最小CVaR股指期貨套期保值比率的實證研究

費廣平，孫燕紅

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院，合肥230026)

1 理論模型

1.1 條件風(fēng)險價值（Conditional Value at Risk,CVaR）

風(fēng)險價值VaR是在給定的置信水平1-α下，一定期限內(nèi)金融資產(chǎn)或投資組合最大可能損失。CVaR的定義是在給定的置信水平下，一定期限內(nèi)當(dāng)金融資產(chǎn)或組合的損失超過VaR時，其期望損失的大小。CVaR的數(shù)學(xué)表達式如下：

由(1)式可見，CVaR計算的重點和難點在于VaR的計算。

設(shè)投資組合由現(xiàn)貨和期貨構(gòu)成，現(xiàn)貨與期貨的頭寸比例為1:h，其中h即為套期保值比率，表示對于每一單位現(xiàn)貨需要h單位的期貨進行套期保值。將現(xiàn)貨和期貨的對數(shù)收益率分別用Rs,Rf來表示，則投資組合的收益率Rp可以表示為：

設(shè)投資組合收益率Rp服從某一分布p，則依據(jù)定義，其(1-α)百分比VaR可以表示為：

(3)式中μp=E(Rp)為投資組合的期望收益率，為投資組合收益率的標(biāo)準差。

由(3)式可知：VaR的計算中，主要難點在于分位點qp(α)的估計，在現(xiàn)有CVaR套期保值文獻中，主要有三種估計分位點，進而求出最小CVaR套期保值比率的方法∶

（1）歷史模擬法

Harris和Shen[1]使用的是歷史模擬法，這一方法根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的尾部信息估計分位點，優(yōu)點是無需對收益率分布做出假定，但缺點也很明顯，主要是對數(shù)據(jù)量要求較大，且對數(shù)據(jù)信息的利用率比較低，只利用了其尾部信息。由于滬深300股指期貨上式不到兩年，數(shù)據(jù)量相對較小，本文沒有采用這種估計方法。

（2）正態(tài)假定法

遲國泰等[2]使用的是正態(tài)假定法，即根據(jù)中心極限定理，用標(biāo)準正態(tài)分位點n(α)代替收益率分布的分位點。此時：

所以，

通過對上式求一階導(dǎo)數(shù)并驗證二階條件，可得CVaR最小化的套期保值比率：

（3）Cornish-Fisher展開法

Cao,Harris和Shen[3]使用的是Cornish-Fisher展開法，根據(jù)Cornish-Fisher展開，用高階樣本矩逼近收益率分布的分位點qp(α)：

其中：sp,kp分別是是現(xiàn)貨和期貨投資組合的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)。

所以：

根據(jù)CVaR的實際意義，滿足一階條件的極值點就是最小值點。其極值點滿足如下方程：

其中：

方程(8)的形式非常復(fù)雜，因此不存在顯式解，在套期保值實證部分將通過數(shù)值方法得出方程(8)的解。

1.2 條件模型

本文嘗試將預(yù)測波動率和相關(guān)性的條件模型分別與正態(tài)假定法、Cornish-Fisher展開相結(jié)合，以期能進一步降低組合的CVaR值。具體的說，本文分別使用了兩類條件模型：EWMA和t-GARCH模型。

1.2.1 指數(shù)加權(quán)移動平均值模型（EWMA）

EWMA模型是無條件方差的一種自然修正，它通過給予近期觀測值更大的權(quán)重，而對遠期觀測值以較小的權(quán)重來反應(yīng)金融數(shù)據(jù)普遍具有的波動聚集效應(yīng)。其數(shù)學(xué)表達式如下：

將EWMA與正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開相結(jié)合計算最小CVaR套期保值比率的步驟如下：

①基于雙變量EWMA模型預(yù)測出未來現(xiàn)貨和期貨收益率的波動率和相關(guān)系數(shù)。

②利用①中預(yù)測的未來收益率的波動率和相關(guān)系數(shù)代入式(6)計算和方程(8)求解，得出的解即為最小CVaR套期保值比率hCVaR。

1.2.2 廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）

GARCH模型是對誤差方差的建模，適用于波動率的分析與預(yù)測。由于大部分金融資產(chǎn)收益的二階矩都存在著明顯的ARCH效應(yīng)，為了考慮市場的動態(tài)變化，需要建立GARCH模型。GARCH模型的常見形式有VECH形式、BEKK形式和CCC形式。本文以BEKK形式為例進行研究。

BEKK-GARCH的矩陣形式為：

條件均值方程：Rt=μt+εt,εt～t(Ht)

條件方差方程：

由于普遍認為GARCH（1,1）模型能很好的反應(yīng)金融收益率數(shù)據(jù)殘差的ARCH效應(yīng)，故本文選取二元GARCH（1,1）模型，即K=1，（10）式中各項均為二維向量。因金融數(shù)據(jù)普遍呈厚尾分布，εt取t分布。通過給定t-1時刻現(xiàn)貨和期貨收益率樣本對模型（10）中參數(shù)進行估計，然后利用（10）式做出向前一步預(yù)測，即可預(yù)測出t時刻的現(xiàn)貨和期貨的波動率和相關(guān)系數(shù)。

將GARCH模型與正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開相結(jié)合計算最小CVaR套期保值比率的步驟如下：

①基于正態(tài)GARCH模型或t-GARCH預(yù)測出未來現(xiàn)貨和期貨的收益率分布的協(xié)方差矩陣。

②根據(jù)預(yù)測的收益率分布的協(xié)方差矩陣，使用Monte-Carlo模擬生成大量（10000個）的收益率數(shù)據(jù)，作為所預(yù)測的未來收益率樣本。

③利用②中得到的收益率數(shù)據(jù)以1.1節(jié)中的方法計算式(6)的值和方程(8)的解，即為最小CVaR套期保值比率hCVaR。

1.3 套期保值效果的評價標(biāo)準

對套期保值效果評價的常見方法是由Ederington[4]最先提出的方差降低百分比法，該方法是以套期保值后投資組合收益率方差降低百分比來評價套期保值效果：

但是由于方差并非全面度量風(fēng)險的指標(biāo)，所以可能存在一個經(jīng)過套期保值后的組合，其方差降低百分比較高，但仍然存在較大虧損的可能性（Alexander and Barbosa[5]）。所以，除了采用指標(biāo)E之外，本文還采用了VaR降低百分比V和CVaR降低百分比C作為套期保值效果的評價標(biāo)準：

其中，VaRu(CVaRu)為套保前資產(chǎn)收益率的風(fēng)險價值(條件風(fēng)險價值)，而VaRh(CVaRh)為套保后資產(chǎn)收益率的風(fēng)險價值（條件風(fēng)險價值）。V(C)的數(shù)值越大，說明VaR（CVaR）降低效果越明顯，套期保值效果越好?？紤]到樣本內(nèi)效果檢驗對于投資實踐意義不大，所以本文僅分析各種套期保值方法的樣本外結(jié)果。

2 樣本的選擇與數(shù)據(jù)檢驗

本文使用華夏上證50ETF的日累計凈值作為現(xiàn)貨數(shù)據(jù)，ETF是一種在證券交易所交易并獲取指數(shù)收益的基金。自從1993年美國推出第一支ETF-SPDR以來，ETF在全球發(fā)展迅速，ETF兼具股票和基金的特點，又結(jié)合了封閉式基金和開放式基金的優(yōu)點，被普遍認為是過去20年內(nèi)最偉大的金融創(chuàng)新之一。華夏上證50ETF由華夏基金公司于2004年推出，采用完全跟蹤上證50指數(shù)的策略。由于上證50指數(shù)的成分股是上海證券市場規(guī)模大、流動性好的代表性藍籌股，并且2010年推

出的融資融券業(yè)務(wù)也以上證50指數(shù)成分股為交易對象。所以，上證50ETF受到了眾多投資者的青睞，使用它作為現(xiàn)貨資產(chǎn)也具有代表性。

期貨數(shù)據(jù)采用了中國金融期貨交易所的滬深300股指期貨每日結(jié)算價格。這里選擇結(jié)算價而非收盤價是因為對于期貨來說，結(jié)算價更能反映當(dāng)天市場價格信息，且波動性相對較小。數(shù)據(jù)時間跨度從2010年4月16日到2012年2月14日，共計443個日交易數(shù)據(jù)。本文將前191個數(shù)據(jù)作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，其余252個數(shù)據(jù)作為樣本外數(shù)據(jù)用于檢驗?zāi)Ｐ偷奶灼诒Ｖ敌ЧＳ捎谄谪浐霞s具有期限性，關(guān)于期貨合約的展期方式，和大多數(shù)文獻類似，本文采取到期月效應(yīng)的方式。即通常選擇最近月合約，但為避免期貨合約的到期月效應(yīng)，在交割月的第一天展期為次月到期的期貨合約。

下面將對樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析、檢驗。首先觀測現(xiàn)貨和期貨的走勢及相關(guān)性。從圖1和圖2中可以看出，華夏上證50ETF和滬深300股指期貨的走勢很接近，樣本期間呈持續(xù)下跌趨勢。經(jīng)測算，二者的相關(guān)系數(shù)達92.39%，這說明二者具有很強的相關(guān)性。因此，可以預(yù)計采用滬深300股指期貨對三種現(xiàn)貨進行套期保值可以取得較好的效果。

其次，對三種現(xiàn)貨組合和滬深300股指期貨的樣本日對數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計特征做一描述：

圖1 華夏上證50ETF走勢圖

圖2 滬深300股指期貨走勢圖

從表1中可以看出，樣本期間市場呈現(xiàn)下跌態(tài)勢。滬深300股指期貨的波動性明顯高于現(xiàn)貨ETF50，這是股指期貨的保證金制度具有杠桿性造成的。

在偏度上，現(xiàn)貨和期貨的負偏性明顯。在峰度上，現(xiàn)貨和期貨也具有顯著的高峰性，期貨在負偏性和高峰性方面明顯高于現(xiàn)貨。反映在J-B統(tǒng)計量上，在99%的置信度上可以拒絕現(xiàn)貨和期貨的收益率服從正態(tài)分布。

表1 現(xiàn)貨和期貨日收益率統(tǒng)計

從VaR和CVaR值來看，現(xiàn)貨置信度為95%的單日最大損失為2%以上，極端情形下平均損失在3%以上，這是個相當(dāng)大的損失。所以，在市場下行期間，利用股指期貨進行套期保值是非常有必要的。

最后，對現(xiàn)貨和期貨的收益率殘差進行分析并進行ARCH檢驗，以確定是否需要建立GARCH類模型。

表2 殘差A(yù)RCH檢驗

從表2中可以看出，殘差項具有明顯的ARCH效應(yīng)，殘差平方序列存在自相關(guān)，即前期的劇烈波動會導(dǎo)致當(dāng)期波動較大，因而可以建立GARCH類模型。在實證中，由于表1中已經(jīng)拒絕現(xiàn)貨和期貨收益率服從正態(tài)分布，本文采用t-GARCH模型進行實證分析。

3 實證分析

3.1 最小CVaR套期保值結(jié)果

本文共采用了6種不同的最小CVaR套期保值模型計算最優(yōu)套期保值比率，即正態(tài)假定法(記做Norm，下同)、Cornish-Fisher展開法(CF)、EWMA-正態(tài)假定模型(E-Norm)、t-GARCH- 正態(tài)假定模型 (G-Norm)、EWMA-Cornish-Fisher展開模型(E-CF)和t-GARCH-Cornish-Fisher展開模型(G-CF)。

最小CVaR套期保值比率走勢見圖3和圖4，從圖中可以看出，正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法計算得出的套期保值比率走勢大致相同。無條件模型計算的套期保值比率呈前低后高，穩(wěn)步增加的趨勢，波動幅度相對較小；而條件模型計算的套期保值比率在前期就明顯高于無條件模型，而隨后市場呈持續(xù)下跌趨勢也確實需要較高比例的期貨合約以對沖系統(tǒng)性風(fēng)險。這也充分驗證了條件模型在預(yù)測波動率的未來趨勢能力強于無條件模型。同時條件模型計算得出的套期保值比率波動幅度較大。這些結(jié)論與最小方差套期保值文獻中的結(jié)論基本是一致的。

圖3 Cornish-Fisher展開法下套期保值比率

圖4 正態(tài)假定法下套期保值比率

最小CVaR套期保值樣本外效果見于表3。表3中列出了ETF50的平均套期保值比率，套期保值后資產(chǎn)組合的收益率均值、方差、偏度、峰度、VaR、CVaR方差降低百分比、VaR降低百分比和CVaR降低百分比。

表3 最小CVaR套期保值結(jié)果

下面將從收益和風(fēng)險兩個角度對表3中的結(jié)果進行對比分析，首先對比分析正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法的樣本外套期保值效果。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，①從規(guī)避風(fēng)險角度，無論是方差、VaR，還是CVaR，Cornish-Fisher展開法都一致略優(yōu)于正態(tài)假定法，這在無條件模型和條件模型中都得到了體現(xiàn)；②從獲取收益角度，正態(tài)假定法略優(yōu)于Cornish-Fisher展開法?？傮w來說，兩種方法的結(jié)果很接近，差別較小。

其次，在正態(tài)假定法和Cornish-Fisher展開法下分別分析條件波動率模型是否具有優(yōu)勢：

①從風(fēng)險角度，無論是正態(tài)假定法還是Cornish—Fisher展開法，運用條件模型都取得了更好的風(fēng)險降低效果，具體表現(xiàn)在E、V和C的指標(biāo)都有所提高。其中E最多可提高0.67個百分點，V最多可提高1.11個百分比，而C最多可提高2.9個百分比，方差和VaR降低百分比提高效果明顯不如CVaR降低百分比。這也說明在最小CVaR套期保值中應(yīng)用條件模型對提高套期保值效果十分的必要。在E和C評價指標(biāo)下G-Norm模型風(fēng)險最低，在V評價指標(biāo)下，E-CF模型風(fēng)險最低。

②從收益角度，條件模型得出的收益率均值也一致高于無條件模型，其中EWMA模型的均值又要高于t-GARCH模型。表3中所列示的均值為算術(shù)平均，而基金績效評價時常采用幾何平均，因此本文也給出了樣本外套期保值前后的累計收益率走勢，見圖5。從圖中可以發(fā)現(xiàn)：

⑴在熊市期間，相比未套期保值，最小CVaR套期保值可以有效增加資產(chǎn)收益。

⑵無論是正態(tài)假定法還是Cornish—Fisher展開法，運用動態(tài)模型都取得了更好的收益增加效果。其中EWMA模型的累積收益率高于t-GARCH模型。

⑶正態(tài)假定法（Norm）和Cornish—Fisher展開法（CF）計算產(chǎn)生的累積收益率差別并不明顯，相比之下，正態(tài)假定法略高于Cornish—Fisher展開法?？傊?，基于累積收益率的分析結(jié)論與之前的收益率算術(shù)均值是一致的。

圖5 最小CVaR套期保值累積收益走勢圖

3.2 與最小方差套期保值的對比分析

在本節(jié)中將對比最小方差和最小CVaR套期保值效果。對比結(jié)果如表4所示。

表4 最小方差與最小CVaR套期保值結(jié)果對比

從表5中可以發(fā)現(xiàn)：無論是以E、C還是V作為評價標(biāo)準，最小CVaR套期保值的結(jié)果都不如最小方差套期保值。對比各種套期保值目標(biāo)下的收益率均值也可以發(fā)現(xiàn)：最小CVaR套期保值并沒有在在收益方面優(yōu)于最小方差套期保值。從而最小CVaR套期保值在風(fēng)險和收益兩方面都不如最小方差套期保值。表5中的結(jié)論是基于無條件套期保值模型下得出的，本文也對比了條件模型下的情況，與無條件模型的結(jié)論幾乎一致，具體表格從略。

4 結(jié)論與建議

本文在最小化CVaR套期保值框架下建立了正態(tài)假定法、Cornish-Fisher展開與波動率預(yù)測相結(jié)合的條件模型，條件模型可以有效反應(yīng)金融收益率尖峰厚尾和波動聚集的特征，從而可以更好的計算最優(yōu)套保值比率。通過滬深300股指期貨的日結(jié)算數(shù)據(jù)對華夏上證50ETF的最小CVaR套期保值實證研究，并與無條件模型以及最小方差套保值相對比，得出以下結(jié)論和建議：

（1）計算最小CVaR套期保值比率的兩種方法—簡單的正態(tài)假定法和較復(fù)雜的Cornish-Fisher展開法的樣本外套期保值效果十分相近。收益上正態(tài)假定法略優(yōu)，風(fēng)險角度Cornish-Fisher展開法略優(yōu)。

（2）無論是正態(tài)假定法還是Cornish-Fisher展開法，與條件波動率建模相結(jié)合計算套期保值比率都能有效提高套期保值的效果，具體體現(xiàn)在套期保值后收益更高、風(fēng)險更低。

（3）從風(fēng)險和收益兩個角度，最小CVaR套期保值并沒有取得比最小方差套期保值更好的效果。說明在滬深300股指期貨推出的初期，市場數(shù)據(jù)較少的情況下，不應(yīng)使用最小CVaR套期保值取代最小方差套期保值。

[1]Harris D F R,Shen J.Hedging and Value at Risk[J].Journal of Fu?tures Markets,2006,26(4).

[2]遲國泰,趙光軍,楊中原.基于CVaR的期貨最優(yōu)套期保值比率模型及應(yīng)用[J].系統(tǒng)管理學(xué)報,2009,18(1).

[3]Cao Z G,Harris D F R,Shen J.Hedging and Value at Risk:a Semi-parametric Approach[J].Journal of Futures Markets,2010,30(8).

[4]Ederington L H.The Hedging Performance of the New Futures Mar?kets[J].Journal of Finance,1979,(34).

[5]Alexander C,Barbosa A.Hedging Index Exchange Traded Funds[J].Journal of Banking&Finance,2008,(32).