組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度的貼近度評(píng)價(jià)法

王豐效

（喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844000）

0 引言

1969年Bates和Granger提出了組合預(yù)測(cè)的概念，它是對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法采取適當(dāng)?shù)募訖?quán)平均，從而可以充分利用各種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的有效信息，提高預(yù)測(cè)問題的精度.組合預(yù)測(cè)方法一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)，并取得了大量的研究成果[1-5]。在實(shí)際中應(yīng)用經(jīng)常采用最優(yōu)組合預(yù)測(cè)方法，它是根據(jù)一定規(guī)則確定組合權(quán)系數(shù)，主要有二類方法，其一是根據(jù)某一預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則構(gòu)建優(yōu)化模型，求解優(yōu)化模型得到預(yù)測(cè)的組合權(quán)系數(shù)，采用單一評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的優(yōu)化模型，并不能使另外預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則值改進(jìn).其二是利用某種相關(guān)性確定組合預(yù)測(cè)模型.在利用預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則時(shí)，同樣的一組單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型所構(gòu)成的組合預(yù)測(cè)模型由于采用不同的準(zhǔn)則，得到的權(quán)系數(shù)一般是不同的，從而就得到了不同的組合預(yù)測(cè)模型。那么如何評(píng)價(jià)這些組合預(yù)測(cè)模型的效果，這個(gè)問題在文獻(xiàn)中很少涉及。對(duì)利用相關(guān)性確定組合權(quán)系數(shù)也會(huì)遇到同樣的問題。針對(duì)上面的問題，本文針對(duì)組合預(yù)測(cè)模型引入了點(diǎn)預(yù)測(cè)精度的概念，進(jìn)一步根據(jù)組合預(yù)測(cè)模型的點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量，利用算術(shù)平均最小貼近度給出了組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度的評(píng)價(jià)。該評(píng)價(jià)方法對(duì)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的評(píng)價(jià)同樣適用。

1 組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)

1.1 組合預(yù)測(cè)模型點(diǎn)預(yù)測(cè)精度

假定{x(t),t=1,2,…,n}是原始數(shù)據(jù)序列，yi(t)為第i種（i=1,2,…,m）單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，t=1,2,…,n.假定利用這m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型以及不同的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則得到了s個(gè)不同的組合預(yù)測(cè)模型

稱ai(t)為第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型在第t時(shí)刻預(yù)測(cè)精度，稱ai=(ai(1),ai(2),…,ai(n))為第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度向量（i=1,2,…,s），這樣每一個(gè)組合預(yù)測(cè)模型都對(duì)應(yīng)這樣一個(gè)向量。顯然，ai(t)的值越小說明第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型在第t時(shí)刻擬合精度越高。記

其中，(αi1,αi2,…,αim)T為第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的權(quán)系數(shù)向量。一般地s個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的權(quán)系數(shù)向量不同，預(yù)測(cè)結(jié)果也不完全相同，而且相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)指標(biāo)值也一般不同。為了比較這s個(gè)組合預(yù)測(cè)模型，選擇其中一個(gè)最優(yōu)的組合預(yù)測(cè)模型，下面給出組合預(yù)測(cè)模型點(diǎn)預(yù)測(cè)精度的概念。

1.2 組合預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)方法

一般情況下預(yù)測(cè)精度指標(biāo)可能不滿足ai(t)≤1，因此先對(duì)預(yù)測(cè)精度指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。令

則bi=(bi(1),bi(2),…,bi(n))為第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測(cè)精度向量（i=1,2,…,s）。記

定義2對(duì)于兩個(gè)向量 A=(A(1),A(2),…,A(n))和B=(B(1),B(2),…,B(n))，令

則稱Γ(A,B)為向量A和B的算術(shù)最小平均貼近度。

定義2表明，如果Γ(A,B)越大，那么向量A和B就越接近.這樣可以計(jì)算每個(gè)組合預(yù)測(cè)模型對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量與最優(yōu)點(diǎn)精度向量之間的貼近度，貼近度越大，說明該組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度越高。

對(duì)于第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度向量(bi(1),bi(2),…,bi(n))，計(jì)算它與標(biāo)準(zhǔn)化最優(yōu)點(diǎn)精度向量之間的貼近度

將T(bi)（i=1,2,…,s）按照從大到小進(jìn)行排序，排在最前面的組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度最高，排在最后的組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度越低.根據(jù)以上分析，下面給出組合預(yù)測(cè)模型貼近度評(píng)價(jià)方法的步驟：

（1）計(jì)算第i個(gè)組合預(yù)測(cè)模型在第t時(shí)刻預(yù)測(cè)精度，得到預(yù)測(cè)精度向量ai=(ai(1),ai(2),…,ai(n))，i=1,2,…,s；

（3）數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理（無量綱化處理）：

（5）將T(bi)按照從大到小排序，若T(bk)=max{T(b1),T(b2),…,T(bs)}，則第k個(gè)組合預(yù)測(cè)模型為最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型。

2 應(yīng)用實(shí)例

下面利用文獻(xiàn)中的應(yīng)用實(shí)例說明組合預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)方法.文獻(xiàn)[6]利用河南省1980～1992年的數(shù)據(jù)研究了化工行業(yè)人才的組合預(yù)測(cè)問題，建立了三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)結(jié)果和原始數(shù)據(jù)見表1。

表1 幾種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果及相對(duì)誤差

對(duì)于上面建立的三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法（無妨分別記為單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型y1,y2,y3）按照本文的預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)方法，可計(jì)算得：

從而

由于Γ(y2)＞Γ(y1)＞Γ(y3)，所以三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法 y2的預(yù)測(cè)精度最高，y1次之，而y3的預(yù)測(cè)精度最差。

利用上面的三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法分別建立組合預(yù)測(cè)模型，方法1是利用文獻(xiàn)[7]方法建立預(yù)測(cè)模型x1，方法2，方法3和方法4分別是均方誤差最小，平均絕對(duì)誤差最小和平均絕對(duì)相對(duì)誤差最小，不限定權(quán)系數(shù)非負(fù)所確定的組合預(yù)測(cè)模型（分別記為組合模型x2,x3,x4）。方法5是利用文獻(xiàn)[8]方法建立預(yù)測(cè)模型x5，組合方法6，7是分別利用算術(shù)平均加權(quán)和誤差倒數(shù)法建立的組合預(yù)測(cè)模型（分別記為組合模型x6,x7）。方法8是按照文獻(xiàn)[9]方法建立的變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型x8。這八種組合預(yù)測(cè)方法的擬合結(jié)果見表2。

表2 幾種組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)表2給出的八種組合預(yù)測(cè)模型，按照2.2中的方法計(jì)算每個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的點(diǎn)預(yù)測(cè)精度，得到每個(gè)組合預(yù)測(cè)模型的點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量.由于點(diǎn)預(yù)測(cè)精度都在0和1之間，因此不需要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，進(jìn)一步計(jì)算每個(gè)模型和最優(yōu)點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的貼近度，計(jì)算結(jié)果如下：

計(jì)算每個(gè)模型和最劣點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的貼近度，計(jì)算結(jié)果如下：

從而

按照貼近度差排序可得

所以八種組合預(yù)測(cè)模型的優(yōu)劣排序?yàn)?/p>

可見這些組合預(yù)測(cè)模型中變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度最高。另外，從計(jì)算結(jié)果可以看出前七種組合預(yù)測(cè)模型和最劣點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的貼近度要大于它們各自和最優(yōu)點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的貼近度，說明這幾種組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果并不理想.主要原因應(yīng)該在于參與組合的單項(xiàng)模型中y3的預(yù)測(cè)精度很差，導(dǎo)致組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果不理想.這也進(jìn)一步表明在建立組合預(yù)測(cè)模型時(shí)，需要考慮對(duì)參與組合的單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行選擇。如果去掉單項(xiàng)

預(yù)測(cè)模型y3，僅用y1,y2兩個(gè)單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法建立組合預(yù)測(cè)模型，組合模型的預(yù)測(cè)精度就會(huì)提高。

3 結(jié)論

本文討論了組合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度的評(píng)價(jià)問題，引入了組合預(yù)測(cè)模型的點(diǎn)預(yù)測(cè)精度和點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的概念，利用組合模型點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量分別與最優(yōu)最劣點(diǎn)預(yù)測(cè)精度向量的貼近度，給出了由同一組單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型所建立的不同組合預(yù)測(cè)模型的精度評(píng)價(jià)方法.最后，通過一個(gè)應(yīng)用實(shí)例說明了該評(píng)價(jià)方法的應(yīng)用.當(dāng)然，本文的方法也適用于單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的評(píng)價(jià).

[1]王豐效.組合GM(1，1)冪模型及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2011,41（20）.

[2]王豐效.基于反向變換和遺傳算法的GM(1，1)模型優(yōu)化[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011，(16).

[3]唐小我.組合預(yù)測(cè)誤差信息矩陣研究[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1992，21(4).

[4]陳華友.基于相關(guān)系數(shù)的優(yōu)性組合預(yù)測(cè)模型研究[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2006，21(4).

[5]王應(yīng)明.基于相關(guān)性的組合預(yù)測(cè)方法研究[J].預(yù)測(cè)，2002，21(2).

[6]王明濤.非線性規(guī)劃在確定組合預(yù)測(cè)權(quán)系數(shù)中的應(yīng)用[J].預(yù)測(cè)，1994，13(3).

[7]唐小我.組合預(yù)測(cè)計(jì)算方法研究[J].預(yù)測(cè)，1991，10(4).

[8]唐小我.組合預(yù)測(cè)方法研究的若干新成果[J].預(yù)測(cè)，1992，11(5).

[9]李靜.變權(quán)重組合預(yù)測(cè)模型的局部加權(quán)最小二乘解法[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2007，22(3).