APOS理論在高等數(shù)學(xué)概念探究式教學(xué)中的應(yīng)用

曾玉祥

摘要：在概念教學(xué)中運用APOS理論有助于數(shù)學(xué)概念綜合心理圖式的形成及知識系統(tǒng)的意義構(gòu)建，增強(qiáng)在具體問題情境中主動應(yīng)用數(shù)學(xué)概念圖式系統(tǒng)分析問題和解決問題的能力。APOS理論在教學(xué)概念探究式教學(xué)中的應(yīng)用，要注重概念背景設(shè)計、概念的概括表述、概念的深入剖析以及概念的模型的形成。

關(guān)鍵詞：APOS理論；高等數(shù)學(xué)；概念學(xué)習(xí)；探究式教學(xué)

中圖分類號：G420 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1002-0845（2013）05-0042-02

高等數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、抽象思維能力、概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力、分析問題和解決問題的能力、實踐能力等方面具有自身獨特的優(yōu)勢，能為后續(xù)的專業(yè)、技能和理論學(xué)習(xí)提供必要的基礎(chǔ)知識和思維方法，為終身學(xué)習(xí)提供必要的知識積累，其重要性隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步而日益凸顯。國內(nèi)外很多高校在文科類專業(yè)都全面開設(shè)了大學(xué)數(shù)學(xué)課程。高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，概念的教與學(xué)是最重要的教學(xué)環(huán)節(jié)之一，概念的理解與掌握是學(xué)好高等數(shù)學(xué)課程的基本要求和先決條件，探索APOS理論在探究式概念教學(xué)中的應(yīng)用具有一定的理論意義和實踐價值。

一、APOS學(xué)習(xí)理論和探究式教學(xué)

1.APOS學(xué)習(xí)理論

APOS理論是一種以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，是杜賓斯基對皮亞杰的“自反抽象”理論的一種擴(kuò)展。其核心是引導(dǎo)學(xué)習(xí)者在社會線索中開展學(xué)習(xí)活動，分析問題情境，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，從而建構(gòu)他們自己的數(shù)學(xué)概念和思想。APOS理論集中對數(shù)學(xué)概念這個特定內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程的研究，認(rèn)為高等數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程是建構(gòu)的，其建構(gòu)的基本順序?qū)蛹墳椋簜€體依次構(gòu)建心理活動（Actions）、過程（Processes）和對象（0bject），也可以叫做數(shù)學(xué)概念的三個階段或者三種中間狀態(tài)。最終形成可以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（Schemas），即形成數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

但是在實際學(xué)習(xí)過程中，學(xué)習(xí)個體對于某一高等數(shù)學(xué)概念的理解并不只是線性的，而往往是循環(huán)的、漸進(jìn)的，通過不斷的內(nèi)化、壓縮與解壓縮，再內(nèi)化，再壓縮與解壓縮，最終實現(xiàn)高等數(shù)學(xué)概念的意義構(gòu)建。APOS理論指出，特殊數(shù)學(xué)思想下的不同概念建構(gòu)更多是辯證的螺旋上升的而不是線性的結(jié)果。

2.探究式教學(xué)

探究式教學(xué)方法又叫做發(fā)現(xiàn)法、研究法，是指讓學(xué)生通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論、聽講等途徑獨立探究、自行發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的原理和結(jié)論的教學(xué)方法。最早提出在教學(xué)中使用探究法的是美國著名教育思想家杜威。探究式教學(xué)的核心與載體是問題，從教學(xué)的角度，教師要圍繞教學(xué)目的和內(nèi)容，精心設(shè)計出難度適中、邏輯合理、基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)且利于發(fā)掘?qū)W生自主探究潛能的問題。探究式教學(xué)要求教師作為一個組織者，提供一定的條件或者必要的資料，學(xué)生自己動手尋求答案或者提出假設(shè)，教師指導(dǎo)、規(guī)范學(xué)生的探索過程；整個過程可以由學(xué)習(xí)者一個人完成或者由教師分組安排完成，不同的學(xué)生或者團(tuán)隊可以就同一問題提出不同的解釋或者看法并進(jìn)行討論。探究式教學(xué)可以有效增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力以及培養(yǎng)學(xué)生尋求合作的團(tuán)隊精神。

高等數(shù)學(xué)概念的特點決定了探究式教學(xué)模式的適用性和有效性。通過探究式教學(xué)，結(jié)合多媒體教學(xué)技術(shù)等手段，能有效再現(xiàn)概念從產(chǎn)生到形成的思維過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。探究式教學(xué)的基本過程可以歸納為“問題引入一問題探究一問題解決—知識構(gòu)建”四個階段。

二、APOS理論在高等數(shù)學(xué)概念探究式教學(xué)中的應(yīng)用

APOS學(xué)習(xí)理論和探究式教學(xué)方法都認(rèn)為，教師在教學(xué)中是組織者和參與者，而不是一個講授者或者灌輸者。但這并不是弱化教師的作用，反倒是對教師的綜合素養(yǎng)提出了更高的要求。基于高等數(shù)學(xué)概念的特點及學(xué)習(xí)心理的研究，根據(jù)多年的高等數(shù)學(xué)實際教學(xué)和改革實驗的經(jīng)驗，筆者認(rèn)為，可以把APOS學(xué)習(xí)理論應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)概念的探究式教學(xué)，并通過實際教學(xué)對象和過程進(jìn)行實踐探索，取得實際效果。

1.概念的背景設(shè)計：“問題引入一活動”（Action）階段

APOS理論和探究式教學(xué)和學(xué)習(xí)方法都認(rèn)為，教師要充分體現(xiàn)參與者、組織者、引導(dǎo)者的角色。概念的引入背景設(shè)計要充分考慮學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知規(guī)律，應(yīng)該通過幾何、物理甚至人文背景設(shè)計問題引入；通過“活動”讓學(xué)生親身體驗，引起探究的興趣，為成功開展具體的探究活動打下良好的基礎(chǔ)?；顒拥拈_展要注意防止兩種傾向：一種是不關(guān)心學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和原有知識結(jié)構(gòu)，一味強(qiáng)調(diào)知識的原始來龍去脈，導(dǎo)致學(xué)生因為難度過大而逐漸失去信心；另一種是所謂的“去數(shù)學(xué)化”活動，就是只注重動手、討論等外部探究活動而忽略了數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)特點，導(dǎo)致探究活動和數(shù)學(xué)二者不相融合，無法形成有效的知識結(jié)構(gòu)，更談不上靈活運用。例如導(dǎo)數(shù)的概念，現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中有兩個經(jīng)典引例，一個是切線的斜率，一個是變速質(zhì)點的瞬時速度，這兩個引例對于物理專業(yè)的學(xué)生來說，很有針對性。但是對于經(jīng)濟(jì)、生物、地理等專業(yè)的學(xué)習(xí)者來說，與專業(yè)的結(jié)合就顯得不是那么緊密了。因此，教師可以增加選取一些與專業(yè)背景更緊密的問題或者與學(xué)生日常興趣愛好更相關(guān)的一些問題來引入。例如針對導(dǎo)數(shù)的概念，可以選取倫敦奧運會牙買加運動員博爾特的100米比賽為切入點，設(shè)置如下問題：速度的最高點在什么地方出現(xiàn)？怎么計算其最大速度？就能引起學(xué)生極大的好奇心和興趣，從而產(chǎn)生去解決問題的心理內(nèi)驅(qū)力。針對地理專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)定積分的概念時，可以設(shè)計課外閱讀有限元法的資料等活動，了解其在礦產(chǎn)資源勘探、石油勘測數(shù)據(jù)分析等方面的應(yīng)用，既可以強(qiáng)化“無限分割求和求極限”的定積分思想，也能讓學(xué)生切實了解數(shù)學(xué)在實際專業(yè)工作中的應(yīng)用，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的決心和動力。針對極限的概念，可以以我國唐代著名詩人李白在《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中膾炙人口的詩句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”為切入點，這不正是所表達(dá)的真實意境嗎？通過數(shù)學(xué)活動，了解中國古代歷史，還能滲透愛國主義教育，傳播數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感，可謂一舉多得。在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)活動中，這樣的活動背景比比皆是，教師只要做一個有心人，就一定能設(shè)計出很有吸引力和針對性的引入問題并通過問題驅(qū)動有效高效地開展探究活動。

2.概念的概括表述：“問題探究一過程”（Processes）階段

APOS學(xué)習(xí)理論和探究式教學(xué)方法認(rèn)為，活動并不是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的目的，如果對活動放任自流，不加以適當(dāng)引導(dǎo)，可想而知，效果肯定不會理想。認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)者經(jīng)過對“活動”的思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮、解壓縮過程，在頭腦中對“活動”進(jìn)行描述和反思，從而抽象出特定概念所特有的性質(zhì)，即概念的概括表述“過程”。從圖像、數(shù)值、聲音、語言等多元表征方式展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，不同的表征能夠傳達(dá)不同的信息，整合的表征所獲取的信息遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于從各個單一表征中獲取的信息。應(yīng)該借助現(xiàn)代多媒體和計算機(jī)輔助教學(xué)技術(shù)手段，從不同角度、不同側(cè)面全方位立體展示概念的內(nèi)涵和外延，可收到舉一反三、事半功倍的效果。例如極限的概念，可以利用自制的3D動畫來展示極限的動態(tài)過程，在筆者的教學(xué)實踐中，學(xué)生感覺印象“非常深刻、非常直觀、非常明顯”，還為后期學(xué)習(xí)極限存在性判定定理“單調(diào)有界必有極限”打下了良好的基礎(chǔ)。對定積分的概念，可以用MATHMATIC等軟件展示我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)的過程，通過不斷細(xì)分的網(wǎng)格化過程，充分體會“分之彌細(xì)，則所失彌少”的意境，體味古代數(shù)學(xué)家思維的獨特魅力。

3概念的深入剖析：“問題解決一對象”（Object）階段

通過前面的“活動”和“過程”，對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)有了一定的認(rèn)識，對其賦予形式化的語言和符號，從而凝聚成為一個“對象”。APOS學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“對象”狀態(tài)呈現(xiàn)出一種靜態(tài)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，因而有利于從整體把握其性質(zhì)。同時，凝聚的對象又可以在以后的學(xué)習(xí)中去進(jìn)行新的“活動”，從而轉(zhuǎn)化成為一個可以被操作的“實體”，通過新一輪的內(nèi)化、壓縮與解壓縮的過程，不斷更新和建構(gòu)新的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，最終形成一個涵蓋高等數(shù)學(xué)的概念系統(tǒng)，應(yīng)用貫穿其間，組成一個立體網(wǎng)絡(luò)，完成真正意義上的高等數(shù)學(xué)意義構(gòu)建，并進(jìn)一步形成數(shù)學(xué)思維能力。因此，在實踐教學(xué)過程中要特別注重分析解剖數(shù)學(xué)概念表達(dá)形式中精煉的語言和所使用的符號的涵義，從多角度、全方位分析概念所適用的條件和范圍。譬如對概念的內(nèi)涵和外延的進(jìn)一步的說明和解剖分析，注重闡明隱藏在概念符號語言背后的數(shù)學(xué)思想方法，有意識引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程中數(shù)學(xué)感念的矛盾運動和發(fā)展變化。等等。正如一位研究數(shù)學(xué)美的學(xué)者所言，數(shù)學(xué)教師的作用就是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷形式后”的“火熱的思考”過程。

4.概念的模型形成：“知識構(gòu)建一圖式”（Schemas）階段

經(jīng)過前三個階段的螺旋式漸進(jìn)上升過程，APOS學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，此時的高等數(shù)學(xué)概念已經(jīng)在頭腦中形成為一種包含具體實例、抽象過程以及完整定義乃至與其他概念的區(qū)別與聯(lián)系在內(nèi)的綜合心理圖式。概念的模型初步形成，要引導(dǎo)學(xué)習(xí)者遵循認(rèn)知規(guī)律，不斷反復(fù)，螺旋式前進(jìn)，橫向聯(lián)系，縱向比較，強(qiáng)化實際應(yīng)用，最終形成比較穩(wěn)定的綜合心理圖式。并把這種穩(wěn)定的心理圖式置入更加立體化的高等數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)之中，逐漸形成穩(wěn)定的高等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。比如學(xué)習(xí)了定積分的概念，形成圖式以后，要加強(qiáng)聯(lián)系，從定積分的形式上看，就是一種極限形式，逆向思維訓(xùn)練，表明某一類極限可以利用定積分來求解，這正是研究生入學(xué)考試高等數(shù)學(xué)課程中的一類常見題型。通過分析怎么樣構(gòu)造適當(dāng)?shù)摹胺指罘绞健薄⑦x取適當(dāng)?shù)姆e分區(qū)間和對應(yīng)的“積分函數(shù)”，又增強(qiáng)了對定積分概念的理解。在筆者的實際教學(xué)中，某年級物理系的一名同學(xué)非常感興趣，用他的話來說，“真的感覺好奇妙，還可以做出不同函數(shù)在不同積分區(qū)間上的定積分”。這位同學(xué)在后來的全省高等數(shù)學(xué)非專業(yè)組競賽中獲得一等獎的佳績。

APOS學(xué)習(xí)理論和探究式教學(xué)方法都認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化來自反復(fù)操作，在不斷反思的基礎(chǔ)上形成概念過程，概念過程靜態(tài)化凝聚成概念對象。特定的高等數(shù)學(xué)專題往往涉及許多的操作、對象和過程，需要進(jìn)行組織和協(xié)調(diào)，進(jìn)而形成一個連貫一致的概念框架，也就是APOS理論所說的綜合心理圖式階段。這種綜合心理圖式可以讓學(xué)習(xí)者在實際的數(shù)學(xué)問題情境中靈活使用所需的思維方式，真正提高學(xué)習(xí)者自主學(xué)習(xí)的能力、創(chuàng)新思維的能力、主動分析問題和解決問題的能力。