分數(shù)布朗運動環(huán)境下可轉(zhuǎn)換債券定價模型

李琛煒，薛 紅

(西安工程大學 理學院，西安710048)

可轉(zhuǎn)換債券是發(fā)行公司事先規(guī)定持有人有權(quán)在債券到期日(或到期前)按發(fā)行時規(guī)定的轉(zhuǎn)換比率將其持有的債券轉(zhuǎn)換成發(fā)行公司的股票.可轉(zhuǎn)換債券是一種新型的金融衍生產(chǎn)品，是一種期權(quán)式債券.文獻[1]在假定股票價格服從幾何布朗運動的條件下，研究了發(fā)放紅利對可轉(zhuǎn)換債券定價的影響.文獻[2]利用隨機分析理論和鞅方法，得到了幾何布朗運動環(huán)境下支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券定價公式.分數(shù)布朗運動具有自相似性、長期相依性等特征，它能很好地刻畫標的資產(chǎn)的價格波動規(guī)律，這使得它成為研究標的資產(chǎn)價格過程的一個更為合適的工具.關于分數(shù)布朗運動隨機分析理論可參見文獻[3－4].文獻[5]在無風險利率、股票價格的期望收益率和波動率均為常數(shù)條件下，利用風險中性概率測度，得到了分數(shù)布朗運動環(huán)境下可轉(zhuǎn)換債券的定價公式.本文在無風險利率r(t)、期望收益率μ(t)、股票波動率σ(t)和紅利率1(t)均為時間的確性函數(shù)條件下，建立分數(shù)布朗運動環(huán)境下的金融市場數(shù)學模型，利用分數(shù)布朗隨機分析理論，得到了具有支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券定價公式，推廣了文獻[5]的結(jié)論.

1 分數(shù)布朗運動環(huán)境下金融市場數(shù)學模型

假設金融市場僅有兩種證券，一種是無風險資產(chǎn)即債券，其價格滿足方程

其中:r(t)為無風險利率，另一種風險資產(chǎn)即股票，其價格滿足

其中{BH(t)，t≥0}是定義在完全概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的分數(shù)布朗運動，μ(t)為期望收益率、q(t)為紅利率、σ(t)為股票波動率，引入新的等價概率測度Q，滿足

引理1[6](分數(shù)風險中性定價)任意自然σ流上的可測未定權(quán)益ζ在任意時刻t∈[0，T]的價格為其中[·]為概率測度下的擬條件數(shù)學期望.

引理2[6]設函數(shù)f滿足E[f(BH(T))]＜∞，則對任意t≤T有

定理3[6]隨機微分方程(3)的解為

且

2 分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券定價

定義4[5]假定可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換只可發(fā)生在債券到期時刻T，可轉(zhuǎn)換債券時刻T的價值VT為

其中:P代表單純的債券價值，C代表轉(zhuǎn)換價格，M代表債券的面值，S(T)代表時刻股票價格.

定理5可轉(zhuǎn)換債券在t時刻價值為

其中

證明 可轉(zhuǎn)換債券在t時刻價值

其中

注 當t=0，無風險利率、期望收益率和波動率均為常數(shù)且不考慮分紅時，可得文獻[5]結(jié)果

其中:N(x)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，且

特別地，當t=0，無風險利率、期望收益率和波動率均為常數(shù)且不考慮分紅時，可得文獻[7－8]結(jié)果，

其中N(x)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，且

3 結(jié)語

本文借助分數(shù)布朗運動隨機分析理論，建立了分數(shù)布朗運動環(huán)境下的金融市場數(shù)學模型，得到了分數(shù)布朗運動環(huán)境下具有支付紅利的可轉(zhuǎn)換債券的定價公式，對可轉(zhuǎn)換債券市場的價格定制具有重要參考意義.

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