先設(shè)后求 以退為進(jìn)——探討平面翻折問(wèn)題中“折起點(diǎn)”坐標(biāo)的量化方略

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筆者在運(yùn)用空間向量解決立體幾何中的平面翻折問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)，在建系之后的空間圖形中，底面上各點(diǎn)的坐標(biāo)相對(duì)容易量化，但折起之后，由底面上升到的空間的相應(yīng)點(diǎn)（本文稱之為“折起點(diǎn)”）的坐標(biāo)，有時(shí)難以直接標(biāo)注，而該點(diǎn)卻往往是問(wèn)題的核心之點(diǎn)，一旦坐標(biāo)得以量化，則整個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)隨即“土崩瓦解”.因此，如何有效量化“折起點(diǎn)”的坐標(biāo)是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.筆者探究發(fā)現(xiàn)，在“折起點(diǎn)”坐標(biāo)難以直接標(biāo)注的情況下，采用“先設(shè)后求、以退為進(jìn)”不失為一種有效的方略，即欲求“折起點(diǎn)”坐標(biāo)，先設(shè)其坐標(biāo)為（x，y，z），由該點(diǎn)向底面引垂線（退回平面），垂足的坐標(biāo)即為（x，y，0）（設(shè)底面為xOy平面），通過(guò)翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)解出x，y；然后再返回到“折起點(diǎn)”中（進(jìn)到空間），根據(jù)已知條件或翻折性質(zhì)，求出坐標(biāo)z，從而求得“折起點(diǎn)”坐標(biāo).由于在底面求解x，y時(shí)，須借助翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)，為此，筆者下面先介紹相關(guān)性質(zhì)，然后例談如何具體求出“折起點(diǎn)”坐標(biāo).

一、性質(zhì)介紹

平面翻折問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是平面繞軸的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，因此，同一平面在翻折前與翻折后各幾何元素間的位置、大小關(guān)系均保持不變，由此可推出如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，則AB⊥CC1.

證明：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，連接C1D，則C1D⊥AB（因?yàn)镃1D是CD經(jīng)平面翻折后的線段），所以AB⊥平面C1DC，從而AB⊥CC1.

性質(zhì)2：如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設(shè)折起點(diǎn)C1在△ABC所在平面內(nèi)的射影為H，則HC⊥AB.

證明：因?yàn)镃1H⊥底面ABC，所以AB⊥C1H，又由性質(zhì)1知AB⊥CC1，所以AB⊥平面C1HC，所以AB⊥HC，即HC⊥AB.

性質(zhì)3：如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設(shè)P是直線AB上任意一點(diǎn)，則PC1=PC.

證明：因?yàn)镻C1是PC經(jīng)平面翻折之后的線段，所以PC1=PC.

圖2

性質(zhì)4：如圖2，四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，∠AEB=∠DEC， 將 △AEB、△DEC分別沿直線EB、EC折起至△SEB和△SEC，使得A、D重合于S點(diǎn)，設(shè)S在底面ABCD上的射影為O，則O在∠BEC的平分線上.

證明：因?yàn)椤螦EB=∠DEC，折起后有∠SEB=∠SEC，故點(diǎn)O在∠BEC的平分線上.

二、方法應(yīng)用

例1 如圖3，在邊長(zhǎng)為3的正△ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE=CF=CP=1，將△BEP、△CFP分別沿EP、FP向上折起，使邊BP與邊CP所在的直線重合（如圖4），B、C折起后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分記為B1、C1.

（1）求證：PF⊥平面B1EF；

（2）求AB1與平面AEPF所成角的正弦值.

圖3

圖4

解：（1）略；

點(diǎn)評(píng)：本題建系之后，底面各點(diǎn)的坐標(biāo)均容易標(biāo)注，但“折起點(diǎn)”B1的坐標(biāo)卻難以直接標(biāo)注，而由題意可知，一旦B1點(diǎn)的坐標(biāo)得以量化，則后面的求解將是“一馬平川”，否則，空間向量將無(wú)“用武之地”.既然如此，那就只得另辟蹊徑：采取“先設(shè)后求、以退為進(jìn)”.實(shí)踐證明，這種方法不僅計(jì)算量小，而且操作簡(jiǎn)便，在空間向量遭遇“折起點(diǎn)”坐標(biāo)挑戰(zhàn)時(shí)，可巧妙化解，使問(wèn)題的解決峰回路轉(zhuǎn)、柳暗花明.當(dāng)然，本題的解決離不開平面翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)，因此，熟練掌握翻折問(wèn)題的幾何性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的必備前提.

例2 如圖5，有一邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD，E是AD邊中點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折起至A1BE位置，此時(shí)恰好A1E⊥A1C（如圖6），點(diǎn)A1在底面上的射影為O.

（1）EO⊥BC；

（2）求直線A1C與平面A1BE所成角的正弦值.

圖5

圖6

解：（1）略；

三、方法總結(jié)

1.傅建紅.平面翻折問(wèn)題的若干性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（11）.

2.沈良.例談空間幾何中翻折問(wèn)題的解決策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（7）.