培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力“三部曲”

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)

江蘇省常熟市殷偉康名師工作室 殷偉康（特級教師）

“問題表征是指根據(jù)問題所提供的信息和自身已有的知識經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建自己問題空間的過程，也是把外部的物理刺激轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)部心理符號的過程”［1］.數(shù)學(xué)問題表征能力就是指能夠準(zhǔn)確表征數(shù)學(xué)問題的程度，這種表征能力的高低決定著學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展水平.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征的訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)展示學(xué)生進(jìn)行問題表征的情境，開展合理表征的辨析，提升問題表征質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力.本文試從“訓(xùn)練表征表達(dá)——展示表征過程——交流多維表征”三個層次闡述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的途徑.

一、訓(xùn)練學(xué)生問題表征的表達(dá)能力，提高問題表征的準(zhǔn)確性

著名心理學(xué)家西蒙指出：“表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦里是如何呈現(xiàn)的，如何表現(xiàn)出來的.”問題表征從形式上來看可分為兩種：一種是內(nèi)在表征，即學(xué)習(xí)者將外在的問題信息轉(zhuǎn)化為頭腦中內(nèi)在的命題形式，其外在的表現(xiàn)就是學(xué)習(xí)者能用自己的語言陳述問題的條件和目標(biāo)；另一種是外在表征，即將問題以文字、符號、圖形、圖表、模型等具體形式表示出來.其外在表征常見的幾種形式：語言表征、符號表征、圖形表征和情境表征等.因此，在課堂教學(xué)中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生把握表征取向，加強(qiáng)問題表征的表達(dá)訓(xùn)練，提高問題表征的準(zhǔn)確性.如在學(xué)生數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)階段，教師要有針對性地創(chuàng)設(shè)情境，使問題表征盡可能和數(shù)學(xué)概念原型相匹配，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解和促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu).

問題1：在函數(shù)單調(diào)性教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)有意識地運用多元表征理論展示其多種不同的表征形式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)問題表征的特點和主要形式，進(jìn)行問題表征的表達(dá)訓(xùn)練，讓學(xué)生逐步掌握問題表征的要領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生建立數(shù)學(xué)概念的多元表征和深層次理解函數(shù)單調(diào)性.以函數(shù)f（x）=x2-2x為例，闡述其在區(qū)間［1，+∞）上的單調(diào)性（單調(diào)增函數(shù)），組織學(xué)生進(jìn)行圖形、語言和符號等表征形式的訓(xùn)練，提升學(xué)生問題表征的表達(dá)能力.

圖1

圖形表征：函數(shù)f（x）=x2-2x在區(qū)間［1，+∞）上的圖像是上升的（如圖1）.

這種表征便于從整體上以圖形的方式直觀地描述函數(shù)單調(diào)性.

語言表征：當(dāng)x在區(qū)間［1，+∞）上取值時，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）值也隨著增大.這種表征有利于“函數(shù)單調(diào)性”這一抽象概念被學(xué)生感知和理解.

符號表征：當(dāng)x1，x2∈［1，+∞）且x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）.這種表征有利于從圖形感知轉(zhuǎn)向解析關(guān)系的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生思維活動的有效發(fā)展.

學(xué)生表征：由上面單調(diào)增函數(shù)的符號表征可知，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）=（a-2）x-1在（-∞，1］上單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）=logax在［1，+∞）上也是單調(diào)遞增.于是原問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)y=g（x）和y=h（x）在各自范圍中都是增函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍.”

有效追問能激發(fā)學(xué)生進(jìn)行深層次思考，通過辨析和反思，對單調(diào)增函數(shù)的內(nèi)涵有了更透徹的理解，要確保函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，除了“函數(shù)y=g（x）和y=h（x）在各自范圍中都是增函數(shù)”外，還要滿足“g（1）≤h（1），即（a-2）×1-1≤0”.此時，可以重新讓學(xué)生進(jìn)行問題表征.所以理解題意是正確表征的基礎(chǔ)，把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是理解題意的前提.

通過問題表征的專題說題訓(xùn)練，不僅可以提高學(xué)生表達(dá)問題的表征能力，而且還能使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的表征形成直覺和積累經(jīng)驗，從而提高學(xué)生對問題的深層理解能力和問題表征能力.

二、展示學(xué)生問題表征的思維過程，提高問題表征的合理性

問題表征作為解題過程的起點，對數(shù)學(xué)問題作出的表征是否恰當(dāng)、合理，對數(shù)學(xué)問題能否有效解決有著重大且直接的影響.在教學(xué)中，大部分教師只注重學(xué)生的思維結(jié)果，而忽視學(xué)生對問題表征的思維過程，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識處于淺層次的理解.因此，在將數(shù)學(xué)問題展現(xiàn)給學(xué)生的時候，要注重創(chuàng)設(shè)學(xué)生思考、探究問題的時空，為學(xué)生問題的解決提供“問題表征”的充足時間，同時還要重視展示學(xué)生問題表征的思維過程，分析表征中的錯因，提取和激活其合理成分，讓學(xué)生自覺對其思維過程做出調(diào)整，修正、完善問題表征.

學(xué)生中常見的兩種“頗有爭議”的數(shù)學(xué)表征：

學(xué)生表征1：集合M表示二次函數(shù)y=2-x2，集合N表示二次函數(shù)y=x2，求M∩N就是求上述兩個二次函數(shù)的交點坐標(biāo)的集合.其解題思路如下：

學(xué)生表征2：集合M與N的代表元素是y，是二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合.求集合M與N的交集就是要找出公共元素，即找出M與N兩個集合中一樣的“y”值.而這兩個集合中的“y”分別等于“2-x2”和“x2”，所以2-x2=x2，解得x=±1，回代y=2-x2或y=x2，得到y(tǒng)=1，所以M∩N={1}.

學(xué)生表征1的錯因是對集合的代表元素的含義理解得不透徹，導(dǎo)致問題表征出錯.學(xué)生表征2的錯因是沒有認(rèn)識到集合M與N中的x和y并不是指某個具體的值，而是變量.求交集的實質(zhì)就是要找出兩個集合中一樣的“y”值，但是兩個集合中一樣的“y”值不一定是由相同的“x”產(chǎn)生.

通過展示學(xué)生問題表征的思維過程，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思維交鋒，讓學(xué)生在辨析、爭論中調(diào)整、修改和完善數(shù)學(xué)問題的表征，逐步形成合理的數(shù)學(xué)表征.求M∩N的實質(zhì)就是求集合M與N中一樣的“y”值，集合M與N中“y”分別表示二次函數(shù)y的取值范圍.故

在問題解決過程中，隨著自主探究、交流等數(shù)學(xué)活動的展開，獲得信息的不斷積累，學(xué)生會結(jié)合自身儲存的信息（知識與經(jīng)驗）主動地重構(gòu)問題表征，其數(shù)學(xué)表征往往從不恰當(dāng)表征過渡到合理表征，為解題思路尋找到突破口.

三、創(chuàng)設(shè)問題多維表征的交流平臺，提高問題表征的靈活性

問題多維表征是解題思路產(chǎn)生的源泉，正確的語言表征是理解問題的前提條件，準(zhǔn)確的符號表征是問題解決的信息儲存和加工過程的有效表現(xiàn)形式，適當(dāng)?shù)膱D表表征有助于問題的形象直觀思考，合理的模式表征有助于簡約問題解決的思維長度.在教學(xué)過程中，教師要運用啟發(fā)性提示語：“你能否根據(jù)自己的聯(lián)想用適當(dāng)?shù)姆绞綄栴}進(jìn)行重新表征？”“在遇到困難的情況下，你能否變換問題的表征形式，調(diào)整解題思維方向？”激活學(xué)生原有的知識塊，通過聯(lián)想，誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行多維表征，并能根據(jù)解題的需要與情境的變化做出靈活的轉(zhuǎn)換.

問題4：已知f（x）=log2（x-2），若實數(shù)m，n滿足f（m）+f（2n）=3，則m+n的最小值為______.

通過分析可知，由已知log2（m-2）+log2（2n-2）=3，即log2［（m-2）（2n-2）］=log28，從而得到（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1）.此時，教師要通過適當(dāng)?shù)奶崾菊Z，啟發(fā)學(xué)生運用已有的知識與經(jīng)驗，靈活表征問題.并展開對問題進(jìn)行多維表征的交流，讓學(xué)生學(xué)會變通地表征問題，把握問題的實質(zhì).

（這種表征，學(xué)生馬上聯(lián)想到運用求導(dǎo)方法或基本不等式方法進(jìn)行求解.）

（這種表征，學(xué)生自然會想到運用基本不等式進(jìn)行求解，但要引導(dǎo)學(xué)生注意等號成立的條件.）

表征3：令m+n=s，則m=s-n，代入（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1），得到關(guān)于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0.于是原問題轉(zhuǎn)化為“關(guān)于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0在n∈（1，+∞）上有實數(shù)解時，求s的最小值.”

這種表征，學(xué)生可能會束手無策，不會將n2-（s-1）n+s+2=0看做關(guān)于n的二次方程，若將此式直接改寫成x2-（s-1）x+s+2=0在x∈（1，+∞）上有實數(shù)解時，求s的最小值.這時，學(xué)生會聯(lián)想到運用判別式法進(jìn)行求解，教師要強(qiáng)調(diào)求出最小值后一定要注意檢驗.

表征4：從圖形表征考慮，由反比例函數(shù)及圖像平移知識可知，（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 表示雙曲線一支（如圖2），令m+n=s，則其表示斜率為-1的直線.于是原問題轉(zhuǎn)化為“直線m+n=s與曲線（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 有公共點時，求s的最小值.”

圖2

這種表征，學(xué)生很快就會從圖像中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，s有最小值.

由此可知，由于對同一數(shù)學(xué)問題的表征方式不同，使得問題解決的難易程度及效果也不同，適宜的問題表征可以減少運算量，縮短思維過程，優(yōu)化解題過程.因此，通過對數(shù)學(xué)問題的多維表征的交流，讓學(xué)生把握各種表征的特性與局限性，辨析數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，相互啟迪思維，提高學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)而獲得合理的解題方案.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生積累知識與數(shù)學(xué)活動基本經(jīng)驗，豐富學(xué)生的知識與經(jīng)驗，為提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題理解和表征能力奠定堅實的基礎(chǔ)；其次，教師要注重開發(fā)學(xué)生的元認(rèn)知，增進(jìn)學(xué)生的元認(rèn)知體驗，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)遷移能力的發(fā)展；第三，教師要把握數(shù)學(xué)表征能力的四個層次：復(fù)現(xiàn)式的表征能力、轉(zhuǎn)述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力，有計劃、有目的地進(jìn)行問題表征的訓(xùn)練活動，發(fā)展學(xué)生直覺思維能力和數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力，從而深化學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力的培養(yǎng).

1.胥興春，劉電芝．問題表征方式與數(shù)學(xué)問題解決的研究［J］．心理科學(xué)進(jìn)展，2002（3）：264-269．

2.郭秀玲，李忠海．學(xué)生數(shù)學(xué)問題表征能力分析［J］．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2008（9）：2-4．

3.毛良忠．探究多元表征途徑合理解決問題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2012（1/2）：43-45．