環(huán)Fq＋uFq＋u2Fq上任意長度的循環(huán)碼

胡 慶， 李 平

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

環(huán)Fq＋uFq＋u2Fq上任意長度的循環(huán)碼

胡 慶， 李 平

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

文章根據(jù)環(huán)Fq＋uFq上循環(huán)碼結構，研究了Fq＋uFq＋u2Fq上的任意長度的循環(huán)碼，同時研究了Fq＋uFq＋u2Fq上的這些循環(huán)碼的秩和最小生成元集。

環(huán)同態(tài)；循環(huán)碼；對偶碼；秩

多項式剩余類環(huán)的結構介于有限域和環(huán)之間，因其具有良好的性質，其上的糾錯碼理論研究也備受關注。文獻［1］研究了Z4上長度為2e的循環(huán)碼；文獻［2］討論了環(huán)F2＋uF2上奇長度的循環(huán)碼及自對偶碼；文獻［3］給出了環(huán)F2＋uF2上長為2n的循環(huán)碼的計數(shù)；文獻［4－5］給出了環(huán)z2＋uz2和z2＋uz2＋u2z2上任意長度的循環(huán)碼的結構及其重量；文獻［6］給出了環(huán)Fq＋uFp＋…＋uk－1Fp上單根循環(huán)碼以及自對偶碼的結構；文獻［7］研究了環(huán)F2＋uF2上長度為2e的循環(huán)碼；文獻［8－9］用相同的方法研究了當碼長n和有限鏈環(huán)的特征p互素時，循環(huán)碼的結構。

本文基于環(huán)Fq＋uFq上任意長度的循環(huán)碼結構及其對偶碼［10］，給出了環(huán)Fq＋uFq＋u2Fq上任意長度的循環(huán)碼結構。

令R為任意一個幺環(huán)，R上的長為n的線性碼是Rn的R－子模。C為R上長為n的線性碼，若?（c0，c1，…，cn－1）∈C，有（cn－1，c0，…，cn－2）∈C，則稱C為循環(huán)碼?？梢园裄上長為n的循環(huán)碼看成是R［x］／〈xn－1〉的理想。令u＝（u0，u1，…，un－1），v＝（v0，v1，…，vn－1）為環(huán)R上任意2個長為n的向量，定義這2個向量的內積為u·v＝u0v0＋u1v1＋…＋un－1vn－1。若u·v＝0，則稱u與v正交。循環(huán)碼C的對偶碼為集合C⊥＝｛u∈Rn：u·v＝0，?v∈C｝。顯然C⊥也是循環(huán)碼，循環(huán)碼C的所有碼字的多項式集合記為P（C），則｛P（C），＋，·｝是R［x］／（xn－1）的理想。將任一碼字等同它的多項式表示，則R上長為n的循環(huán)碼即R［x］／（xn－1）的理想，P（C）也稱為循環(huán)碼C的對應理想。

定義1 令I為環(huán)Rn的一個理想，定義A（I）＝｛g（x）∈Rn：f（x）g（x）＝0，?f（x）∈I｝，稱A（I）為I的零化子。

定義2 設f（x）＝a0＋a1x＋…＋arxr是r次多項式，記f＊（x）＝ar＋ar－1x＋…＋a0xr，稱為f（x）的互反多項式。

易證，若循環(huán)碼C的對應理想為I，則對偶碼C⊥的對應理想為A（I）＝｛f＊（x）：?f（x）∈I｝。

1 環(huán)R和S上的循環(huán)碼的生成子

令C為環(huán)S上長為n的循環(huán)碼，定義ψ1：S→R，ψ1（c），ψ1是環(huán)同態(tài)，所以可以擴展成同態(tài)φ1：C→Rn，定義為：

令D為Rn＝R［x］／（xn－1）的理想，定義ψ2：R→Fq，ψ2（a0＋ua1）＝（a0＋ua1）q＝＋＝＝a0，且a0，a1∈Fq。則ψ2是R到Fq的環(huán)同態(tài)，把ψ2擴展成Rn到Fq［x］／（xn－1）的環(huán)同態(tài)φ2，將φ2限制在D上所得φ2｜D不引起混淆時，仍記成φ2，φ2：D→Fq［x］／（xn－1），φ2（c0＋c1x＋ … ＋cn－1xn－1）＝ψ2（c0）＋ψ2（c1）x＋…＋ψ2（cn－1）xn－1，kerφ2＝ ｛ur（x）：r（x）∈Fq［x］／（xn－1）｝＝ua1（x），其中a1（x）｜（xn－1）modp。則可得φ2的象為Fq［x］／的理想，所以應為Fq上的循環(huán)碼，即φ2的象由g（x）生成，其中g（x）∈Fq［x］／（xn－1），且g（x）｜（xn－1）。所以D＝（g（x）＋up（x），ua1（x）），其 中p（x）∈Fq［x］。 因 為，可以推出up同理，由ug∈kerφ1可得a1｜g。

引理1 設C是R上長為n的循環(huán)碼，存在唯一滿足a（x）｜g（x）｜xn－1，dega（x）＞degp（x）的Fq［x］中多項式g（x）、a（x）、p（x），使C＝（g（x）＋up（x），ua（x）），且kerφ2＝（ua（x））。

引理2 設C為R上循環(huán)碼，C＝（g（x）＋up（x），ua（x）），若g（x）＝a（x），degg（x）＝r，則C＝（g（x）＋up（x）），且 在R中 （g＋up）｜（xn－1）。

證明 因為u（g＋up）＝ug且g＝a，則顯然C?（g＋up），又因為（g＋up）?C，所以C＝（g＋up）。由帶余除法得xn－1＝（g＋up）q＋t，其中t＝0或者deg＜r。因為t∈C，則t＝0，因此在Fq＋uFq中（g＋up）｜（xn－1）。

引理4 在引理3中，degp2＜dega2，degq1＜dega2，degp1＜dega1。

證明 根據(jù)結論，若C＝（a，b），則對于任意的d都有C＝（a，b＋dc）。

引理5 若C為環(huán)S上的循環(huán)碼，則可唯一地寫成C＝ （g＋up1＋u2p2，ua1＋u2q1，u2a2）。

證明 假設C＝（g＋up1＋u2p2，ua1＋u2q1，u2a2）＝（h＋um1＋u2m2，ub1＋u2l1，u2b2），因為kerφ1＝（u2a2）＝（u2b2），則a2＝b2。同理，因為kerφ2＝（ua1）＝（ub1），可得a1＝b1。又因為φ2（φ1（C））＝（g）＝（h），故g＝h。因為g＋up1＋u2p2∈C＝（g＋um1＋u2m2，ua1＋u2l1，u2a2），則g＋up1＋u2p2＝g＋um1＋u2m2＋α1（ua1＋u2l1）＋α2（u2a2），兩邊同時乘以u，可得u2p1＝u2m1＋α1（u2a1），推出u2（p1－m1）＝u2α1a1，因為deg（p1－m1）＜degb1，所以p1＝m1。由以上證明可得u2p2＝u2m2＋（ua1＋u2l1）α1＋u2a2α2?u2（p2－m2）＝（ua1＋u2l1）α1＋u2a2α2，則u2（p2－m2）∈C。故u2（p2－m2）∈kerφ2＝（u2a2（x））。但是deg（p2－m2）＜dega2，就有p2＝m2。類似地，可以推出q1＝l1，則循環(huán)碼可以唯一寫成C＝（g＋up1＋u2p2，ua1＋u2q1，u2a2）。

引理6 若C＝（g＋up1＋u2p2，ua1＋u2q1，u2a2）為S上的循環(huán)碼，且a2＝g，則C＝（g＋up1＋u2p2），其中（g＋up1＋u2p2）｜（xn－1）。

證明 參考引理2的證明。

引理7 若C為S上長為n的循環(huán)碼，n與p互素，則C＝（g，ua1，u2a2）＝ （g＋ua1＋u2a2）。

證明 因為n與p互素，所以（xn－1）可以分解為互異的不可約多項式的乘積形式，可以得到：

引理8 令C為R上長為n的循環(huán)碼，u2＝0，modp。

（1）若n與p互素，則Rn是主理想環(huán)，C＝（g，ua）＝（g＋ua），其中g和a為Fq上的多項式，且a｜g｜（xn－1）modp。

定理1 令D為S上長為n的循環(huán)碼，u3＝0modp，有以下情形。

（1）若n與p互素，則Sn為主理想環(huán)，D＝（g，ua1，u2a2）＝（g＋ua1＋u2a2），g（x）、a1（x）和a2（x）為Fq上的多項式，a2（x）｜a1（x）｜g（x）｜（xn－1）modp。

證明 （1）見引理3及引理7。

2 循環(huán)碼的秩和對偶碼

引理9 令C為環(huán)R＝Fq＋uFq上長為n的循環(huán)碼，其中n與環(huán)R的特征p不互素。

（1）若C＝（g（x）＋up（x）），deg（g（x）＋up（x））＝r，（g（x）＋up（x））｜（xn－1），則C是自由模，且rank（C）＝n－r，則基為β1＝｛g（x）＋up（x），x（g（x）＋up（x）），…，xn－r－1（g（x）＋up（x））｝，｜C｜＝q2n－2r。

（2）若C＝ （g（x）＋up（x），ua（x）），其中degg（x）＝r，dega（x）＝t。則rank（C）＝n－t，C的最小生成集合可以寫成：

β2＝｛g（x）＋up（x），x（g（x）＋up（x）），…，xn－r－1（g（x）＋up（x）），ua（x），xua（x），…，xr－t－1ua（x）｝，｜C｜＝q2n－r－t。

引理10 設C為R上長為n的循環(huán)碼，p為環(huán)R的特征，n與p不互素，則有：

（1）若C＝（g（x）＋up（x）），deg（g（x）＋up（x））＝r，（xn－1）＝（g（x）＋up（x））（h（x）＋uq（x）），則A（C）＝ （h（x）＋uq（x）），C⊥＝（（h（x）＋uq（x）＊）。

定理2 令C為Fq＋uFq＋u2Fq上的長為n的循環(huán)碼，u3＝0modp，且n與p互素，有以下情形。

（1）若C＝（g＋up1＋u2p2），deg（g＋up1＋u2p2）＝r，則C是秩為n－r的自由模，基為β1＝｛（g＋up1＋u2p2），x（g＋up1＋u2p2），…，xn－r－1（g＋up1＋u2p2）｝。

（2）令C＝（g＋up1＋u2p2，ua1＋u2q1，u2a2），deg（g＋up1＋u2p2）＝r，deg（ua1＋u2q1）＝s，且degu2a2＝t，則C的秩為n－t，最小生成集為：

（3）若C＝（g＋up1＋u2p2，u2a2），deg（g＋up1＋u2p2）＝r，degu2a2＝t，則rank（C）＝n－t，最小生成集為：

證明 （1）在S＝Fq＋uFq＋u2Fq上，有

令c（x）∈C＝（g（x）＋up1（x）＋u2p2（x）），則

c（x）＝ （g（x）＋up1（x）＋u2p2（x））f（x），其 中，f（x）∈ （Fq＋uFq＋u2Fq）［x］，若degf（x）≤n－r－1，則c（x）可以寫成β1的線性組合形式。

由帶余除法可得存在多項式q（x）與r（x），使得

其中，r（x）＝0或者degr（x）≤n－r－1，即

所以β1生成C。

現(xiàn)在只要證明β1線性無關即可。令

其中，g0∈，gi，mj，nk∈Fq，1≤i≤r，0≤j≤l1，0≤k≤l2?？稍O

比較系數(shù)，可得（g0＋um0＋u2n0）c0＝0。因為（g0＋um0＋u2n0）為單位，故有c0＝0。因此有：

對比x的系數(shù)，有（g0＋um0＋u2n0）c1＝0，所以c1＝0。依此類推，ci＝0，i＝0，1…，n－r－1，因此β1為線性無關，且是C的生成集合。

（2）若C＝ （g（x）＋up1（x）＋u2p2（x），ua1（x） ＋u2q1（x），u2a2（x））， 其 中，deg （g（x）＋up1（x）＋u2p2（x））＝r，deg（ua1（x）＋u2q1（x））＝s，deg（u2a2（x））＝t，則在C中次數(shù)最低的多項式是u2a2（x）?？芍?生成

令xs－ta2（x）的 系 數(shù) 為a0，g（x）＋up1（x）＋u2p2（x）的系數(shù)為g0，則存在c0∈Fq，使a0＝c0g0，即

其中u2m（x）為C中次數(shù)小于t的多項式。因為C中所有多項式次數(shù)都不小于deg（u2a2（x））＝t，因此s≤deg（m（x））≤t，且

則β2是個生成集，參考證明（1），比較系數(shù)，可得β2線性無關，所以β2為最小生成集合。

（3）參考（2）的證明。

3 舉 例

在環(huán)F4＋uF4＋u2F4上的長度n＝5的循環(huán)碼，有

則F4＋uF4＋u2F4上長為5的非零循環(huán)碼的生成子多項式如下：

4 結束語

本文通過2個映射，從環(huán)Fq和Fq＋uFq上循環(huán)碼的結構，給出了環(huán)S＝Fq＋uFq＋u2Fq上任意長度的循環(huán)碼的結構。下一步將嘗試討論環(huán)S上循環(huán)碼的對偶碼的結構，以及Fq＋uFq和Fq＋uFq＋u2Fq上循環(huán)碼的距離和重量。

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Cyclic codes of arbitrary lengths over the ringFq＋uFq＋u2Fq

HU Qing， LI Ping
（School of Mathematics，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

According to the structure of the cyclic codes over the ringFq＋uFq，the cyclic codes of arbitrary lengths over the ringFq＋uFq＋u2Fqare analyzed.The rank and the minimal spanning sets of these cyclic codes over the ringFq＋uFq＋u2Fqare studied as well.

ring homomorphism；cyclic code；dual code；rank

TN911.22

A

1003－5060（2013）02－0243－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.024

2012－08－30

國家自然科學基金資助項目（60973125）；合肥工業(yè)大學博士學位人員專項基金資助項目（2010HGBZ0550）和合肥工業(yè)大學青年教師創(chuàng)新基金資助項目（2011HGQC1023）

胡 慶（1988－），女，安徽亳州人，合肥工業(yè)大學碩士生；

李 平（1971－），男，安徽巢湖人，博士，合肥工業(yè)大學副教授，碩士生導師.

（責任編輯 呂 杰）