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    巧用函數(shù)思想,妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題

    2016-11-23 22:28:07沈桂蘭
    啟迪與智慧·教育版 2016年10期
    關(guān)鍵詞:函數(shù)思想巧用問(wèn)題

    沈桂蘭

    【摘 要】 在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要注意有效滲透函數(shù)思想,巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義、性質(zhì)、圖象、值域等函數(shù)思想載體去分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題,從而使問(wèn)題得以快速、巧妙、準(zhǔn)確、有效地解決。

    【關(guān)鍵詞】 巧用;函數(shù)思想;數(shù)學(xué);問(wèn)題

    函數(shù)思想是數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的思想方法,它涉及知識(shí)點(diǎn)多,覆蓋面廣,綜合應(yīng)用強(qiáng),解法靈活多樣,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性、靈活性和創(chuàng)造性,提升學(xué)生思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。對(duì)此,筆者從自身教學(xué)實(shí)踐出發(fā),就如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生巧用函數(shù)思想妙解數(shù)學(xué)問(wèn)題略談了如下看法,以供參考。

    一、利用函數(shù)定義,有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

    函數(shù)的基本定義是:設(shè)A、B是非空數(shù)集,若根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。

    函數(shù)定義是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握函數(shù)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。靈活運(yùn)用函數(shù)定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,既可以深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解,又可以提高學(xué)生應(yīng)用函數(shù)定義解題意識(shí),發(fā)展學(xué)生的思維能力。許多學(xué)生在解函數(shù)問(wèn)題時(shí)感覺(jué)束手無(wú)策、無(wú)從下手,究其主要原因是學(xué)生對(duì)函數(shù)定義理解不透徹、把握不當(dāng),因此,在平時(shí)教學(xué)中,教師要注意強(qiáng)化函數(shù)概念,增強(qiáng)學(xué)生解題能力。

    例1 若f(x)與g(x)都是定義在R實(shí)數(shù)集上的函數(shù),且方程x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解。則g[f(x)]不可能為( ).

    A.x2-1/5 B. x2+1/5 C. x2+x-1/5 D. x2+x+1/5

    解析:此題乍看之下學(xué)生可能無(wú)從下手,但若能結(jié)合函數(shù)定義,則可使問(wèn)題豁然開朗起來(lái)。方程x-f[g(x)]=0有實(shí)數(shù)解,設(shè)解為a,將其代入得a-f[g(a)]=0,把方程看成函數(shù),這樣a-f[g(a)]=0可理解成在g(x)定義域中存在元素a經(jīng)過(guò)映射g,設(shè)對(duì)應(yīng)的象為b, b經(jīng)過(guò)映射f后,在f(x)的值域中存在a與之相對(duì)應(yīng)。這樣對(duì)于g[f(x)]而言,函數(shù)定義可知存在b,使得g[f(b)]=b成立,即方程g[f(x)]=x有解,將上述選項(xiàng)中的答案逐一代入進(jìn)行驗(yàn)證,可知g[f(x)]不可能為x2+x+1/5,故應(yīng)選D.

    例2 已知集合M={a, b, c},N={-2,0,2},求建立從M到N且滿足f(a)+f(b)+f(c)=0的函數(shù)f個(gè)數(shù)。

    解析:許多學(xué)生在解答本題時(shí),往往束手無(wú)策,不知如何下手。事實(shí)上,本題的解題突破口是正確理解f(a)+f(b)+f(c)=0這一函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的基本定義,不難發(fā)現(xiàn),f(a),f(b),f(c)三個(gè)函數(shù)均是屬于集合N中的元素,因而此題可以轉(zhuǎn)化為從N中可任意取3個(gè)元素(可重復(fù))滿足f(a)+f(b)+f(c)=0這一已知條件。由于每個(gè)式子對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)關(guān)系,又由于f(a)+f(b)+f(c)=0的表達(dá)式僅有0+0+0=0或-2+0+2=0,因此,滿足題意要求的函數(shù)f個(gè)數(shù)為:A33+1=7.

    點(diǎn)評(píng):在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中,靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)定義解題,往往可以收到事半功倍的效果。

    二、把握函數(shù)性質(zhì),靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

    函數(shù)基本性質(zhì)主要包括了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等方面。在解某些問(wèn)題時(shí),若能善于挖掘問(wèn)題的隱含條件,有效構(gòu)造函數(shù),靈活巧妙地運(yùn)用函數(shù)性質(zhì),往往可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn),化難為易的目的,從而使問(wèn)題迎刃而解。因此,在平時(shí)函數(shù)教學(xué)中,教師要注意引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)性質(zhì),把握好函數(shù)內(nèi)涵外延和本質(zhì)特征,為數(shù)學(xué)解題奠定良好的基礎(chǔ)。

    例3 設(shè)x, y∈[-π/4,π/4],a∈R,且x3+sinx-2a=0,4y3+sinycosy+a=0,求cos(x+2y)的值。

    解析:此題若直接從三角變換角度進(jìn)行分析和處理,往往難度較大,不易下手。但若能變換視角,轉(zhuǎn)變思路,將兩個(gè)方程變形為:x3+sinx=2a ①;(-2y)3+sin(-2y)=2a ②;結(jié)合兩方程結(jié)構(gòu)特征,可構(gòu)造函數(shù)f(a)= a3+sina,聯(lián)立方程①②可得f(x)=f(-2y).而f(a)在[-π/2,π/2]上單調(diào)遞增,故x=-2y x+2y=0 cos(x+2y)=1.

    點(diǎn)評(píng):對(duì)于有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,條件中有時(shí)給出的是不具備特殊性質(zhì)的函數(shù),此時(shí)若構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),將條件適當(dāng)變形,再巧用函數(shù)性質(zhì)解題,往往會(huì)使問(wèn)題“柳暗花明”,得以輕松獲解。

    三、結(jié)合函數(shù)圖象,輕松解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

    函數(shù)圖象是函數(shù)的基本表達(dá)形式之一,是研究和表述函數(shù)的重要工具,它將函數(shù)的變化趨勢(shì)直觀化,以圖形的形式直觀地展現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)特征,借助函數(shù)圖象的直觀性解題,可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程,使問(wèn)題得以輕松獲解。

    由x>0得a≥-(x+1/x)對(duì)于0

    點(diǎn)評(píng):巧妙地結(jié)合函數(shù)圖象分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,往往可以使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化,從而迅速找到問(wèn)題的突破口,巧妙求解。

    總之,函數(shù)思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)中,具有一定的廣泛性、多樣性、靈活性、創(chuàng)造性等特點(diǎn)。在平時(shí)教學(xué)中,教師應(yīng)重視函數(shù)思想的有效滲透和靈活運(yùn)用,引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中隱含的函數(shù)思想,學(xué)會(huì)巧用函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象來(lái)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題,從而幫助學(xué)生掌握函數(shù)思想,提升學(xué)生思維品質(zhì),增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]龍婷.運(yùn)用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué) 2015年21期

    [2]吳麗華.淺談函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué) 2015年21期

    [3]許欽彪.例談函數(shù)問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的意義和作用[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2015年11期

    [4]龍婷.運(yùn)用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué) 2015年21期

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