探索初中數(shù)學(xué)探索規(guī)律題型新解

【摘 要】新課標(biāo)中明確提出：學(xué)生要具備“探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”的能力.初中數(shù)學(xué)中的探索規(guī)律問題是指發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性.探索規(guī)律性問題的特點(diǎn)是是給出一列數(shù)、一列等式、一列圖形的前幾個(gè)，然后通過我們觀察、分析、綜合、歸納、概括、推理、判斷等一系列探索活動(dòng)逐步確定需求的結(jié)論.解決探索規(guī)律問題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、猜想的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的探究創(chuàng)新能力，而探索規(guī)律題型一直是讓學(xué)生比較頭疼的一類考題，在對(duì)近幾年重慶中考試題的分析和研究中，我將總結(jié)出一套針對(duì)該類型問題的解決方法。

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)；解析式求解；函數(shù)思想

一、初中階段的幾類探索規(guī)律題型

圖形中的規(guī)律： 圖形中的問題可以用“數(shù)形結(jié)合”的思想解決，即既可以從數(shù)字方面考慮，也可以從圖形中尋找規(guī)律.如果從數(shù)字的方面不好找，那么一定可以從圖形中找到規(guī)律.

【例2】觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第 個(gè)圖形中有 個(gè)圓.

圓，得到第 個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)應(yīng)該為

二、函數(shù)思想解決探索規(guī)律問題

剛剛列出的兩種具有代表性的探索規(guī)律題型中，都是用的常規(guī)解法完成的，即需要學(xué)生通過觀察，類比，歸納得出普遍規(guī)律。而事實(shí)上這對(duì)于絕大多數(shù)的學(xué)生來說，是一件比較困難的事情。因此，我在進(jìn)行二次函數(shù)的知識(shí)整理過程中發(fā)現(xiàn)，函數(shù)思想用于解決這一類探索規(guī)律題有顯著效果。下面我將重新通過新的方法，解決以上兩個(gè)例題。

我們知道二次函數(shù)的解析式一般形式為： ，求解該解析式的方法是通過圖像上的三個(gè)點(diǎn)代入解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的三元一次方程組從而求得待定系數(shù)a，b，c我們?cè)囍聪蛩伎家粋€(gè)問題，在平面直角坐標(biāo)系中，任意三個(gè)點(diǎn)總能確定一個(gè)二次函數(shù)解析式，那么如果通過求解二次函數(shù)解析式，就能得到在該二次函數(shù)圖像中滿足該函數(shù)圖像規(guī)律的所有的點(diǎn)的坐標(biāo)。這意思想其實(shí)和我們的探索規(guī)律題不謀而合，下面我們來看第一個(gè)例題。

【例1】已知一列數(shù)2，5，10，17…，那么第10個(gè)數(shù)為 ，第n個(gè)數(shù)為

該數(shù)列給出了前四項(xiàng)的數(shù)字，如果用函數(shù)思想來思考?？蓪⒆宰兞縳定義為從1開始的自然數(shù)的集合，其含義相當(dāng)于每個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的位置，因變量y為每一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字。如果該數(shù)列具有規(guī)律那么從函數(shù)角度分析。所有的數(shù)字看作點(diǎn)的坐標(biāo)，那么這些點(diǎn)一定在一條函數(shù)圖像上。而對(duì)于初中階段我們接觸的函數(shù)類型中，二次函數(shù)是最大的領(lǐng)域范疇。所以有了這個(gè)思想，可以假定前三項(xiàng)看作點(diǎn)的坐標(biāo)即為（1，2）（2，5）（3，10），將三點(diǎn)帶入 得到：

解得： 解析式為： 即：第n個(gè)數(shù)為：

我們?cè)賮碓囋囉迷摲椒ń鉀Q第二個(gè)問題

【例2】觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第 個(gè)圖形中有 個(gè)圓.

三個(gè)坐標(biāo)為（1，2）（2，5）（3，10）。我想已經(jīng)能看出根本了。雖然這是明顯不同的兩個(gè)題型，而通過函數(shù)思想轉(zhuǎn)化之后，化歸為同一個(gè)問題的求解：二次函數(shù)解析式求解。除了這兩個(gè)題型我們還能通過很多例題來詮釋這個(gè)方法的可實(shí)施性，下面讓我們?cè)賮砜纯唇鼛啄曛貞c市中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的探索規(guī)律題型：

【例3】觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè)

三個(gè)坐標(biāo)為（1，1）（2，4）（3，13），將三點(diǎn)帶入 得到：

解得： 解析式為 即：第n個(gè)數(shù)為：

第5個(gè)大三角形中白色三角形有49個(gè)

像這樣的例題還能列舉出很多，包括近幾年重慶中考中出現(xiàn)的探索規(guī)律題型都能用該方法得到合理的解決。學(xué)生也能在這類題型中得到一種新的解法。

三、函數(shù)思想解決規(guī)律問題的基本條件

我們知道，在探索規(guī)律領(lǐng)域我們的題型還有很多很多，這里我就不逐一介紹。函數(shù)思想解決規(guī)律問題并不適合所有的題型。函數(shù)的定義決定了，在某個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x、y，每確定一個(gè)x的值就有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)。那么函數(shù)解析式以及規(guī)律才能通過求解和圖像的方法詮釋出來。而對(duì)于在規(guī)律題型中，具有三個(gè)或者三個(gè)以上的變量時(shí)，函數(shù)思想解決問題的方法就有一定的局限性。

所以該方法并不是萬能的。因此在使用該方法的時(shí)候我們應(yīng)該去保證使用的基本條件：兩個(gè)變量。對(duì)于具備一次函數(shù)關(guān)系的規(guī)律題是否不能用函數(shù)思想呢？結(jié)果是仍然可用，當(dāng)二次函數(shù)解析式中二次項(xiàng)系數(shù)求解為0的時(shí)候，也即是一次函數(shù)關(guān)系了。

無論是哪一種解法，它都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想。規(guī)律探索試題一般是根據(jù)已知條件或所提供的若干個(gè)特例，通過觀察、類比、歸納，提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問題。規(guī)律探究題作為一種重要的研究問題的方法和探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的重要手段，非常有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，它不僅給中考試題的形式和內(nèi)容注入了新的活力，而且給當(dāng)前的課堂學(xué)習(xí)帶來了重大影響，這種試題一般是在特定的背景、情境或某些條件下（可以是函數(shù)關(guān)系式、有規(guī)律的數(shù)或式、特定的生活情景、某種特征的圖形、圖案或圖表），認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，提取相關(guān)的數(shù)據(jù)、信息，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?、綜合歸納，作出大膽猜想，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗(yàn)證或解決問題的數(shù)學(xué)探索題。而用二次函數(shù)思想解決問題的基本思路是：轉(zhuǎn)型三點(diǎn)坐標(biāo)，求解二次函數(shù)解析式，得到固定規(guī)律，從而解決任意位置對(duì)應(yīng)的對(duì)象。

作者簡(jiǎn)介：

張懿（1982-5），女，重慶人，重慶市求精中學(xué)校數(shù)學(xué)老師，大學(xué)本科。研究方向：現(xiàn)代中學(xué)生

心理健康的重要性研究。