第一類銷售擴散模型的統(tǒng)計分析

程慧君，徐曉嶺，顧蓓青，於笑羊，梁 舒

（上海對外貿(mào)易學院 a.商務信息學院；b.國際經(jīng)貿(mào)學院,上海201620）

0 引言

目前已經(jīng)有很多關于產(chǎn)品的生命周期的研究。文獻[1]是鄭祖康教授對銷售擴散曲線的研究。文中，將消費者購買行為稱作“沖動”，從消費者行為，新產(chǎn)品性能以及營銷者策略這三個因素進行描述，建立了與當前的銷售擴散曲線、平均銷售擴散速度和銷售時間有關的三個基本模型。文獻[2]中，首先闡述了產(chǎn)品生命周期的內(nèi)涵；其次對產(chǎn)品生命周期建立了計量經(jīng)濟模型，運用了龔伯茲曲線（美國統(tǒng)計學家和數(shù)學家龔伯茲首先提出作控制人口增長率的一種模型）進行擬合，然后對某市場耐用消費品作案例分析對出結(jié)論，最終也對產(chǎn)品投入期，產(chǎn)品成長期和產(chǎn)品成熟期給了一些對策。文獻[3]對新產(chǎn)品營銷失敗的原因從市場，產(chǎn)品以及營銷三個方面做出分析，闡述了新產(chǎn)品內(nèi)在的擴散機理是成功的基礎，具體表現(xiàn)在新產(chǎn)品的相對優(yōu)勢，適應性，復雜性等性質(zhì)。

本文針對鄭祖康教授提出的第一類銷售擴散模型，給出了參數(shù)的矩估計，考察了估計的存在性，并通過Monte-Carlo模擬數(shù)例說明本文方法的應用。

1 模型及其數(shù)字特征

文獻[1]提出了一種銷售擴散概率模型，即針對非負隨機變量T給出了一種兩參數(shù)的概率分布，其分布函數(shù)、密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為：

易見：

若-1＜β≤1時，

圖1 參數(shù)λ=0.5,β=-0.5,0.5的密度函數(shù)圖像

若β＞1時，

令f′(t)=0 ，得方程：β-eλt=0 ，解得其根 ：由此 f (t)在(0,t)嚴格單調(diào)增加，在(t,+∞)嚴00格單調(diào)下降，在點t0處取最大值，值為取參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，密度函數(shù)圖像見圖2，參數(shù)β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5，密度函數(shù)圖像見圖3。又

即失效率函數(shù)η(t)當-1＜β＜0時，嚴格單調(diào)下降；取參數(shù)λ=2.5,3.5，β=-0.5，失效率函數(shù)圖像見圖4。當β＞0時，嚴格單調(diào)增加；而當β=0時，為常數(shù)，此時該分布為指數(shù)分布。取參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數(shù)圖像見圖5。

圖2 參數(shù) λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100的密度函數(shù)圖像

圖3 參數(shù) β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5的密度函數(shù)圖像

圖4 參數(shù) λ=2.5,3.5，β=-0.5的失效率函數(shù)圖像

圖5 參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數(shù)圖像

下面求該分布的p—分位數(shù)：

若 0 ＜p＜1，F(xiàn)(tp)=p，即，從中解得

下面求該分布的k階矩：

引理1[4]：設 g(x)是[a,+∞) 上的非負函數(shù)，且對任何b＞a，g(x)在[a , b]上可積，如果，則當-∞≤p＜-1時，收斂；而當-1＜p≤+∞時，發(fā)散。

引理2：具有分布函數(shù)F(t)的非負隨機變量的k階矩存在，同時

證明：

由引理1知：隨機變量T的k階矩存在。于是

可得該分布的期望與二階矩：

2 參數(shù)的矩估計

設T1,T2,…,Tn為來自總體T的容量為n的一個樣本，由矩估計思想可建立如下方程組：

化簡：

即得方程：

則有：

注意到，G(β)的圖像如圖6所示，從中可以看到，其為單調(diào)減函數(shù)，由此可以認為引理3中的方程有唯一根。

圖6 函數(shù)G(β)的圖像

例1：給定n=10，參數(shù)真值取為λ=1,β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：

利用本文方法求得參數(shù)的矩估計為：

例2：給定 n=10，參數(shù)真值取為 λ=1,β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：

利用本文方法求得參數(shù)的矩估計為：

特別地，當參數(shù)β已知時，易得參數(shù)λ的矩估計：

例3：給定n=10，β=0.5，參數(shù)真值取為λ=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：

例4：給定n=10，β=-0.5，參數(shù)真值取為 λ=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：0.8593，1.0250，0.2548，0.9001

令函數(shù)：φ(β)=β-ln(β+1),β＞-1

則當 -1＜β＜0時，φ(β)為單調(diào)減函數(shù)，而當 β＞0時，φ(β)為單調(diào)增函數(shù)，當 β=0 時，φ(β)取最小值，其值為 φ(0)=0，由此得 φ(β)＞0，即 g(β)為單調(diào)增函數(shù)。

例5：給定n=10，λ=1，參數(shù)真值取為β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：

1.7641 ，2.0972，1.1042，1.9068，0.5514，0.3588，0.5197，1.1347，2.1186，0.4787

例6：給定n=10，λ=1，參數(shù)真值取為 β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機數(shù)如下：

0.5586 ，1.1008，0.0570，1.1940，1.2937，0.2426，0.3201，0.5122，0.7753，0.8926

[1]鄭祖康.銷售擴散曲線及其數(shù)學分析[J].數(shù)學理論與應用，2010，（3）.

[2]謝慧.產(chǎn)品生命周期曲線預測模型及其在營銷決策中的應用[J].市場研究，2006，（2～8）.

[3]薛云建，陳捷.用擴散機理解析新產(chǎn)品營銷[J].企業(yè)研究，2010，（17）.

[4]汪林，戴正德，楊富春，鄭喜印.數(shù)學分析問題研究與評注[M].北京：科學出版社，1995.