在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中方程函數(shù)思想的運(yùn)用

劉昭慧

摘要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程與函數(shù)是十分基礎(chǔ)且重要的內(nèi)容.方程函數(shù)思想的靈活運(yùn)用，能夠?qū)?shù)學(xué)問題化繁為簡，令我們的解題思路清晰明了，迅速找到正確合理的解題方法.本文就方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，提出作者膚淺的見解，以期與廣大同行交流溝通.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方程函數(shù)思想；概念；運(yùn)用

一、方程函數(shù)思想的概念

所謂方程思想，是指以問題的數(shù)量關(guān)系為切入點(diǎn)，利用題目中所提供的已知條件，通過數(shù)學(xué)語言，將問題轉(zhuǎn)化為方程（組）、不等式（組）或者方程與不等式的混合組等來求解的方法；所謂函數(shù)思想，是指通過構(gòu)造一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等來求解的方法.方程與函數(shù)雖然是兩個(gè)不同的概念，但是在具體的解題過程中，二者相互滲透，相輔相成，在一定條件下還可以相互轉(zhuǎn)化.因此，在一般情況下，我們把這兩種思想統(tǒng)一起來，稱為方程函數(shù)思想.

二、方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

（一）方程函數(shù)思想的形成

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要從以下幾個(gè)方面入手，幫助學(xué)生形成方程函數(shù)思想：

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)，提高認(rèn)識

在日常教學(xué)中，要重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握，只有將方程、函數(shù)、不等式等的性質(zhì)與用法爛熟于心，才能在具體的解題過程中對其靈活運(yùn)用，綜合把握.

2. 提高方程函數(shù)思想意識

要在日常教學(xué)與練習(xí)中，著重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去挖掘題目中的隱含條件，進(jìn)而構(gòu)建方程或函數(shù)的能力.幫助他們在形成解題技巧的同時(shí)，提高自身的觀察能力、邏輯思維能力和發(fā)散思維能力.

3. 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

數(shù)學(xué)是十分靈活多變的一門學(xué)科，只有不斷提高學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，才能做到觸類旁通，舉一反三，將公式、定理和已知條件做到活學(xué)活用.

（二）方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用

下面我們通過一些實(shí)例，來具體分析方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用.

1.利用方程或方程組解題

例1現(xiàn)有一“雞兔同籠”問題，從上面數(shù)，有頭35個(gè)，從下面數(shù)，有腳94只，請問籠中有雞和兔各多少只？

解析：要解決這一問題，需要根據(jù)已知條件尋求數(shù)量上的隱含關(guān)系.本題可以用方程或方程組來解決.

解法1：假設(shè)有雞x只，則有兔35-x只，得出方程：2x+（35-x）×4=94.

解法2：假設(shè)有雞x只，有兔y只，得出方程組：x+y=35；2x+4y=94

通過求解方程或者方程組，可以得出有雞23只，有兔12只.

（二）利用函數(shù)解題

例2趙強(qiáng)擁有一家玩具熊銷售公司.他所銷售的玩具熊每件進(jìn)價(jià)20元，在銷售過程中趙強(qiáng)摸索出每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以用一次函數(shù)：y=-10x+500來表示.假設(shè)趙強(qiáng)每月的銷售利潤為M（元），試問每件玩具熊的定價(jià)為多少元時(shí)，他可獲得最大利潤？

解析：根據(jù)題目中所給條件，我們可以得出一個(gè)二次函數(shù)，通過求解二次函數(shù)，可以得到答案.

解法：M-（x-20）×y=（x-20）×（-10x+500）=-10x2+700x-10000，x=-b/2a=35.

由此得出答案，定價(jià)應(yīng)為35元時(shí)，趙強(qiáng)可獲得最高利潤.

（三）利用函數(shù)與不等式解題

例3接例題2，根據(jù)相關(guān)規(guī)定，趙強(qiáng)所經(jīng)營的這一類玩具熊每個(gè)單價(jià)不得超過32元，如果趙強(qiáng)每月想獲得不低于2000元的利潤，那么每月成本最低需要多少錢？

分析：根據(jù)已知條件和問題，我們發(fā)現(xiàn)，解決這一問題需要利用到一次函數(shù)、二次函數(shù)和不等式性質(zhì)三個(gè)知識點(diǎn)相結(jié)合.

解法：因?yàn)閍=-10<0，所以拋物線的開口向下，所以當(dāng)30≤x≤40時(shí)，M≥2000，因?yàn)閤≤32，所以當(dāng)30≤x≤32時(shí)，M≥2000.假設(shè)成本為Q（元），根據(jù)題意可知，Q=20（-10x+500）=-200x+10000，因?yàn)閗=-200<0，所以Q與x成反比，所以當(dāng)x=32時(shí)，Q的值最小，為3600.

（四）利用函數(shù)與方程相轉(zhuǎn)化的方法解題

在上文中我們提到，在一定條件下，函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)換.在一些時(shí)候，從函數(shù)的角度看方程，或者用方程的觀點(diǎn)看函數(shù)，也能使解題達(dá)到事半功倍的效果.

例4k取何值時(shí)，能令方程x2-3x+k的根一個(gè)大于1，一個(gè)小于1？

分析：從表面上看，這是一個(gè)方程問題，然而，如果我們能利用函數(shù)的性質(zhì)來解題，采取數(shù)形結(jié)合的方法，則可以從很大程度上簡化解題過程.

解法：由已知條件我們可以將方程x2-3x+k的根看成是使函數(shù)y=x2-3x+k=0的值為0的自變量的值，也就是說拋物線與x軸的交點(diǎn).根據(jù)所畫拋物線可知，拋物線開口向上，那么當(dāng)x=1，y<0這一條件成立時(shí)即可.也就是說，-2+k<0，得出k<2.

總之，在新課程標(biāo)準(zhǔn)指導(dǎo)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，已經(jīng)不僅僅滿足于教給學(xué)生定理、公式及其簡單用法的層面，而是要在夯實(shí)基礎(chǔ)知識的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、發(fā)散思維能力和創(chuàng)造力，以及他們運(yùn)用課堂所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決生活中實(shí)際問題的能力.方程函數(shù)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，正是按照新課標(biāo)的這一要求，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，對知識能夠抽象分析、綜合運(yùn)用，靈活掌握，做到舉一反三、游刃有余.

[江西省九江市第三中學(xué) （332000）]