坐標轉換模型及轉換精度影響因素研究

魏生文，王山東，卓中文

(河海大學 地球科學與工程學院，江蘇南京210098)

城市建設、交通工程、環(huán)境保護等都離不開基礎測繪成果的支撐。但目前我國測繪成果主要是1954坐標系、1980西安坐標以及地方獨立坐標系下的成果，為了更有效的利用資源，就需要測繪成果在不同坐標系間轉換。坐標轉換成果的精度與所選擇的坐標轉換模型、求轉換參數(shù)公共點個數(shù)、公共點空間分布有一定關系。

本文以某地區(qū)具有兩套坐標的控制點平面坐標為依據(jù)，分別用相似變換和仿射變換及不同公共點個數(shù)求解轉換參數(shù)進行坐標轉換，分析成果精度之間的差異及規(guī)律，得出一些有益的結論[1]。

1 坐標轉換模型

從轉換模型本身及其參數(shù)的含義來講，轉換方法分為兩類:一類是考慮坐標系間關系的轉換模型，這類模型的參數(shù)具有明確的幾何意義，或者說坐標系間的關系可用參數(shù)表示，如相似變換模型；另一類是數(shù)值逼近模型，這類模型的參數(shù)和坐標系間的關系無關，轉換參數(shù)沒有明確的幾何關系，例如仿射轉換模型、多項式擬合模型[2]。

1.1 相似變換

任一點在新坐標系中的坐標為(X，Y)，在舊坐標系中對應坐標為(x′，y′)，則相似變換的數(shù)學模型為

式中:X、Y為原坐標在目標坐標系中的新坐標值；x、y為舊坐標系中坐標點的原坐標值；Δ x、Δ y為新舊坐標系轉換平移參數(shù)；K為縮放比例；α為旋轉角度。

令 d=kcosα，c=ksinα，a= Δ x，b= Δ y ；則式(1)可表示為:

引入誤差理論，則式(2)可以變?yōu)?

公共點越多，則解算得轉換參數(shù)精度越高，且公共點分布對解算也有很大影響，公共點分布越均勻，轉換精度也相應較高。為解算上式四個未知轉換參數(shù)，該轉換模型至少需要兩個以上已知公共點。當公共點個數(shù)冗余2個時，采用最小二乘法計算。

假定新舊網中共有n個公共點，建立間接平差誤差方程，如式(4)所示。

由此可按間接平差原理解算出相似變換模型轉換參數(shù)的最優(yōu)解。由上式推導可知，相似轉換的過程就是將新坐標系下的元素，經過平移、旋轉、縮放后，與原坐標下相配合，保持網形不變的過程。其僅適用于投影方式、橢球元素、橢球定位均相同的情形。優(yōu)點是轉換參數(shù)的意義較為明確，計算簡便。不足之處在于，該方法只適用于小范圍內、局部坐標系間的坐標轉換，且沒有考慮兩坐標系間的局部變形和誤差累積，轉換精度較低[3]。

1.2 仿射變換

仿射變換數(shù)學模型為

式中:a1、b1分別為坐標軸X、Y方向的伸縮比例參數(shù)；a2、b2分別為X 、Y 方向的旋轉參數(shù)；a0、b0分別為x、y方向的平移參數(shù)，至少需要3個已知公共點來解算變換參數(shù)。

引入平差誤差理論，則式(5)可以變?yōu)?

公共點越多，則解算得轉換參數(shù)精度越高，且公共點分布對解算也有很大影響，公共點分布越均勻，轉換精度也相應較高。為解算式(6)中六個未知轉換參數(shù)，該轉換模型至少需要三個以上已知公共點。當公共點個數(shù)多余三個時，采用最小二乘法計算。

假定新舊網中共有n個公共點，建立誤差方程，如式(7)所示。

由此按間接平差原理可解算出仿射變換模型轉換參數(shù)的最優(yōu)解，最大符合轉換區(qū)域公共點的坐標一致性。仿射轉換不具有正形性，其主要特點是:新舊坐標系的點和直線存在一一對應關系，新舊坐標系的任何方向的兩段長度比相等，任何三角形面積對比相等[4]。

2 實例計算與分析

在進行坐標轉換時，首先需要選取一定的數(shù)量的公共點，并利用這些公共點在新、舊兩個坐標系中坐標計算該區(qū)域的轉換模型參數(shù)，從而得到適合該區(qū)域坐標系轉換模型，最后實現(xiàn)兩個坐標系的轉換?？梢姽颤c的個數(shù)以及公共點的位置分布都會影響到最終的轉換結果。

以某市主城區(qū)北京54坐標與西安80坐標轉換為例，已知14個公共點，如表1所示，其點位分布如圖1所示，覆蓋城區(qū)范圍400 km2。為了比較不同轉換模型的適用范圍與轉換精度，以及公共點選取的個數(shù)與分布對轉換精度的影響，做了以下幾組實驗。

2.1 公共點分布對轉換成果精度的影響

公共點個數(shù)相同，分布不同。為了驗證公共點的分布對坐標轉換的影響，分別選取其中的3個點和5個點作為公共點進行實驗，考慮位置均勻分布和密集分布的兩種情況，設計如下的公共點點位組合，如表2所示。

利用上述組合中的公共點分別進行相似變換、仿射轉換、多項式轉換模型轉換，選取5、10、11、14作為檢核點，對比其在各種轉換模型中的不同組合的坐標轉換差值，結果列于表3、表4。

表1 公共點坐標 單位:m

圖1 公共點分布圖

表2 公共點組合方式

表3 相似變換模型不同組合中平面坐標較差

表4 仿射轉換模型不同組合中平面坐標較差

在表 3中，A、C組中10、11點均勻分布在區(qū)域內，與真值較差較小，14號點因靠近13號點而誤差最小，5號點離轉換區(qū)域中心最遠，精度最低。B、D組中，靠近轉換區(qū)域的5和11號點轉換精度相當，10和14號點里轉換區(qū)域較遠，轉換精度較低。從A與B組、C與D組轉換結果對比，可看出均勻分布在轉換區(qū)域內時，轉換精度較高，離轉換區(qū)域中心越遠，則精度越低。即公共點的均勻分布，可提高坐標轉換的精度。

在表4中同樣驗證了表3的結論，即靠近公共點附近轉換精度最高，均勻分布在轉換區(qū)域內的轉換精度幾乎一致的，遠離轉換區(qū)域的檢核點精度最低。

2.2 公共點個數(shù)對轉換成果精度的影響

分布均勻，數(shù)量不同。分別以相似變換、仿射變換為例，在位置分布均勻的前提下，逐步增加公共點個數(shù)，其余點作為檢核點檢驗坐標轉換的精度，試驗結果如表5、表6、圖2所示。

表5 不同個數(shù)公共點對相似變換轉換成果精度的影響 單位:m

表6 不同個數(shù)公共點對仿射變換轉換成果精度的影響 單位:m

圖2 轉換成果精度對比

從表5、表6看出，當公共點個數(shù)大于四個時，轉換成果的精度有了明顯提高，當公共點個數(shù)達到7～8個時，轉換精度達到穩(wěn)定，相似變換模型中精度從0.051 m提高到0.034 m，仿射變換轉換模型的精度也從0.065 m提高到0.05 m，當增加到9個公共點時，轉換成果精度達到0.029 m，可能由于含有粗差點所致。

2.3 坐標轉換模型對轉換成果精度的影響

從表7數(shù)據(jù)可知，當求解坐標轉換參數(shù)的公共點個數(shù)相同時，采用相似變換和仿射分別進行坐標轉換，當公共點個數(shù)為3個時，相似變換轉換成果的精度明顯高于仿射變換轉換成果的精度。當公共點個數(shù)大于4個時，相似變換轉換成果的精度略高于仿射變換轉換成果的精度，但差異不明顯。

表7 不同轉換模型對坐標轉換成果精度的影響 單位:m

3 結 論

(1)公共點的分布情況，對坐標轉換成果的精度產生很大影響。選取均勻分布的公共點，轉換成果的精度較高；反之，則轉換精度較低。且離公共點越近，轉換成果精度越高。

(2)公共點的個數(shù)直接影響轉換成果的精度。當選取的公共點個數(shù)增加時，轉換成果的精度明顯提高，當達到一定數(shù)量時，轉換成果的精度趨向穩(wěn)定。

(3)在相同個數(shù)公共點、相同分布的情況下，相似變換轉換模型的轉換成果精度相對較高，更適合于小區(qū)域坐標轉換模型的選擇。

[1]趙寶峰，張 雪，蔣廷臣.坐標轉換模型及公共點選取對轉換成果精度的影響[J].淮海工學院學報，2009，18(4):54-56.

[2]丁士俊，張忠明.幾種不同坐標變換方法問題的研究[J].四川測繪 ，2005 ，28(1):16-19.

[3]勾啟泰.大地坐標系轉換技術與應用研究[D].南京:河海大學，2010.

[4]徐生望，周建國，許 超.坐標轉換模型問題研究[J].西部探礦工程，2009，21(2):162-165.