立體幾何中的平面問題——勾股定理的應(yīng)用

張麗萍

教師注重對(duì)學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)，需要從學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將生活中的問題融入到數(shù)學(xué)模型當(dāng)中。同時(shí)，教師要注重學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐過程中掌握新知識(shí)[1]。在教材中，很多題目都將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中。從學(xué)生的角度來說，在求解直角三角形的問題時(shí)，勾股定理可以快速、準(zhǔn)確地對(duì)生活中的問題進(jìn)行處理。另外，立體幾何中勾股定理問題也是考試中的重點(diǎn)，其具體的命題形式也發(fā)生不斷的變化，所以，教師要讓學(xué)生從本質(zhì)上了解勾股定理，以不變應(yīng)萬(wàn)變。下面就對(duì)立體幾何中的平面問題進(jìn)行詳細(xì)和深入的闡述。

一、勾股定理在包含問題中的應(yīng)用

例1 如圖1所示，鐵棍長(zhǎng)80cm，放在長(zhǎng)80cm，寬60cm，高100cm的長(zhǎng)方形木箱中，是否可以放入？

這一題并不陌生，在長(zhǎng)方形木箱中連接兩條線段，并運(yùn)用兩次勾股定理，求出長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度80cm。因此，長(zhǎng)80cm的鐵棍可以放入長(zhǎng)方形木箱中。

圖1 長(zhǎng)方形木箱示意圖

二、勾股定理在最短距離中的應(yīng)用

例2 如圖2所示，圓柱體高8cm，底面積半徑r=3cm。圓柱體底面上的A點(diǎn)向上底面與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B點(diǎn)移動(dòng)，沿著圓柱體側(cè)面移動(dòng)的最短路程是多少?

分析：這道題將勾股定理方面的知識(shí)融入到物體移動(dòng)問題當(dāng)中。在這道題當(dāng)中，很多學(xué)生容易將A點(diǎn)與B點(diǎn)進(jìn)行連接，然后運(yùn)用勾股定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)之間的距離，即，并得出最短路程是10厘米的結(jié)論。如果認(rèn)真想一想，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，這種算法中包含很多疑點(diǎn)。

圖2 圓柱體示意圖

解析：這一類題目的關(guān)鍵主要分為三部分：第一步閱讀：可以從題目中獲取以下信息：（1）圓柱體的高度為8cm，底面半徑為3cm；（2）物體沿著圓柱體的側(cè)面向B點(diǎn)移動(dòng)；（3）A，B兩點(diǎn)之間的最短路程是多少。第二步深入：物體移動(dòng)只能在圓柱體外側(cè)移動(dòng)，不能在圓柱體內(nèi)部進(jìn)行移動(dòng)，所以上述直接連接AB兩點(diǎn)的做法是錯(cuò)誤的[2]。圓柱體的側(cè)面是曲面，所以要將圓柱體的側(cè)面進(jìn)行展開，并連接AB兩點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的連線就是AB兩點(diǎn)之間的最短路程。第三步計(jì)算：根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)之間的最短路程。通過對(duì)這道題的分析，可以衍生出下一道題。

圖3 圓柱體展開示意圖

例3 如圖4所示，長(zhǎng)方形木箱，長(zhǎng)是26cm、寬是20cm、高12cm，A點(diǎn)處一物體，其從A點(diǎn)向與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B點(diǎn)移動(dòng)，問A點(diǎn)到B點(diǎn)的最短路程是多少？

分析：很多學(xué)生不知道如何下手，AB之間距離何時(shí)最短？這一道題與上一道題類似，所以可以仿照上一道題進(jìn)行分析和計(jì)算。

因此，A點(diǎn)物體沿著圓柱體外側(cè)向B點(diǎn)移動(dòng)，最短路程為

圖4 長(zhǎng)方形木箱示意圖

第一步閱讀：從題目可以獲得以下信息：（1）長(zhǎng)方形木箱的長(zhǎng)為26cm、寬為20cm、高為12cm；（2）需要求得AB兩點(diǎn)之間的最短路程，不僅要找出題目中所含的隱藏信息，還要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步分析：題目中隱含物體沿著長(zhǎng)方形木箱的表面運(yùn)動(dòng)；第二步分析：物體不在長(zhǎng)方形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以直接連接AB兩點(diǎn)之后，運(yùn)用兩次勾股定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)之間的路程是不對(duì)的，必須將長(zhǎng)方體展開。長(zhǎng)方體展開方式的選擇，直接決定計(jì)算的準(zhǔn)確性。學(xué)生通過抽象思維，并進(jìn)行實(shí)際操作，可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形展開方法有三種，如圖5所示。第三步計(jì)算：利用勾股定理計(jì)算。

所示圖形（1）是將長(zhǎng)方體木箱沿著前面和上面展開，其中AH=AE+EH=12+20=32cm，HB=26厘米，所以

圖（2）是將長(zhǎng)方體木箱的前面和右面的兩個(gè)面進(jìn)行展開，此時(shí)，AC=AG+GC=43厘米，CB=12厘米，所以

圖（3）是將長(zhǎng)方體木箱中的左面和上面兩個(gè)面展開，其中AB

三、勾股定理在生活中的應(yīng)用

例4 如圖6，學(xué)校操場(chǎng)為長(zhǎng)方形，部分學(xué)生為了尋找“捷徑”而避開轉(zhuǎn)角，在操場(chǎng)內(nèi)踩出一條“路”。問學(xué)生少走多少步（假設(shè)2步為1m）。

圖6 操場(chǎng)示意圖

分析：學(xué)生需要將“捷徑”的路長(zhǎng)和原來走的路程求出，就可以算出學(xué)生至少少走多少步路。

解：學(xué)生原來走過的路為6m+8m=14m。假設(shè)學(xué)生原來走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm，則，所以學(xué)生至少少走4m，而1m=2步，所以學(xué)生至少少走8步路。

分析：學(xué)生在立體幾何計(jì)算中遇到走“捷徑”的問題時(shí)候，應(yīng)該以此題為樣板，進(jìn)行合理計(jì)算。另外，老師在考查勾股定理知識(shí)的時(shí)候，要將生活中的實(shí)際問題融入到數(shù)學(xué)計(jì)算中，諸如，小草微微笑，請(qǐng)你多走幾步路。

四、勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用

例5 圖7中的虛線網(wǎng)格就是所謂的正三角形網(wǎng)格，其中每個(gè)三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，也叫單位正三角形。

（1）通過觀察直接計(jì)算出正三角形的高和面積。

（2）圖7中的平行四邊形ABCD至少含有多少個(gè)正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？

（3）求出圖7中中位線AC的長(zhǎng)度，可以作輔助線。

（4）求出圖7中四邊形EFGH的面積。

圖7 網(wǎng)格計(jì)算示意圖

分析：學(xué)生要將網(wǎng)格的形式弄清楚，并研究圖形和網(wǎng)格之間的關(guān)系，每個(gè)圖形中包含多少網(wǎng)格，進(jìn)而借助網(wǎng)格知識(shí)來了解圖形的相關(guān)性質(zhì)[3]。

（2）由圖7可直接得出平行四邊形ABCD面積中，包含24個(gè)單位正三角形，所以其面積為

（3）過A作AK⊥BC于點(diǎn)K（如圖7所示），則在直角三角形ACK中，故（4）過點(diǎn) G、H、E、F 作矩形 MNPQ（如圖 7）。因?yàn)?，所以四邊形MNPQ的面積=；三角形

五、勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例6 如圖8所示，在一次航海活動(dòng)中，甲從港口A點(diǎn)出發(fā)，沿東偏北30°方向走了50 3，三角形，所以四邊形EFGH的面積=8■ m到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了50m到達(dá)目的地C點(diǎn)。

（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。

（2）確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向。

圖8 實(shí)際問題示意圖

分析：把航海問題轉(zhuǎn)化為立體幾何中的勾股定理問題進(jìn)行求解。

解：（1）過B點(diǎn)作BE//AD，如圖8所示

（2）在直角三角形ABC中，

即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向

結(jié)論：本題為航海實(shí)際問題，學(xué)生從已知條件出發(fā)得出△ABC是直角三角形的結(jié)論，并運(yùn)用勾股定理知識(shí)求解。

六、結(jié)論

在立體幾何中的平面問題——勾股定理的應(yīng)用中，學(xué)生必須做到以下幾點(diǎn)。

1.學(xué)生要認(rèn)真分析題目，找出題目中隱含的意思，明白立體幾何內(nèi)部中存在的問題，諸如放入鐵棍問題和動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問題。

2.學(xué)生在處理表面問題的時(shí)候，要多動(dòng)手、多動(dòng)腦，將所給的立體幾何圖形（長(zhǎng)方形、正方形和圓柱形）按照要求展開，使得移動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)路程呈現(xiàn)直線段，這樣才能保證兩點(diǎn)之間的路程最短。

3.學(xué)生面對(duì)的展開圖形包含幾種，必須對(duì)幾種展開形式進(jìn)行比較，找出兩點(diǎn)之間的最短路程，以此得出符合題目要求的結(jié)論。

4.學(xué)生在處理立體幾何中勾股定理問題時(shí)，要善于構(gòu)建直角三角形，正確處理勾股定理的應(yīng)用問題。

[1]馮有兵.幾道立體幾何題的探究與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012，（2）：40-42

[2]儲(chǔ)祥紅.立體幾何中的平面問題——勾股定理的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012，（3）：92

[3]馬隨芝.巧解妙用勾股定理[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2012，（2）：88