鋼板彈簧Fancher模型物理機理及參數(shù)辨識

何 榮，郭 睿，管 欣，彭立恩

（吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022）

鋼板彈簧非獨立懸架承載特性直接影響整車的操縱穩(wěn)定性和乘坐舒適性，是整車開發(fā)中重要的總成特性之一。因此，建立精準的鋼板彈簧非獨立懸架總成特性模型對于整車動力學(xué)開發(fā)具有非常重要的意義［1-2］。由于鋼板彈簧非獨立懸架的各片簧之間具有摩擦明顯、多片簧不同時起作用、加載和卸載摩擦特性不同的特點，鋼板彈簧非獨立懸架表現(xiàn)出了很強的非線性遲滯特征，例如小變形運動時的乘適剛度（Ride stiffness）與大變形運動時的名義剛度（Nominal stiffness）常表現(xiàn)出數(shù)倍的差距［3］。因此，在建立高精度汽車動力學(xué)模型的時候，必須考慮鋼板彈簧懸架的非線性遲滯特性。

目前，國內(nèi)外學(xué)者和工程人員大致從兩個角度對鋼板彈簧遲滯特性模型進行了研究，一類是基于總成結(jié)構(gòu)的承載特性模型，常用方法是通過有限元非線性接觸算法模擬板簧各片間的摩擦特性［4］；另一類是基于總成特性的模型［5］，如美國汽車工程學(xué)會推薦的三連桿模型，該方法結(jié)構(gòu)簡單，并考慮了鋼板彈簧懸架的部分結(jié)構(gòu)特征，在運動學(xué)特性計算方面的精度較高［6］。Fancher等［7-8］提出用特性方程來描述懸架非線性遲滯特性的方法，該模型是根據(jù)鋼板彈簧大量特性實驗結(jié)果總結(jié)出的半經(jīng)驗?zāi)Ｐ停F(xiàn)已廣泛應(yīng)用于汽車動力學(xué)仿真軟件CarSim 和TruckSim 中［9-10］。在參數(shù)選取方面，F(xiàn)ancher等［7］建議根據(jù)鋼板彈簧加載、卸載實驗曲線分別求出載荷變化與懸架變形的關(guān)系表達式。對于延遲系數(shù)β，需具有仿真曲線盡可能貼近遲滯環(huán)的特點［7］，文獻［10］建議在載荷差異超過95%時的變形量為3β?？梢奆ancher模型參數(shù)的選取有很大隨機性，需要人為地確定。

本文在Fancher模型的基礎(chǔ)上，采用非線性擬合的方法一次性獲得加載、卸載包絡(luò)曲線參數(shù)以及加載、卸載延遲系數(shù)β，通過與鋼板彈簧特性實驗結(jié)果的對比，表明該擬合參數(shù)方法具有較高的精度。同時，本文推導(dǎo)了該模型的微分表達形式，探討了其物理機理、適用范圍和局限性。

1 鋼板彈簧遲滯特性模型

Fancher通過大量實驗［7］認為鋼板彈簧有相當一致的載荷變形特性，可以用以下公式描述鋼板彈簧外特性：

式中：F為懸架承載力；δ為懸架垂向變形量；FENV為懸架包絡(luò)線的邊界；β為延遲系數(shù)；下標i代表仿真當前時刻，i－1代表仿真上一時刻。

模型分加載、卸載兩種工況，加載時選用包絡(luò)線上邊界FENVU和加載延遲系數(shù)βU；卸載時選用包絡(luò)線下邊界FENVL和卸載延遲系數(shù)βL。

Fancher總結(jié)的鋼板彈簧載荷和變形的關(guān)系等式可以用如下微分方程來解釋，從而更深入地分析模型的適用范圍和局限性。

式中：FS為懸架承載力；ΔS為懸架垂向變形量。

將FENV看成常量，可得

式中：ΔS連續(xù)變化，當其變化量ΔΔS特別小，為微小量時，可以將上式用一階差分形式代替：

進一步整理，可得：

根據(jù)Fancher模型仿真曲線的特點，提出了其摩擦力機理模型，如圖1所示。

圖1 摩擦力機理模型Fig.1 Friction mechanism model

該模型由主彈簧與多個串聯(lián)彈簧－摩擦力單元并聯(lián)而成，當加載和卸載時，剛度為主彈簧的剛度，當加載、卸載遷變過渡時，曲線呈變剛度特性，由于詳細內(nèi)容與本文無關(guān)，不在這里贅述。

通過以上分析可以看出：Fancher模型是通過大量實驗總結(jié)出的鋼板彈簧懸架上下位形和垂直載荷關(guān)系的模型，通過上下包絡(luò)線的不同剛度可以模擬上下剛度不對稱和非線性，通過加載、卸載不同的β值模擬加載和卸載過渡曲線的不同形狀，懸架受到載荷距離包絡(luò)線上下邊界越遠，認為彈簧剛度越大，載荷趨近包絡(luò)線越快；該模型是一個穩(wěn)態(tài)模型，不是動態(tài)模型，僅僅描述了穩(wěn)態(tài)剛度非線性的關(guān)系，并沒有解決隨時間動態(tài)變化的關(guān)系，也就是說在位形不變時，F(xiàn)ancher模型認為懸架受到的載荷是一個定值，與前一時刻載荷值相等，保持不變，不隨外界載荷變化而變化，這也是該模型最大的局限性。

2 Fancher模型參數(shù)獲取方法

根據(jù)鋼板彈簧垂向載荷和位形變化的關(guān)系，F(xiàn)ancher將模型分加載和卸載兩種工況，并分別賦予不同的參數(shù)值，如包絡(luò)線的上下邊界的參數(shù)以及加載、卸載延遲系數(shù)βU、βL。

2.1 現(xiàn)有參數(shù)選取方案

Fancher在文獻［7］中提出：包絡(luò)線上下邊界和延遲系數(shù)的選取應(yīng)根據(jù)外特性實驗測試結(jié)果，將上下邊界表示成函數(shù)或者表格形式，其中函數(shù)的選取由實驗測試結(jié)果確定，若上下邊界趨于線性，則選用一次多項式擬合，若曲線非線性特征明顯，則采用多次項擬合，目標是與實驗曲線上下邊界誤差較小，延遲系數(shù)的選取使得擬合曲線與實驗測量的過渡曲線更貼近?，F(xiàn)有的商用軟件CarSim和TruckSim在模擬懸架彈簧特性中采用了Fancher模型，對于上下邊界，建議用戶輸入加載和卸載的彈簧垂直載荷和變形離散點定義包絡(luò)線與變形量的關(guān)系。其中加載、卸載延遲系數(shù)由圖2確定，即用一個相當于時間常數(shù)的空間等價量來描述加載、卸載的遷變，將覆蓋上下邊界差異載荷值95%的變形量定義為數(shù)學(xué)模型中的3β。

圖2 延遲系數(shù)選取示意圖Fig.2 Delay coefficient of suspension

2.2 非線性參數(shù)擬合方法

根據(jù)鋼板彈簧遲滯特性曲線上下邊界的非線性程度，本文在擬合包絡(luò)線的上下邊界FENV時用彈簧變形量ΔS的五次多項式表示：

當加載時，符號函數(shù)取正；卸載時取負。根據(jù)某車型懸架的名義剛度測試實驗結(jié)果（見圖3）進行擬合Fancher模型的參數(shù)。

為使得目標函數(shù)J＝ ∑（FSi－FDATAi）2最小，選取馬夸爾特優(yōu)化算法尋找參數(shù)向量。其中FSi為變形ΔSi對應(yīng)的懸架垂直載荷，F(xiàn)DATAi為該變形對應(yīng)的懸架載荷實驗測試數(shù)據(jù)。

圖3 名義剛度測試數(shù)據(jù)Fig.3 Nominal stiffness test data

馬夸爾特法［11］是使用最廣泛的非線性最小二乘算法，是利用梯度求最小值的算法，同時具有梯度法和牛頓法的優(yōu)點。當拉格朗日乘子較大時，需要大范圍探測最優(yōu)參數(shù)，步長約等于梯度下降法的步長；當朗格朗日乘子較小時，可以小范圍精細探測參數(shù)，步長近似等于牛頓法步長。

本次迭代一共進行了87步，給出初始參數(shù)猜測值p（1）＝［1，1，1，1，1，1，1］，其中前6個為包絡(luò)線上下邊界五次多項式的系數(shù)，最后一個是延遲系數(shù)β的初始值，前26步由于與目標值差距較大，采用較大步長，如前5步的步長分別為4.5、5.1、10、20、40，后面由于與目標值差距較小，采用小步長，迭代步長如圖4所示，直到目標函數(shù)誤差小于10－6。

圖4 迭代步長Fig.4 Step size curve

通過上述方法擬合的Fancher模型參數(shù)如表1所示，其中p1～p6為包絡(luò)線上下邊界五次多項式的系數(shù)，β為延遲系數(shù)擬合值。

采用非線性參數(shù)擬合方法可以一次性擬合出所有參數(shù)，而不需要根據(jù)實驗曲線人為地估計β的大小，同時，由于采樣間隔Δ（ΔS）和β同時影響過渡曲線，采用非線性最小二乘擬合方法不需要考慮β與步長間的關(guān)系，傳統(tǒng)的擬合有兩步誤差，一是擬合包絡(luò)線上下邊界時產(chǎn)生的，二是加入了β的取值與實驗曲線相比較時產(chǎn)生的；而非線性擬合是一次性擬合，精度得到了提高。

表1 參數(shù)擬合Table 1 Parameters fitting

3 模型仿真及試驗驗證

3.1 鋼板彈簧遲滯特性試驗

鋼板彈簧垂直剛度實驗分為名義剛度和乘適剛度實驗，實驗要求測量不同加載、卸載情況下的靜態(tài)位移與靜態(tài)載荷之間的關(guān)系。實驗臺架如圖5所示。實驗過程中為避免高頻情況下自身產(chǎn)生的慣性力影響，作動器施加的速度不可大于1 mm／s。

圖5 測試臺架示意圖Fig.5 Schematic diagram of test bench

3.2 模型仿真與驗證

將得到的名義剛度試驗數(shù)據(jù)進行非線性參數(shù)擬合，得到表1所示的模型參數(shù)。將仿真與實驗結(jié)果進行對比如圖6、圖7所示。仿真與試驗結(jié)果對比表明：該非線性參數(shù)擬合方法具有較高的精度，能夠很好地模擬鋼板彈簧非線性遲滯特性。

4 結(jié) 論

圖6 名義剛度下非線性承載特性曲線Fig.6 Force－deflection hysteresis characteristics of suspension for nominal stiffness

圖7 乘適剛度下非線性承載特性曲線Fig.7 Force-deflection hysteresis characteristics of suspension for ride stiffness

（1）對Fancher提出的垂直載荷與變形的關(guān)系式進行了微分方程解釋和推導(dǎo)，指出該模型是一個穩(wěn)態(tài)模型，描述的是鋼板彈簧穩(wěn)態(tài)剛度非線性關(guān)系，不能模擬時域內(nèi)鋼板彈簧的動態(tài)特征，也沒有反映較高頻率、幅值加載時剛度變化情況，具有較大局限性。

（2）提出了Fancher模型非線性參數(shù)擬合方法，將模型分為加載和卸載兩種工況，一次性獲得包絡(luò)線上下邊界以及延遲系數(shù)等所有參數(shù)，避免了由經(jīng)驗估算參數(shù)產(chǎn)生的誤差。

（3）使用擬合參數(shù)進行仿真，將仿真與實驗結(jié)果進行對比，表明該非線性參數(shù)擬合方法具有較高的精度。

［1］Geluk C T T.Vehicle Vibration Comfort：the Influence of Dry Friction in the Suspension［M］.Eindhoven：Technische Universiteit Eindhoven，2005.

［2］管欣.汽車動態(tài)模擬國家重點實驗室車輛運動動力學(xué)建模與仿真的研究進展［R］.長春：吉林大學(xué)汽車仿真與控制國家重點實驗室，2009.Guan Xin.Vehicle dynamics modeling and simulation research progress of state key Laboratory of automobile dynamic simulation［R］.Changchun：State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control，Jilin University，2009.

［3］Gillespie Thomas D.Fundamentals of Vehicle Dynamics［M］.Warrendale：Society of Automotive Engineers，Inc.，1992.

［4］丁能根，馬建軍.鋼板彈簧遲滯特性有限元分析［J］.汽車工程，2003，25（1）：12－14.Ding Neng－gen，Ma Jian－jun.Finite element analysis on the hysteresis behavior of leaf spring［J］.Automotive Engineering，2003，25（1）：12－14.

［5］SAE HS－788.Manual on dedign and application of leaf springs［S］.1982.

［6］管欣，齊海政，詹軍.基于SAE三連桿模型的鋼板彈簧遲滯特性建模［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：工學(xué)版，2010，40（增刊）：1671－5497.Guan Xin，Qi Hai－zhong，Zhan Jun.Modeling for leaf spring hysteretic characteristic based on SAE three－link model［J］.Journal of Jilin University（Engineering and Technology Edition），2010，40（Sup.）：1671－5497.

［7］Fancher P S，Ervin R D，MacAdam C C，et al.Measurement and representation of the truck leaf springs［C］∥SAE Paper，800905.

［8］Cebon D.Simulation of the response of leaf springs to broad band random excitation［J］.Vehicle System Dynamics，1986，15：375－392.

［9］CarSim Help Manual（8.02）［Z］.2009.

［10］TruckSim Help Manual（8.0）［Z］.2009.

［11］Madsen K，Nielsen H B，Tingleff O.Methods for non－linear least squares problems［D］.Lyngby：Technical University of Denmark，2004.