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      雙曲線不等式及其應用

      2013-07-25 09:24:00廣東省佛山市高明區(qū)第一中學林建雯
      中學數(shù)學雜志 2013年13期
      關鍵詞:高明區(qū)代數(shù)式值域

      ☉廣東省佛山市高明區(qū)第一中學 林建雯

      我們知道雙曲線有很多的性質及應用,其實雙曲線的方程與不等式之間也有聯(lián)系,這種聯(lián)系對發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、研究問題帶來了很大的方便.下面筆者試著探索和研究這方面的內容,以供參考.

      因此a2-b2≤x2+y2-2xy=(x-y)2,

      即a2-b2≤(x-y)2.

      由不等式①我們很容易獲得下面兩個有趣的推論:

      又因為a2-b2≥0,λ0≥λ,

      所以λ(a2-b2)≤(x-y)2.

      上述3個不等式的應用非常廣泛,特別是用來求二元函數(shù)最值或值域問題時,顯得更加簡潔和方便.

      一、求滿足整式方程未知數(shù)的代數(shù)式的最值或范圍

      例1 已知x,y滿足x2-y2-2x-4y=0,求x-2y的范圍.

      由推論1得

      解得x-2y≤2或x-2y≥8.

      所以x-2y的取值范圍為(-∞,2]∪[8,+∞).

      例2 已知a,b∈R,且2a+b-2=0,求(a-2)2-(b-3)2的最大值.

      由推論1得

      二、求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

      三、求滿足整式方程未知數(shù)的分式的最值或范圍

      由推論1得(3k2-3)≤[(k+kx)-y)]2=k2,

      四、求滿足不等式的未知數(shù)的最值

      例7 如果實數(shù)x,y滿足不等式(x+1)2-y2≥3,求2x-y的取值范圍.

      解:由已知不等式(x+1)2-y2≥3可得

      由推論2得(12-3)≤[(2x+2)-y)]2=(2x-y+2)2,即9≤(2x-y+2)2,-5≤2x-y≤1,從而2x-y的最大值為1,最小值為-5.

      五、求無理函數(shù)的值域

      解:由2x-3≥0且x-2≥0得x≥2.

      六、求滿足分式方程未知數(shù)的代數(shù)式的最值

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