基于希爾伯特變換的非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)解調(diào)

胡異丁， 任偉新，楊 棟， 李 苗

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075;2.五邑大學(xué) 信息工程學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020)

非平穩(wěn)信號(hào)的分析是目前信號(hào)處理中的難點(diǎn)問(wèn)題。非平穩(wěn)信號(hào)泛指具有時(shí)變能量譜的確定性信號(hào)和具有時(shí)變功率譜的隨機(jī)信號(hào)［1］。非平穩(wěn)性可以具體體現(xiàn)為瞬態(tài)信號(hào)，或者對(duì)確定性和隨機(jī)性信號(hào)的調(diào)幅和調(diào)頻等形式［2］。在機(jī)械故障診斷、地震波信號(hào)、結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)研究領(lǐng)域中采集到的振動(dòng)信號(hào)中也往往包含著非平穩(wěn)調(diào)制信號(hào)成分。因此，在振動(dòng)信號(hào)處理等領(lǐng)域中，調(diào)制理論及其包絡(luò)解調(diào)方法的研究一直是眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)。

希爾伯特變換平方解調(diào)是一種較常用的調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)分析方法，其中，在一定條件下選取合適的截止頻率的低通濾波器則可以獲取調(diào)幅信號(hào)的包絡(luò)。最近，Chen等［3］提出了一種新的信號(hào)分解方法-解析模態(tài)分解法，該方法可從信號(hào)中分離出各頻帶內(nèi)的諧波成分。Felderman［4］對(duì)這種方法給出了理論解釋?zhuān)⒄J(rèn)為它適合非平穩(wěn)信號(hào)的低通濾波。本文利用Feldman的濾波器結(jié)合希爾伯特變換平方解調(diào)的方法得出，在滿足一定條件下，可以將非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)進(jìn)行解調(diào)，得到包絡(luò)。

1 希爾伯特變換基本理論

希爾伯特變換是一種積分變換，信號(hào)x(t)的希爾伯特變換H［x(t)］定義為［5］:

可見(jiàn)，H［x(t)］是將信號(hào)x(t)與 1/πt卷積。因此，希爾伯特變換結(jié)果(t)可以理解成為:輸入信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)一個(gè)沖激響應(yīng)為1/πt的線性時(shí)不變系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)。

希爾伯特變換是一種線性的積分運(yùn)算，對(duì)任意標(biāo)量a1、a2以及信號(hào)x1(t)和x2(t)有H［a1x1(t)+a2x2(t)］=a1(t)+a2(t)。常數(shù)的希爾伯特變換為0。信號(hào)x(t)與(t)只是相位譜不同，而信號(hào)的幅度譜，能量譜或者功率譜都是相同的，能量或功率也相同。將信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)兩次希爾伯特變換后得到-x(t)。信號(hào)x(t)與其希爾伯特變換是正交的，即。正弦信號(hào)sin(t)的希爾伯特變換為-cos(t)，余弦信號(hào)cos(t)的希爾伯特變換為 sin(t)［6］。

2 一種基于希爾伯特變換的低通濾波器

Chen等［3］提出了基于希爾伯特變換的一種新的信號(hào)分解方法，可從振動(dòng)時(shí)程信號(hào)中提取出密集頻率的諧波成分。

Feldman［4］通過(guò)改進(jìn)的Bedrosian公式證明了該分解方法，并做出了新的解釋。對(duì)一由慢變成分s(t)與快變成分f(t)相加的信號(hào)x(t)，即x(t)=s(t)+f(t)，且慢變成分s(t)與快變成分f(t)在頻帶無(wú)重疊，若存在復(fù)函數(shù)Y(t)=y(t)+i(t)(其中(t)為y(t)的希爾伯特變換，且y2(t)+(t)=1)，其頻譜處在慢變和快變成分的頻譜之間，則有:

即可得到:

又:

因此可分離得到慢變成分s(t)

式(3)表明，只要慢變成分頻譜成分(不僅僅是單個(gè)諧波)較由一對(duì)正交函數(shù)y(t)和(t)構(gòu)成的復(fù)函數(shù)Y(t)的頻率低，則可以通過(guò)希爾伯特變換被提取出來(lái)。

若定義正交函數(shù)的頻率為某單一頻率ωc，即Y(t)=y(t)+i(t)=cosωct+isinωct，代入式(3)可得:

式(4)表明任何低于正交函數(shù)頻率ωc的慢變成分s(t)從信號(hào)x(t)中被提取出來(lái)，因而也可將其理解為希爾伯特變換低通濾波器，正交函數(shù)的頻率ωc也可稱(chēng)為該低通濾波器的截止頻率。顯然，高于截止頻率ωc的快變成分f(t)也同時(shí)被分離出來(lái)。

3 希爾伯特變換平方包絡(luò)解調(diào)

如果信號(hào)x(t)由慢變信號(hào)s(t)與快變信號(hào)f(t)相乘，即x(t)=s(t)f(t)，這樣就形成了調(diào)幅信號(hào)。為了避免過(guò)調(diào)幅設(shè)s(t)≥0。

令:

根據(jù) Bedrosian 乘積定理［7］:

可得:

令r(t)=f2(t)+H2［f(t)］，顯然r(t)≥0，因此必然包含直流成分。為了簡(jiǎn)化處理，這里假設(shè)快變信號(hào)是兩個(gè)諧波信號(hào)之和:

f(t)的希爾伯特變換為:

或:

式(10)表明，r(t)主要包含了兩個(gè)不同成分:一是常數(shù)部分為兩個(gè)諧波幅度的平方和，另一部分為兩諧波的差頻成分［8］。將式(10)代入式(7)，得到:

令:

則:

設(shè)s(t)的最高頻率分量為 ωmax，若 ω1-ω2?2ωmax，則sA(t)和fA(t)頻譜仍舊不發(fā)生混疊，利用前述希爾伯特低通濾波器，選擇合適的截止頻率ωc則可提取出慢變成分sA(t)。通過(guò)sA(t)可估計(jì)出慢變包絡(luò)A(t):

可以看出，估計(jì)出的慢變包絡(luò)與原始的包絡(luò)僅僅是幅度不同。

本文方法適用的先決條件是確保Z(t)內(nèi)的慢變成分僅有s2(t)項(xiàng)，也即sA(t)和fA(t)的頻譜不發(fā)生混疊。在使用過(guò)程中截止頻率ωc的選擇可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或者實(shí)驗(yàn)中確定。

4 算例

4.1 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制兩個(gè)快變諧波之和

算例1:考慮慢變非平穩(wěn)信號(hào)為線性調(diào)頻信號(hào)s(t)=2+sin(2π×0.01×t2)，快變信號(hào)為兩個(gè)諧波信號(hào)之和f(t)=0.1×cos(2π ×8t)+0.2×cos(2π ×22t)。調(diào)制以后的信號(hào)為x(t)=s(t)f(t)，如圖1(a)所示，其短時(shí)傅里葉變換的時(shí)頻譜如圖1(b)所示。考慮到慢變成分的頻帶寬度，選擇截止頻率為6 Hz，提取的包絡(luò)如圖1(c)所示。圖1(d)為解調(diào)后的快變成分的時(shí)頻圖。可見(jiàn)該方法能成功的完成非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)。

圖1 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制兩個(gè)諧波之和的信號(hào)的解調(diào)Fig.1 Demodulation of a slow non-stationary function modulating composition of two harmonics

圖2 慢變間隔高斯脈沖調(diào)制快變線性調(diào)頻信號(hào)的解調(diào)Fig.2 Demodulation of an interval gaussian function modulating linear frequency modulation signal

4.2 慢變非平穩(wěn)函數(shù)調(diào)制非平穩(wěn)快變成分

算例2:考慮一慢變間隔的高斯脈沖信號(hào)s(t)調(diào)制快變的線性調(diào)頻信號(hào)f(t)=sin［2π ×(20-0.2t)×t］，即x(t)=s(t)f(t)，如圖2(a)所示。其短時(shí)傅里葉變換的時(shí)頻譜如圖2(b)所示?？紤]到慢變成分的頻帶寬度，選擇截止頻率為6 Hz，圖2(c)和圖2(d)分別為解調(diào)后的包絡(luò)以及余下的快變成分的時(shí)頻圖。從圖中可以看出慢變間隔的高斯脈沖和線性調(diào)頻信號(hào)都能夠很好地恢復(fù)出來(lái)。

5 結(jié)論

非平穩(wěn)信號(hào)的分解是信號(hào)處理中的難點(diǎn)問(wèn)題，振動(dòng)信號(hào)處理等領(lǐng)域中非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)的解調(diào)一直受到關(guān)注。本文利用希爾伯特變換方法提取了非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)的包絡(luò)，從而實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)的分解。該方法取決于包絡(luò)成分和快變成分的頻譜分布在一定條件下不發(fā)生混疊以及選取合適的截止頻率，截止頻率可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)或者經(jīng)驗(yàn)來(lái)選取。數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

［1］劉本永.非平穩(wěn)信號(hào)分析導(dǎo)論［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2006.

［2］BorgnatP，F(xiàn)landrin P. Time-frequency surrogates for nonstationary signal analysis［C］.8th IMA International Conference on Mathematics in Signal Processing，Cirencester，UK，2008.

［3］Chen G D，Wang Z C.A signal decomposition theorem with Hilbert transform and its application to narrowband time series with closely spaced frequency components［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2012，28:258-279.

［4］Feldman M.A signal decomposition or lowpass filtering with Hilberttransform ［J］. MechanicalSystemsand Signal Processing，2011，25(8):3205-3208.

［5］Hahn S L.Hilbert transform in signal processing［M］.Artech House，1996.

［6］Feldman M.Hilbert transform in vibration analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(3):735 802.

［7］Bedrosian E.A product theorem for hilbert transform［J］.Proceedings of the IEEE，1963，51:868-869.

［8］Feldman M.Hilbert transform applications in mechanical vibration［M］.John Wiley＆ Sons，2011.