱張量Ω可表示旋轉(zhuǎn)軸和繞軸旋轉(zhuǎn)角速度，即有［24］

式中e為笛卡爾坐標(biāo)系下的置換張量，角速度ω為反對稱張量Ω的反偶矢量或軸矢量。二階反對稱張量Ω對任意矢量u的映射為

二階反對稱張量只關(guān)聯(lián)著轉(zhuǎn)動角速度，正交張量能描述剛體作定軸有限轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)角速度和旋轉(zhuǎn)角?，F(xiàn)令單位矢量n代表旋轉(zhuǎn)軸方向，θ為旋轉(zhuǎn)角，引進(jìn)反對稱張量A＝－e·n，對正交張量R有［25］

上式為Euler－Rodrigues旋轉(zhuǎn)公式。對勻速轉(zhuǎn)動，正交張量R可進(jìn)一步改寫為

ω為角速度矢量ω的模。

現(xiàn)在關(guān)注一個質(zhì)量點m與4個相同彈簧組成的雙自由度振動系統(tǒng)作平面剛體旋轉(zhuǎn)運動（忽略振動造成的離心振動系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量的變化），振動系統(tǒng)固定在剛體上以垂直于旋轉(zhuǎn)平面的恒角速度ω作逆時針旋轉(zhuǎn)。建立固定和轉(zhuǎn)動兩個坐標(biāo)系，見圖1，質(zhì)量點的初始位置r0為轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的原點，兩個坐標(biāo)基分別沿轉(zhuǎn)動的徑向和切向，質(zhì)量點在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的振動位移為r，則質(zhì)量點在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的位置為r0＋r。由于正交張量描述了剛體有限轉(zhuǎn)動，則任意時刻質(zhì)量點在固定坐標(biāo)系的位置為

圖1 雙自由度振動系統(tǒng)作定軸平面轉(zhuǎn)動Fig．1 The vibrating system with two degrees of freedom rotates around with a fixed axis

這里正交張量R代表轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系構(gòu)成的兩點張量。對式（6）取時間導(dǎo)數(shù)，利用式（3）和（5）得質(zhì)量點在固定坐標(biāo)系的絕對速度為

再對式（7）取時間導(dǎo)數(shù)并再次應(yīng)用式（3）和（5），得固定坐標(biāo)系下質(zhì)量點的絕對加速度為

式（7）和（8）中˙r和¨r表示質(zhì)量點在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的振動速度和加速度。利用正交張量的轉(zhuǎn)置張量RT立即得到在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系下質(zhì)量點的絕對加速度

式中ω×（ω×r0）為振動系統(tǒng)的初始向心加速度、ω×（ω×r）是由于質(zhì)量點振動導(dǎo)致的向心加速度增量、2ω×˙r為科氏（Coriolis）加速度。由此可知，如果質(zhì)量點在垂直于旋轉(zhuǎn)平面的方向上運動，不產(chǎn)生科氏加速度和向心加速度的增量。

應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，忽略質(zhì)量點重力作用，可建立質(zhì)量點m在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系的動力學(xué)方程

k為彈簧的彈性系數(shù)。由式（10）可知，質(zhì)量點m受到彈簧回復(fù)力、相對慣性力、初始離心力、離心力增量和科氏力的共同作用，注意到質(zhì)點動力學(xué)方程（10）與旋轉(zhuǎn)角θ無關(guān)。由于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的剛體轉(zhuǎn)動和振動都在旋轉(zhuǎn)平面上（圖1），在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系中有

u和v表示在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系質(zhì)量點的兩個位移分量，進(jìn)一步令r0的模為r0。利用式（11）以及矢量的二重叉積公式，改寫式（10）得到沿轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系兩個坐標(biāo)軸e1和e2的動力學(xué)方程

把式（12）和（13）聯(lián)立成為矩陣形式

改寫式（14）得離心振動系統(tǒng)動力學(xué)方程的一般形式

式（15）中質(zhì)量矩陣M，科氏矩陣C，振動剛度矩陣K，離心矩陣KS分別為：

科氏矩陣C為反對稱矩陣，盡管在動力學(xué)方程出現(xiàn)一階項但不造成系統(tǒng)的阻尼衰減。式（15）也是線彈性情況下旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程的典型形式。觀察式（14）可知在旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)，由于剛體旋轉(zhuǎn)與彈性振動的運動耦合產(chǎn)生科氏力，導(dǎo)致u和v兩個方向的運動也是耦合的，而運動耦合也反之影響科氏力，這正是離心振動系統(tǒng)復(fù)雜性的本質(zhì)。此外，離心振動系統(tǒng)剛度陣K－KS的系數(shù)應(yīng)為正，表明為保持系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)存在最大剛體轉(zhuǎn)速，下面將進(jìn)一步說明。

2 雙自由度離心振動系統(tǒng)的動頻和動模態(tài)

為研究離心振動系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，將動力學(xué)方程（15）改寫成下述形式

記zT＝｛u˙uv˙v｝T，則式（17）在形式上成為一階非齊次線性微分方程組

式（18）中的T和g取與式（17）右端對應(yīng)的方陣和列陣。方程組（18）的齊次方程解的形式為z＝Cφeλt，對應(yīng)的特征方程為｜T－λI｜＝0，容易得到系統(tǒng)的特征值為

ω1＝分別表示振動系統(tǒng)兩階模態(tài)的圓頻率，而f1和f2分別為隨轉(zhuǎn)速變化的兩階動頻。作為例子，令m＝0．1kg，k＝10 N／m。系統(tǒng)兩階特征頻率隨轉(zhuǎn)速變化的曲線見圖2。當(dāng)轉(zhuǎn)速為零時剛體旋轉(zhuǎn)對振動的影響消失，系統(tǒng)的兩階動頻退化為系統(tǒng)的固有頻率（基頻）。隨剛體轉(zhuǎn)速增加系統(tǒng)的第一階動頻f1線性減小而第二階動頻f2線性增加，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到固有頻率時，第一階動頻趨于零，表示剛體轉(zhuǎn)動造成了振動系統(tǒng)失穩(wěn)，所以，剛體的最大轉(zhuǎn)速等于質(zhì)點振動的固有頻率。

圖2 離心振動系統(tǒng)的兩階動頻與旋轉(zhuǎn)運動（轉(zhuǎn)速）的關(guān)系Fig．2 Two order dynamic frequencies of the centrifugal vibrating system vary with rotational velocity

對式（18）的齊次形式以及式（19）的特征值，可以確定特征值對應(yīng)的廣義特征矢量。令λ1＝－ω1i，λ2＝ω1i，λ3＝－ω2i，λ4＝ω2i，所對應(yīng)的廣義特征矢量分別為

特征值λ1，λ2，λ3，λ4所對應(yīng)的復(fù)值解分別為

利用線性微分方程組解的可疊加性，對每組復(fù)值解作簡單的代數(shù)運算可得到每個特征值所對應(yīng)的線性獨立的實值解，即為兩階模態(tài)，它們分別為

兩階模態(tài)都是剛體轉(zhuǎn)速ω的函數(shù)。κ1和κ2表示系統(tǒng)的第1階動模態(tài)，κ3和κ4表示系統(tǒng)的第2階動模態(tài)。注意到這些實值解列陣中的第1行和第3行分別為質(zhì)量點的兩個模態(tài)位移分量，顯然，兩個模態(tài)位移分量的平方和均為1，表明系統(tǒng)的兩階動模態(tài)都是半徑為1的極化圓周運動，模態(tài)圓周運動以及模態(tài)位移的初始位置（相位）見圖3。系統(tǒng)第1階動模態(tài)的轉(zhuǎn)動方向為逆時針，圓周運動的角速度即為系統(tǒng)第1階圓頻率ω1。第2階動模態(tài)的轉(zhuǎn)動方向為順時針，圓周運動的角速度即為系統(tǒng)第2階圓頻率ω2。第1階動模態(tài)的轉(zhuǎn)動速度隨系統(tǒng)轉(zhuǎn)速ω的增加變得越來越慢，直至趨于第1階動頻的最小值，而第2階動模態(tài)的轉(zhuǎn)動速度隨轉(zhuǎn)速ω的增加會變得越來越快。

圖3 離心振動系統(tǒng)兩階動模態(tài)的極化圓周運動及其相位Fig．3 The polarized circular motion with the two order dynamic modal and the phase of the centrifugal vibrating system

3 雙自由度離心振動系統(tǒng)的質(zhì)點運動軌跡

根據(jù)式（23）可寫出方程組（18）的齊次形式的基解矩陣為

由于Z（0）≠I，可以選取基解矩陣為Z′（t）＝Z（t）Z－1（0），則非齊次微分方程組（18）的通解形式為［26，27］

將式（24）帶入到式（25）可得

令振動系統(tǒng)的初始條件為t＝0時，u（0）＝u0，˙u（0）＝˙u0；v（0）＝v0，˙v（0）＝˙v0。將初始條件代入式（26）和（27）中可得振動系統(tǒng)響應(yīng)解的系數(shù)

質(zhì)點的動力學(xué)響應(yīng)即為質(zhì)點的平面運動軌跡，由式（26），（27）以及（28）可知，質(zhì)點的運動軌跡取決于振動初始條件、振動剛度、剛體轉(zhuǎn)速、質(zhì)點初始位置r0。由于質(zhì)點振動的同時作平面剛體轉(zhuǎn)動，所以質(zhì)點初始位置可視為離心振動系統(tǒng)的初始偏心位置。

為考察質(zhì)點的運動軌跡，進(jìn)一步令振動的初始條件t＝0．0s時，u（0）＝0．1m，v（0）＝0．05m，˙u（0）＝˙v（0）＝0．0m／s，初始偏心位置r0＝0．4m。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)速分別為ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s時，質(zhì)點的位移時程曲線見圖4和5。根據(jù)質(zhì)點隨時間變化可以得到質(zhì)點在轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系下的平面運動軌跡，圖6為剛體轉(zhuǎn)速ω＝0．25r／s和ω＝1．0r／s時的質(zhì)點運動軌跡，對給定的初始條件和振動剛度，質(zhì)點的運動軌跡和振幅強烈依賴于剛體轉(zhuǎn)速。圖7表示質(zhì)點振幅與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線，在一定的振動剛度和振動初始條件下，存在一個臨界轉(zhuǎn)速（在本例中為1．0r／s），超過臨界轉(zhuǎn)速后，質(zhì)點振動幅值會迅速增加，超越線性振動的范圍。前面關(guān)于系統(tǒng)動頻的分析提到過剛體的最大轉(zhuǎn)速，但對質(zhì)點動力響應(yīng)的分析表明，為保持系統(tǒng)的線性振動，剛體的轉(zhuǎn)動應(yīng)該小于剛體臨界轉(zhuǎn)速。

觀察式（26）和（27）右端可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)點的運動實際上由非偏心運動和偏心運動兩部分構(gòu)成，非偏心運動取決于振動初始條件、剛體轉(zhuǎn)速和振動剛度，而偏心運動依賴于初始偏心位置、剛體轉(zhuǎn)速和振動剛度。

圖4 剛體轉(zhuǎn)速為0．25r／s時的位移時程曲線Fig．4 Mass displacement history atω＝0．25r／s

圖5 剛體轉(zhuǎn)速為1．0r／s時的位移時程曲線Fig．5 Mass displacement history atω＝1．0r／s

圖6 轉(zhuǎn)速為0．25r／s和1．0r／s時質(zhì)點的運動軌跡Fig．6 Mass trajectories atω＝0．25r／s andω＝1．0r／s

圖7 質(zhì)點振幅隨剛體轉(zhuǎn)速的變化Fig．7 Mass displacement amplitude vary with the rotational velocityω

圖8和9分別為剛體轉(zhuǎn)速為0．2 5r／s和1．0 r／s時分解的非偏心運動和偏心運動軌跡，注意到非偏心運動的幅值在不同剛體轉(zhuǎn)速下是相同的，而偏心運動的幅值強烈依賴于剛體轉(zhuǎn)速。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)速為0．25r／s時，質(zhì)點的運動軌跡主要是非偏心運動軌跡，偏心運動的影響很小。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)速為1．0r／s時，偏心運動的影響顯著影響質(zhì)點總的運動軌跡。當(dāng)初始偏心位置和振動剛度一定，偏心運動幅值隨剛體轉(zhuǎn)速增加而增大，考慮到非偏心運動和偏心運動的相位因素，這解釋了圖6和7的質(zhì)點振幅隨剛體轉(zhuǎn)速先降后升的變化，特別是剛體轉(zhuǎn)速超過某一臨界值時，偏心運動逐漸主導(dǎo)了質(zhì)點的運動軌跡。

圖8 轉(zhuǎn)速為0．25r／s時的非偏心運動和偏心運動軌跡Fig．8 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝0．25r／s under rotating

圖9 轉(zhuǎn)速為1．0r／s時的非偏心運動和偏心運動軌跡Fig．9 Split non－eccentric and eccentric motional trajectories of the mass atω＝1．0r／s under rotating

4 結(jié) 論

本文借助雙自由度離心振動系統(tǒng)的簡單模型，討論了大范圍剛體轉(zhuǎn)動和雙自由度振動的耦合動力學(xué)問題。在已知剛體轉(zhuǎn)動中，質(zhì)點受到彈簧回復(fù)力、相對慣性力、初始離心力、離心力增量和科氏力。隨著剛體轉(zhuǎn)速的增加，第1階動頻線性降低而第2階動頻線性增加，剛體的最大轉(zhuǎn)速就是振動系統(tǒng)的固有頻率。雙自由度離心振動系統(tǒng)的兩階模態(tài)都是極化的圓周運動，圓周運動的角速度對應(yīng)于系統(tǒng)的兩階圓頻率。

離心振動系統(tǒng)的質(zhì)點運動軌跡與振動初始條件、振動剛度、剛體轉(zhuǎn)速和初始偏心距離有關(guān)。質(zhì)點運動軌跡由非偏心運動和偏心運動兩部分構(gòu)成，非偏心運動取決于振動初始條件、振動剛度和剛體轉(zhuǎn)速，偏心運動取決于初始偏心距離、振動剛度和剛體轉(zhuǎn)速，當(dāng)初始偏心距離和振動剛度一定，偏心運動的振動幅值隨剛體轉(zhuǎn)速增加而增加。在有初始偏心情況下，離心振動系統(tǒng)存在臨界剛體轉(zhuǎn)速，超過臨界轉(zhuǎn)速后質(zhì)點振動幅值迅速升高。對于大范圍剛體運動下的線彈性振動系統(tǒng)，為保持線彈性范圍內(nèi)的振動，應(yīng)考慮臨界的剛體轉(zhuǎn)速。

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